在概率论和随机过程理论中，鞅（Martingale）是一类具有特殊性质的随机过程。以下是关于鞅及其相关概念的详细解释。一、鞅、下鞅和上鞅的定义鞅（Martingale）：一个随机过程$Z$是鞅，如果对于所有的时间$t$，满足条件期望$mathrm{E}left[Z(t) | mathfrak{F}{s}right] = Z(s)$，其中$0 leq s < t
鞅的定义：鞅源自中的公平性概念，是随机过程中的重要概念。它描述的是在特定条件下，随机过程的期望值保持不变的性质。这是随机分析中用来描述随机过程动态的关键工具。鞅的类型：鞅：期望值保持不变的随机过程。下鞅：期望值随时间递增的随机过程。上鞅：期望值随时间递减的随机过程。核心定理：Doo...
随机过程中上鞅的定义为：若随机过程${X_n}$满足对任意$n$，均有$E(X_{n+1} mid X_1,ldots,X_n) leq X_n$，则称${X_n}$为上鞅。以下从数学定义、条件解释、性质与应用三个方面展开说明：数学定义的核心条件上鞅的定义基于条件期望的约束。对于离散时间随机过程${X_n}$，若对任意...
概率论笔记——鞅、停时、鞅不等式鞅与停时鞅的定义：设$$是概率空间，${mathcal{F}_n}$是$Omega$的一列子$sigma$代数流。若随机变量序列${X_n}$满足$X_n$关于$mathcal{F}_n$可测，且$E < infty$。若进一步满足$E = X_n$，则称${X_n}$是鞅。类似地，可定义上鞅和下鞅。停时...
鞅的性质包括以下几点：非负局部上鞅的性质：设M为一非负局部上鞅，若M可积，则M为上鞅。局部鞅的判定：要M是局部鞅，必须且只需存在停时列，使得每个停时区间上的M为一致可积鞅。设S，T为两个停时，若M在[0,S]和[0,T]上均为一致可积鞅，则M在[0,S∧T]上也为一致可积鞅。如果存在停...
上鞅是（期望）单调递减的，如果上鞅非负（有下界），那么自然收敛。 注意这里的收敛性是 几乎绝对（almost surely） 。而且，设鞅 的极限为 ， 不一定就等于 （几乎绝对收敛并不意味着 收敛） 进一步，对于一个下鞅，它的一致可积性和 的收敛性是等价的 ...
离散鞅是一种随机过程，它围绕着一条大体趋势的线波动，这些点的集合构成了离散鞅。上鞅和下鞅则分别对应单调减和单调增的函数。单调的函数还能用于积分的计算。我们可以通过这个类比，形成随机积分的表达式。比如，我们有一个策略，每次下注的赢利单位是[公式]，那么到第n时刻的总赢利也是一个鞅。这...
后世为什么把公孙鞅和卫鞅改称商鞅了呢？史记介绍时也称商鞅为“商君”，这源于这一个“商”字和一个“君”字。这个名字的由来就非常有意思了。公元前359年，商鞅在秦孝公的支持下开始了著名的“变法”改革，淡变法的成效并没有短时间内就显现出来，所以秦王只是在最开始的时候封他为左庶长，并...
卫鞅因秦孝公封商於十五邑而称商鞅，后因谋反罪名被秦惠王下令五马分尸，故称“死鞅”。具体过程如下：卫鞅变商鞅：卫鞅原为卫国国君后裔，姬姓公孙氏，故又称公孙鞅。早年投奔魏国国相公叔痤门下，公叔痤临终前向魏惠王举荐卫鞅，但魏惠王未予重用。此时秦孝公发布招贤令，卫鞅入秦后通过变...
商鞅在秦国变法图强，被封为商（或上）君，后被车裂，但他的后人存留了下来。据《姓纂》记载，商氏源于春秋时期的卫国公孙鞅，因受封于商地而得姓。商鞅在秦孝公时期投奔秦国，并进行了一系列变法，这些变法为秦国的强盛奠定了基础。商鞅的后代延续了商氏这一姓氏。商氏家族有着悠久的历史，追溯到...
