宁乡县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁乡县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如果向量满足，且 A．30° B．45° C．75°

2． 设关于x的不等式：x2﹣ax﹣2＞0解集为M，若2∈M， A．（﹣∞，

）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，

，则

的夹角大小为（ ）

D．135°

∉M，则实数a的取值范围是（ ） ）

C．[

，1）

D．（

，1）

3． 已知命题p：对任意x0，，log4xlog8x，命题：存在xR，使得tanx13x，则下列命题为真命题的是（ ）

A．pq B．pq C．pq D．pq 4． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

5． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于

，且获得一等奖

的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案

6． 如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

7． 不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（ ） A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0

C．a＞0，△≥0

D．a＞0，△＞0

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8． 已知点M的球坐标为（1，A．（1，

，

）

B．（，

，），则它的直角坐标为（ ）

C．（，，）

D．（

，，

）

，）

9． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 10．设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（ ）

A．1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣1

11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（ ）

A．（0，1）∪（2，3） B．（0，1）∪（3，4） C．（1，2）∪（3，4）

12．若向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，则实数m的值为（ ） A．﹣ B．

C．2

D．6

D．（1，2）∪（2，3）

二、填空题

13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是 ．

14．在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为 ． 第 2 页，共 17 页

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15．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=

，则sin（α+

）= ．

16．若直线x﹣y=1与直线（m+3）x+my﹣8=0平行，则m= ．

17．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数fx＝－xlnx＋ax在0，e上是增函

a23数，函数gx＝e－a＋，当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a的值

22x为______.

18．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． （1）若0＜α＜

，且sinα=

，求f（α）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

20．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

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21．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数；

（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．

22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数fx为偶函数且图象经过原点，其导函数f'x的图象过点1，2． （1）求函数fx的解析式；

23．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2） （Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积

（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

（2）设函数gxfxf'xm，其中m为常数，求函数gx的最小值．

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24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

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宁乡县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由题意故两向量夹角的余弦值为故两向量夹角的取值范围是45° 故选B

=

故

，即

析

】

【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角．属于基础公式应用题．

2． 【答案】C

【解析】解：由题意得：解得：

≤a＜1，

，1）．

，

解

则实数a的取值范围为[故选C 的关键．

3． 【答案】D 【

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式组的解法，根据题意列出关于a的不等式组是解本题

考

点：命题的真假. 4． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥，

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因此l⊥α． 故选：B．

5． 【答案】D

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

则根据题意有：，作可行域为：

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D 6． 【答案】 C

【解析】解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，

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2，16），（3，9），精选高中模拟试卷

∴AP=，

即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分． ∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长， 即周长=

=π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，

面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积 为

∴f（x）=6x+π﹣4﹣∴对应的图象为C， 故选：C．

， =

，是一个开口向下的抛物线，

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

7． 【答案】A

2

【解析】解：∵不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，

∴a＜0，

2

且△=b﹣4ac＜0，

2

综上，不等式ax+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．

故选A．

8． 【答案】B

【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z）， ∵点M的球坐标为（1，∴x=sin

cos

=，y=sin

，sin

）， =

，z=cos

=

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∴M的直角坐标为（，故选：B．

，）．

【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，

9． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 10．【答案】B

【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

11．【答案】D

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2）， ∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x）， ∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称， 又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1）， 故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，

由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0， ∴（x﹣2）f（x）＞0；

∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3） 故选：D

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【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．

12．【答案】A

【解析】解：因为向量=（3，m），=（2，﹣1），∥， 所以﹣3=2m， 解得m=﹣． 故选：A．

【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．

二、填空题

13．【答案】 0 ．

【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…， 即新数列{bn}是周期为6的周期数列， ∴b2016=b336×6=b6=0， 故答案为：0．

【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．

14．【答案】 （﹣1，﹣） ．

【解析】解：∵Sn =7n+∴

，即

，当且仅当n=8时Sn取得最大值， ，解得：

，

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综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．

15．【答案】：

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+

）

=

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值， ，

．

）＞0，

=

．

故答案为：16．【答案】

． ．

===

【解析】解：直线x﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my﹣8=0斜率为两直线平行，则故应填﹣．

17．【答案】

=1解得m=﹣．

【解析】fx1lnxa，因为fx在0，e上是增函数，即fx0在0，e上恒成立，

5 2alnx1，则alnx1max，当xe时，a2，

a2a2x,t1,3， 又gxea，令te，则gtta22x第 11 页，共 17 页

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a2a2（1）当2a3时，gtmaxg1a1，gtminga，

2235则gtmaxgtmina1，则a，

22a2a2（2）当a3时，gtmaxg1a1，gtming3a3，

22则gtmaxgtmin2，舍。 a5。 2

18．【答案】 7+

【解析】解：如图所示， 设∠APB=α，∠APC=π﹣α． 在△ABP与△APC中，

222

由余弦定理可得：AB=AP+BP﹣2AP•BPcosα，

AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），

222

∴AB+AC=2AP+222∴4+3=2AP+

， ，

解得AP=．

．

∴三角形ABP的周长=7+故答案为：7+

．

【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵0＜α＜∴cosα=

，

，且sinα=

，

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∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣， =

×（

+

）﹣

=．

（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣． =sinxcosx+cos2x﹣ =sin2x+cos2x =sin（2x+

），

∴T==π， 由2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，得kπ﹣

≤x≤kπ+

，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+

]，k∈Z．

20．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. 由余弦定理得：cosAb2c2a232bc2，又A(0,)，故A6. 6分 （Ⅱ） ABC的面积为3，12bcsinA3，bc43①， 8分

又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分 由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

21．【答案】

【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称． 又f（x﹣y）=

，

所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]= = =

= = =，

故函数f（x）奇函数．

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3分

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（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]=令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]=∵f（x﹣2）=∴f（x﹣4）=则函数的周期是4．

先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0， 设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1， 则f（x﹣2）=设2≤x1≤x2≤3，

则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），

即函数f（x）在[2，3]上为减函数，

则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．

，

，即f（x）=﹣

＜0，

=

，

，

=

=

=

，

，

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．

22．【答案】（1）fxx；（2）m1

2第 14 页，共 17 页

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【解析】（2）

m，22 据题意，gxfxf'xmx2xm，即gx{mx22xm，x，2mm2m2①若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222m2m2单调递减；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递减，在

22x22xm，x上单调递增，故gx的最小值为g1m1． 1，mmm21，即2m2，当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递减； 222m2m当x时，gxx1m1，故gx在，上单调递增，故gx的最小值为

22②若12mmg． 24mm22③若1，即m2，当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，1上单调递

22m2mm2减，在1，上单调递增；当x时，gxx2xmx1m1，故gx在，上

222单调递增，故gx的最小值为g1m1．

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m2综上所述，当m2时，gx的最小值为m1；当2m2时，gx的最小值为；当m2时，

4gx的最小值为m1．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2， ∴CF=DF，OF=

，

，

∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=∵CE为直径，∴DE⊥CD， ∴OF∥DE，DE=2OF=2， ∴

，

图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB， 又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，

∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高， ∴

．

（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO． 证明：分别连接PE，CP，OP， ∵点P为劣弧BC弧的中点，∴

，

∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形， ∴CP∥AB，且∴CP∥DE且CP=DE， ∴四边形CDEP为平行四边形， ∴PE∥CD，

又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO， ∴PE∥平面CDO．

，又∵DE∥AB且DE=

，

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【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为， ∴

，

和

．

，

∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴

，P（X=6）=

7 ，P（X=7）=

，

∴随机变量X的分布列为

X 5 6 p ． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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