1.2空间向量基本定理
基础达标练
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是()
A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c答案A解析)=c+(-a+b)=-a+b+c.
2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6+2+3,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面答案B解析由6+2+3,得=2()+3(),即=2+3,∴共面.又三个向量的基线有同一公共点P,∴P,A,B,C四点共面.3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x,则x的值不可能为()A.1B.0C.3D.答案ABC解析∵=x,
且M,A,B,C四点共面,∴x+=1,∴x=.
4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案A解析因为=3a+6b=3(a+2b)=3,故,又有公共点A,所以A,B,D三点共线.5.给出下列命题:
①若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若共线,则AB∥CD;
④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是()
1A.1B.2C.3D.4答案C解析显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.
6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,实数k=.答案1解析∵=7e1+(k+6)e2,
且共线,故=x,
即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又∵e1,e2不共线,∴解得故k的值为1.
7.在以下三个命题中,真命题的序号为.
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;
③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.答案①②解析c与a,b共面,不能构成基底.
8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且=a,=b,=c.(1)用a,b,c表示向量;
(2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示.解析(1)=b+c-a.(2)=-=-)+)
=-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=(c-b).
9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解析假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴解得
即存在实数λ=,μ=,使p=λq+μr,∴p,q,r共面.
10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断是否共线?
解析∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴.
又∵=-,∴=-,
∴+2=2()=2,∴,即共线.
2能力提升练
1.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则A,B,C,D四点()A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点C.一定共面D.一定不共面答案C解析因为非零向量e1,e2不共线,=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,
所以5=5e1+5e2-3e1+3e2=2e1+8e2=,所以=5.由向量共面的充要条件可知,A,B,C,D四点共面.2.在平行六面体ABCD-EFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于()
A.B.C.D.答案D解析由于,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-,z=,从而x+y+z=.
3.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么对M判断错误的是()
A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内答案ABD解析+7+6-4=+6-4=+6-4=+6()-4()=11-6-4,
且11-6-4=1,于是M,B,A1,D1四点共面.
4.设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为S.向量的集合P={m|m=,P1,P2∈S},则P中长度为a的向量有个;P中长度等于a的向量有个.答案824
解析每一条体对角线对应两个向量,正方体共有4条体对角线,所以P中长度为a的向量有8个.正方体有12条棱且长度均为a,则P中长度等于a的向量有24个.
5.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=.答案-1
解析=2x+3y+4z
=-2x-3y-4z.
由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.
36.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若+x+y,求x,y的值.解析因为==-=-)=-)=-)=-,
所以x=,y=-.
7.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明证法一:令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴易知是其中一组解,则-5=0.
∴A,B,C,D四点共面.
证法二:观察易得=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5.∴.
由共面向量知,共面.
又它们有公共点A,∴A,B,C,D四点共面.
8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.
证明=.∵O是B1D1的中点,∴=0,∴.
∴共面,且B1C⊄平面OC1D.∴B1C∥平面ODC1.
素养培优练
1.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.
4证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴,∴.
又∵)=,∴,∴,||=|.
又∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.
2.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k=k=k=k.求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)AB∥平面EFGH.证明(1)∵,∴k+k=k.而=k=k,∴+k.又,∴=k.同理,=k=k.
∵ABCD是平行四边形,∴,∴,
即.又它们有同一公共点E,∴点E,F,G,H共面.(2)由(1)知=k,
∴,即AB∥EF.又AB⊄平面EFGH,
∴AB与平面EFGH平行,即AB∥平面EFGH.
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