2013年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1.集合P{x（ ） xR,x11}，Q{xxR,xa1},且PQ,则实数a取值范为

A. a3 B. 2.若,R, 则a1. C. a1或 a3 D. 1a3

90是sinsin1的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{an}：a1A. 3981 B.

3,且第一项至第的几何平均数为9，则第三项是（ ）

3781 C. 39 D. 33 24. 已知复数zxyi(x,yR,i为虚数单位），且z A.z22i B. C.

8i，则z（ ）

z22i

z22i,或z22i D. z22i,或z22i

25. 已知直线AB与抛物线y4x交于A,B两点，M为AB的中点，若C0 C为抛物线上一个动点，

开 始 满足C0AC0Bmin{CACB}，则下列一定成立的是（ ）。 A. C.

C0MAB B. C0Ml,其中l是抛物线过C0的切线 1C0AC0B D. C0MAB

2K=1，S=0

6. 某程序框图如下，当E0.96时， 则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25

7. 若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列， 则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8

S=S+1/（K(K+1)） S>=E？ 是 否 K=K+1 输出K 8. 已知一个立体图形的三视图如下， 则该立体的体积为（ ）。

A.33 B.

33 2C.

9393 D. 249. 设函数

f(x)x(x1)2(x2)3(x3)4，

f(x)的极大值点为（ ）

则函数y A.x0 B. x1 C. x2 D. x3

10. 已知

f(x),g(x),h(x)为一次函数，若对实数x

1,x1满足f(x)g(x)h(x)3x2,1x0，则h(x)的表达式为（ ）。

2x2,x0A.h(x)x B.h(x)x C.h(x)x D.h(x)x

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11. 若tanxtany2,sinxsiny12. 已知

121212121，则xy_________________。 3f(x)x2(k1)x2，若当x0时f(x)恒大于零，则k的取值范围为________ 。 n},n1,2,，则数列中最大项的值为___________。

13. 数列{n14. 若x,yR，满足2x2x2y22y(xx2)x215. 设直线l与曲线yx35，则x＝ ,y＝ 。

x1有三个不同的交点A,B,C,且ABBC5, 则直线l的方程为___。

112)}________________________。 2ab17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限x,y轴上的整点），其运动规律为：

16. 若a0,b0,则min{max(a,b,(m,n)(m1,n1)或(m,n)(m1,n1)。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，

则有_____________种不同的运动轨迹。

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 已知抛物线y24x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P、Q两点。证明，存在唯一一点

K，使得

11为常数，并确定K点的坐标。 22PKKQf(x)ax2(2b1)xa2(a,bR,a0)在[3,4]上至少有一个零点，

19. 设二次函数

求a

2b2的最小值。

20131x20. 设xN满足x2014.数列a1,a2,,a2013是公差为x2013，首项a1(x1)2x2012120131x,首项b1(x1)x2013的等比数列， x的等差数列； 数列b1,b2,,b2013是公比为

求证：b1a1b2

21. 设a,b,cRa2012b2013 。

,abbcca3,

证明a5b5c5a3(b2c2)b3(c2a2)c3(a2b2)9。

22. 从0,1,2，„，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。

试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。 A1 A2 6 10 A3 A4 5 A5 7 A7 1 9 A6 A8

（图 1 ）

(图2)

2013年浙江省高中数学竞赛试题解析

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1.答案 C

P{x0x2},Q{xa1xa1},要使PQ，则a12或a10。

解得a1或 a3。 2.答案 D 若0,但90sinsin1。当60sinsin31，

90。

273.答案 B 计算得q34. 答案 D

,a33781。

25. 答案 B CACB(CMAM)(CMBM)CMCM(AMBM)AMBM

22CMAMmin{CACB}CMminCMl。

6. 答案 C

S1111223kk(110.96k1)k12 4.0),

7. 答案 D 设三位数为(bd)b(bd)111b99d(0b9,9d9,d由7(111b99d)7(bd)b1,d1;b2,d2;b3,d3;b4,d3,4;

b5,d2;b6,d1;b8,d1。所以，所有的三位数为 210,420,630,147,840,357,567,987

8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。

9. 答案 B 由图象可知x1为函数极大值点，x3是极小值点，x0,2不是极值点。 10. 答案 C

h(x)2x2(1)1x。

221x2,syinsinx31y61cxo，sy所以2

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11.解答：由

taxntyancoscos(xy2k

12.解答 由x23。

22(k1)x20k1x,x22等号在x2取得，即k221。

xx13.解答

f(x)xe1x1lnxxf/(x)x(1lnx)xe为极大值点，所以数列最大项为第三2x1x项，其值为33。

14.解答 把等式看成关于x的一元二次方程

24(y1)220(2y22y1)0(3y2)20y,x3。

315. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为ykx1,A(x,y)，

ykx1则yx3x1(k2)(k2k2)0k2。所求直线方程为y2x1。 22x(y1)511112}mam,bm,mmm32， 22222ababm11所以min{max(a,b,22)}32。

ab16.解答

max{a,b,17.解答

21C6C69.

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18.解答 设K（a,0），过K点直线方程为yk(xa)，交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程

y24x2(ak22)222222kx2(ak2)xak0x1x2,xxa组„5分 122kyk(xa)2PK2(x1a)2y12,KQ2(x2a)2y2„„„„„„„„„„„„„„7分

a21k11222，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 22a(1k)PKKQ令a2

19.解法1 由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有at2111,K(2,0)。„„„„„„„„„„„„„„„„17分 224PKKQ(2b1)ta20，变形

(2t)2[a(t21)2bt]2(a2b2)((t21)2t2)(a2b2)(1t2)2，„„5分

t211，„„„„„„„„„„„12分 (2)251t1002(t24)t2523,t[3,4]是减函数，上述式子在t3,a,b时取等号，故a2b2的因为t2t225501最小值为。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17分

100于是a2b2解法2 把等式看成关于a,b的直线方程:(x21)a2xbx20，利用直线上一点（a,b）到原点的距离大于原点到直线的距离，即

20. 解：首先， aiab22x2(x1)(2x)222（以下同上）。

(x1)2x20121(i1)x2013， -----------------2分

1xi1bi(x1)x2013()(x1)ix2014i。-----------------4分

x

1xibi1bix2013()„„„„„„„„„„„„„„„„6分

x2014i,1i2013。 用归纳法证明 aibix20132013

由于a1b1x2013x20121x2013，即i=1成立。„„„„„„„„8分 假设 1i2012成立，

则ai1bi1(ai1ai)(bi1bi)(aibi)x2013x2013(

1xi)(aibi) x1x2031x2013x2013()(aibi)x2013(aibi)

x201312013i12014(i1)x2013x2013x2013。„„„„„„„14分

201320132013所以，aibi,i1,2,,2013。

归纳证明bi1ai,i1,2,,2012，首先 b2a110，假设 1i2011成立， 则

1xi12013)x(bi1ai)0。„„bi2ai1(bi2bi1)(ai1ai)(bi1ai)x2013(x„„„„„„„„„„„„„„17分

故命题成立。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

解答 原命题等价于(a3b3c3)(a2b2c2)9，„„„„„„„„„„„„10分

a2b2c23),„„„„„„„„„„„„„„„„„„„20分 又(abc)9(33332故只需要证明a2b2c23成立。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25分

利用已知条件，这是显然的。

22. 解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。„„„„„„„„„„„„10分

对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，„„，10， „„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 15分 其和sa1a2a1a3a2a3a7a855为奇数。„„„„„„ 20分

另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数，矛盾。„„„„„„„„„„„„„„„25分 所以，不存在完美填法。