2021-2022年中考数学专题复习将军饮马模型最值问题

【模型引入】

什么是将军饮马？

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

【模型抽象】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

BA

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

BAPPA' 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

BA端点P折点A'

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这类问题的解法主要是通过轴对称，将与定点相关的线段进行变化，将问题转化为定点到定点的距离问题或定点到定直线的距离问题，然后通过两点之间线段最短或点到直线之间垂线段最短，解决此类最值问题。 【模型展示】

【模型一】两定一动之点点（两定点一动点，转化成点与点距离最值问题） 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小

BA

作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

BAPPA' 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

BA端点P折点A'

【经典例题】

例1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为________.

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例2、如图，在中，点，则下列线段的长度等于，是

最小值的是（ ）

的两条中线，是上一个动

A．

B． C． D．

例3、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为( )

AFEDBC

A．3

例5、如图，在ABC中ABAC，BC4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交

B．4

C．33 D．23

AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则CDM周

长的最小值为（ ）．

A．6 B．8 C．10 D．12

3

4． ，2，C3，例6、如图，ABC三个顶点的坐标分别为A11，B4，

（1）画ABC关于y轴成轴对称的A1的坐标． 1B1C1，并直接写出顶点A（2）在x轴上找一点P，使PAB的周长最小，在x轴上标明点P，并直接写出PAB最小周长．

【模型二】一定两动之点点（一定点两动点，转化成点与点距离最值问题）

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

AP'MAPBOMPBP''ONN

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【经典例题】

例1、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

BNPMAO

4

例2、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是________．

例3、如图，在四边形ABCD中，∠C=50 °，∠B=∠D=90 °，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF周长最小时，∠EAF的度数为（ ）

A．50 °

B．60° C．70° D．80°

例4、如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点且OP＝2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是__________．

【模型三】一定两动之点线（一定点两动点，转化成点与直线距离最值问题） 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

AP'MPOBOMPBANN

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

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【经典例题】

例1、如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_________．

例2、如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为_____________．

例3、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、

N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是( )

ADMBNC

A．3

B．2 C．23 D．4

例4、如图，等边△ABC的边长为2，CD为AB边上的中线，E为线段CD上的动点，以BE为边，在BE左侧作等边△BEF，连接DF，则DF的最小值为_．

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【模型四】两定两动之点点（两定点两动点，转化成点与点距离最值问题） 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

AP'MPQONBONQ'MPQBA

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【经典例题】

例1、如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，4），点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半轴上一点，连接AB，BM，MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为___________.

例2、如图，在矩形ABCD中，AB4 ，BC7 ，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ2，若想使得四边形APQE的周长最小，则BP的长度应为__________.

课后作业：

1、如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OM＝3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_____．

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2、如图，OB平分MON，A为OB的中点，AEON于点E，AE4，D为OM上一点，BC//OM交DA于点C，则CD的最小值为__________.

3、如图，∠AOB＝30°，C是BO上的一点，CO＝4，点P为AO上的一动点，点D为CO上的一动点，则PC+PD的最小值为_____，当PC+PD的值取最小值时，则△OPC的面积为_____．

4、如图，在ABC中，ABAC，BC5，SABC20，ADBC于点D,EF垂直平

PBPD最小，则这个最小值为分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使 __________．

5、如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3 cm，△ABC的面积是9 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为____．

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6、如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足S则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为_______．

PBC1S2ABC，

7、已知边长为6的等边ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段

BE绕点B顺时针旋转60得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度

的最小值时，DE的长度为__________．

8、如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点

E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为_____．

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9、如图，∠ABC＝20°，点D，E分别在射线BC，BA上，且BD＝3，BE＝3，点M，N分别是射线BA，BC上的动点，求DM+MN+NE的最小值为_____．

10．作图题：如图：利用网格线作△ABC关于直线l对称的△A’B’C’，并在直线l上求作一点Q，使得QA+QC的和最短，请在直线上标出点Q位置；

11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'． （2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

（3）点P在直线MN上，当PA+PC最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．

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