数学分析是研究实数和复数及其函数的数学分支，其发展源于微积分，涵盖函数的连续性、可微性及可积性等特性。这些特性在物理世界的研究中至关重要，帮助我们揭示自然界规律。
数学分析的起源可以追溯到17世纪，随着牛顿和莱布尼兹对微积分的发明，该领域开始蓬勃发展。在17、18世纪，数学家们专注于变分、常微分方程、偏微分方程、傅立叶分析及母函数的研究。微积分方法通过连续方法近似离散问题，取得了显著成果。
进入18世纪，函数概念的定义成为数学界争论的焦点。19世纪初，柯西通过引入柯西序列的概念，为微积分提供了坚实的逻辑基础，并开创了复分析的形式理论。同时，泊松、刘维尔、傅里叶等数学家致力于偏微分方程和调和分析的研究。
19世纪中期，黎曼引入了黎曼积分理论，为数学分析带来了新的视角。随后，魏尔施特拉斯提出了分析的算术化，强调几何论证的误导，并引入了极限的(ε, δ)定义。数学家们开始质疑实数连续统的存在假设，戴德金通过戴德金分割构造了实数。这一时期，黎曼积分理论的精炼尝试引发了对实数函数非连续集合“大小”的探讨。
在此背景下，若尔当发展了测度理论，康托尔构建了现代朴素集合论，贝尔证明了贝尔纲定理。20世纪早期，微积分被形式化为公理化集合论。勒贝格解决了测度问题，希尔伯特引入了希尔伯特空间以解决积分方程。赋范向量空间的概念逐渐流行，1920年代，巴拿赫创立了泛函分析。
当前，数学分析主要分为几个分支领域：实分析专注于实值函数的微分和积分研究，包括极限、幂级数和测度的探讨。泛函分析研究函数空间，引入巴拿赫空间和希尔伯特空间的概念。调和分析涉及傅里叶级数及其抽象。复分析则研究从复平面到复平面的复数可微函数。
