第十五届“华杯赛”总决赛团体赛(口试)试题答案

总决赛团体赛(口试)试题解答

上半场

题1（开场共答1）

华杯赛15少俊+金坛+论数上面的算式中, 不同的汉字代表1~9中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法.

【答案】

97597515.15或

164328284613【解答】由

华杯赛15少俊+金坛+论数可知, 华杯赛被15整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被15整除的3位数进行筛选:

990, 975, 960, 945, 930, 915, ……

最大的合要求的是975, 而975 ÷ 15 = 65, 也就是

少俊+金坛+论数=65.

容易由1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法,

97515.

284613或试凑1×6+43+2×8=65, 得

97515.164328题2（群答1）如图A-56所示, 周长为3厘米的圆中有一个内接正六边形. 阴影部分是由以正六边形6个顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧围成的, 求阴影部分的周长等于多少厘米? 【答案】6厘米. 图A-56 1 【解答】 因为正六边形的一个内角为120,是一个周角的.所以, 以正六边形的

3顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于1厘米. 阴影部分周长可以拼接为2个圆周, 所以是6厘米.

题3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小组共有多少人？ 【答案】18人.

【解答】 因为小书架共有12本科普读物, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 所以共被借阅12336（人次）. 设数学小组共有x名成员, 由于每个成员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x人次.

因此 2x36,x18.

题4（必答A2）如图A-57, 有一个圆和三个正方形. 中间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12平方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？

图A-57

【答案】3平方厘米.

【解答】如图A-58, 绕中心O旋转圆面, 使得点P重合于E, 于是点Q重合于F, 点S重合于G, 点T重合于H.成右图. 容易看出,

图A-58

SIJKL11111SPQSTSABCDSABCD123（平方厘米）. 22244题5（必答A3）国家规定年满18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证.小学六年级的学生李明说“:我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35.

【解答】29752571735517, 由于月份数取1~12的自然数, 日期数取1~31的自然数, 所以, 李明父亲要么是25岁, 7月17日生, 要么是35岁, 5月17日生.由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25岁, 所以李明父亲的年龄是35岁.

题6（必答A4）如图A-59, D是BC边上一点, 且

BD2DC,DP//CA. 三角形APD的面积为14cm2, 问三角形ABC的面积是多少cm2.

图A-59

【答案】63cm2.

【解答】连结PC, 见图A-60. 因为 DP//CA, 所以

SPCDSAPD14.又因为BD2DC,所以SPBD21428( cm2). 所以

SABDSPBDSAPD281442( cm2).

图A-60

因此,

33SABCSABD4263( cm2).

22题7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出

2007, 2008, 2009, 2010, 2011

中的“好数”. 【答案】2007.

【解答】易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007是“好数”, 而2008, 2010不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011也不是“好数”, 因为它们不能被3整除．

事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题8（必答A6）如图A-61, 大正六边形的面积是1平方厘米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米?

1【答案】平方厘米.

3【解答】由正六边形的性质, 图A-62中阴影跳棋盘部分被分成12个边长相等的正三角形. 而图中未着色的6个三角形都是等腰三角形, 其中一个角为120, 两个底角为30. 腰长等于小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角形的面积. 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形ABCDEF的

61. 183图A-61

图A-62

故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是

1平方厘米. 37；再往袋里放入40个红球后, 红球16题9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的占总数的

3. 问最后袋里共有多少个球？ 4 【答案】72个.

【解答】设最后袋里共有球x个, 则根据题设, 有

(x40)7340x, 1即

7(x40)164012x，x72.题10（必答A8）图A-63中所标出的10个角的度数总和是多少?

【答案】1080.

【解答】图A-中, 阴影四边形的内角和是360, 这样四边形有5个, 度数和是1800；其中围绕中间的五边形 ABCDE顶点的10个角度数的和恰是这个五边形外角和360的2倍, 故图中所求的10个内角和是180023601080.

图A-63

图A- 题11（群答2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下：

第一张 华 华 赛 第二张 杯 好 华 第三张 赛 杯 好 甲 乙 丙 结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙.

【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙.

题12（群答3）如图A-65, A是邮局, B, C, D, E, F是5户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？

图A-65

【答案】500米.

100100100100100【解答】ABCFED.题13（共答2）在3×3×3的正方体玻璃支架上有27 个单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要使主视图、俯视图、左视图都如图A-66中所示. 问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 【答案】9个. 一种放法如图A-67.

图A-66

图A-67

题14（必答B1）如图A-68, 在正方形ABCD中, 正方形AMOP的面积是8平方厘米, 正方形CNOQ的面积是24.5平方厘米. 问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5平方厘米.

图A-68

【解答】因为正方形AMOP的面积是8平方厘米, 所以对角线AO = 4厘米, 正方形CNOQ的面积是24.5平方厘米, 所以对角线OC =7厘米. 因此正方形ABCD 的对角线等于 4 + 7 = 11厘米.

所以正方形ABCD的面积=

111260.5平方厘米. 2题15 （必答B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7□5□11111成立, 请你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能.

【解答】设两个□中填入的整数分别为x,y, 若xy等于偶数, 则x,y奇偶性相同. 若x,y同为奇数, 则7x,5y都为奇数, 7x5y为偶数, 不能等于11111；若x,y同为偶数, 则7x,5y都为偶数, 7x5y也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数.

题16（必答B3） 如图A-69, MN是面积为76平方厘米的梯形ABCD的中位线. P是下底BC上一点. 问:三角形MNP的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米. 【解答】设梯形的高为h, 则

图A-69

11h11176 SMNP(ADBC)(ADBC)hSABCD19(平方厘米).

2224244题17 （必答B4）一种电子表在10点28分6秒时, 显示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？

【答案】 90秒.

图A-70

【解答】在10点至10点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个数字显然是1, 0, 2.

设时间为10:2a:bc, 其中b可在3, 4, 5中选择, a, c可在3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确定b, 有3种选法；然后确定a, 有6种选法；最后确定c, 有5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是

图A-71

电子表上六个数字都不相同的时间共有90秒.

题18（必答B5）如图A-71, E, F, G, H分别是四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA的中点. BH与DE的交点为M, BG与 DF的交点为N. 问

SBMDN?SABCD 【答案】

SBMDN1. SABCD3【解答】如图A-72, 连接BD, CN, 填入面积x,y, 则由三角形CDF与BGD比较可知,

SBDNxy1SBCD. 3同理可得,

1SBDMS3ABD.

图A-72

相加即得

SBMDN1. SABCD3题19（必答B6）如图A-73, 五行五列共亮着的25个灯.共有5个行开关和5个列开关, 每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？

图A-73 【答案】不能.

【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的为10个灯次, 设k次操作能使得25盏灯都熄灭, 则k次操作共改变灯泡状态为10k个灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25盏灯都熄灭时改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯

次, 所以不能通过有限次操作使得25盏灯都熄灭.

题20（必答B7）如图A-74, P为正六边形ABCDEF的AB边上一点. PM//CD交EF于M, PN//BC交CD于N .红、蓝两个小精灵从N点同时出发分别沿五边形NPMED周界和六边形CBAFED周界匀速行走, 各绕一周后同时回到N点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍?

图A-74

【答案】1.2倍.

【解答】 如图A-75, 设正六边形边长为a, 则蓝精灵走一周的路程为6a, 红精灵走一周的路程为5a, 所以蓝精灵速度:是红精灵速度的

61.2倍. 5题21（必答B8）将33写成n个连续自然数之和. 当

n取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”

图A-75

号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160.

【解答】因为12345672833,23456783533.所以33不能写成7个或多于7个的连续自然数之和. 因此n6. 而33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所以n得最大值为6. 又n=6时,

33345678, 从而有34567820160.

下半场

题22 （共答3） 将长方形ABCD绕顶点A顺时针旋转

90, 边CD扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴影部分的面积.

图A-76

【答案】作法如图A-78所示.

【解答】如图A-77, 连接AC, AC1, 则阴影部分面积

S4AC24AD224(AC2AD2)CDCD. 422阴影部分面积等于以CD为直径的圆面积. 因此, 得如下作图法：延长C1B1交BC于E, 连接BB1与AE交于M, 连接AC1与D1B1交于N, 连接MN交AB1于O. 以O为圆心AO为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积.

题23（群答4）

图A-77

图A-78 振兴中华1两岸四地同心在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问：

振 + 兴 + 中 + 华 = ？

【答案】 27. 【解答】由于

振兴中华1,

两岸四地同心易知

振+兴+中+华=两+岸+四+地+10,

即

（振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ①

但

振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45,

所以

=44. ② （振+兴+中+华）（两+岸+四+地）因此, 由① + ②得

振+兴+中+华=

题24（群答5）给出字谜算式:

10445427.22华老+百年+华诞三年-(金+坛+翻+番)2010,

其中不同的汉字代表0~9中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请你写出一种使等式成立的填数法.

50(3746)【答案】 (291028)2010. 【解答】20106730(291028)50(3746). 【注】常州日报2010年8月1日消息, 金坛市推出“3年翻番计划”, 将规划建设“二城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划三年翻番.

题25（抢答1）现在有11个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由.

图A-79

【答案】 不能.

【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又顺时针转动.

图A-80

如图A-80, 将齿轮依次编号, 假设1号轮为主动轮是逆时针转动, 那么2号轮则顺时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11号轮应逆时针转动. 但第11号轮又将传动第1号轮, 于是第1号轮（相当于第12号轮）应顺时针转动. 这样, 第1号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图A-79中所示的11个齿轮的传动系统是不可能转动起来的！

题26（抢答2）将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加, 得到和为376. 问这位同学的生日是几月几号.

【答案】4月21日.

【解答】设这个同学的生日为x月y日, 其中x,y都是正整数, 1x12,1y31.且满足关系式

31x1y23. 76由于376与12都被4整除, 所以31x被4整除, 由于31与4互质, 所以x被4整除, 因此x只能取4或8或12. 376被3除余1, 12y被3整除, 所以31x被3除余1, 而31被3除余1, 所以只能x被3除余1. 因此x4.而 12y376314376124252,所以y21日.

25221.即这个同学的生日是 4月12题27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm的三个半圆形量角器的圆心重合于O, 直径也重合在一条直线上, 如图A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S甲，S乙，S丙, 求 S甲:S乙:S丙.

图A-81

【答案】S甲:S乙:S丙48:40:15.【解答】因为

1S丙12.22114S乙32.32231118S甲5232.5225所以

S甲:S乙:S丙84::48:40:15.532题28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I、O不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多少个?

【答案】3456000个.

【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有26-2=24（个）, 且只能在第一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字.

两个字母为前4位中占2位, 共6种方法. 每个字母有24种选法, 其余3个位置是数码, 每个数码有10种选法. 所以满足规定的编码共有

62424101010题29（抢答5）机器人在长为16米宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器人从A处走到B处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是1米 (B点与竖直路段最近的距离也是1米). 【答案】152米.

（个）. 345图A-82

【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果：

16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9

16(116)161617816136152（米）. 2另法: 如图A-83所示, 将16×8的长方形各边都向外扩充0.5米, 成为一个17×9的长方形. 这样黑粗线成为了宽为1米的平行线的正中平行线, 其中只少了A, B处两个白色的面积为0.5×1=0.5的小矩形. 所以设想的拖地板的服务员, 拖的地板面积比

图A-83

总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）.

题30（抢答题6）图A-84为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少种涂色方法？

图A-84

【答案】18种. 【解答】分两种情况: （1）直溪镇与指前镇同色.

给直溪镇与指前镇染色: 有3种情况; 给朱林镇染色: 2种情况; 给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计3×2×2=12种.

（2）直溪镇与指前镇异色.

给直溪镇与指前镇染色: 有6种情况; 给朱林镇染色: 1种情况; 给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计6×1×1=6种.

总计：共有12+6=18种染色方法.

题31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000的自然数, 按照从小到大排列, 2010排在第几个？ 【答案】第30个.

【解答】 由数字0、1、2生成的最高位为1的4位数共有3×3×3=27个, 其中大于1000的共有27-1=26个. 由0, 1, 2生成的最高位为2而不大于2010的自然数从小到大只有2000, 2001, 2002, 2010四个. 因此, 由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000且不超过2010的自然数, 总计有26 + 4=30个, 2010是其中最大的, 因此按照从小到大排列, 排在第30个.

题32（抢答8）如图A-85, P为正方形ABCD内一点, 并且∠APB＝90°, AC、BD交于O．已知AP=3cm、BP=5cm.求三角形OBP的面积． 【答案】2.5 cm2.

【解答】连DP, 并将三角形ADP绕A点顺时针旋转

图A-85

90, 到三角形ABM的位置, 见图A-86. 则AMBP是直角梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD的面积是12. 又正方形ABCD的面积为 AB2325234. 从而三角形ABD的面积为17.

所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形OBP的面积 = 2.5 cm2.

题33（共答4）如图A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第3块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不计）

图A-86

图A-87

【答案】66.875%.

【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为80. 如图A-88,

图A-88

阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为

S(27)524= 26.5. 22所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.占房间总面积的

53.50.6687566.875%.80题34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子

共迎接?请大家一起同声回答！

2 【答案】16.

【解答】设想的两个非0数为a,b.则

共迎(ab)2(ab)24ab2416.接abab222