三角形中的最值问题

考点提要

1．掌握三角形的概念与基本性质．

2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．

基础自测

1．（1）△ABC中，cosA（2）△ABC中，当A=

33sinA，则A的值为 30° 或90° ；

BC3 时，cosA2cos取得最大值 ． 3221 ． 22．在△ABC中，sinA:sinB:sinCm:(m1):2m，则m的取值范围是 m 解 由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m，

令amk,b(m1)k,c2mk，由abc,acb，得m3．锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是 30º＜B＜45º ． 4．设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则

1． 2r的最大值为21． R5．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,b,c，若b23ac，则B的取值范围是 0°＜B≤120° ．

6．在△ABC中，若A>B，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．

①sinA>sinB； ②cosAsin2B； ④cos2ABa>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB，故①正确；

cosAB，故②正确（或由余弦函数

22在(0,)上的单调性知②正确）；

由cos2AsinBA>B，故④正确．

22知识梳理

1．直角△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,b,c，C=90°，若内切圆的半径为r，则rabc． 22．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中

有着广泛的应用．

例题解析

例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值． 点评

例2 已知△ABC中，a1,b2．

（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围．

12c,解 （1）由三角形三边关系得第三边c满足2c1,解得1c3，故最小内角为A．

1c2,b2c2a2c2313133(c)≥2c又cosA（当且仅当

2bc4c4c4c2c3时等号成立），所以A≤30°，即最小内角的最大值为30°．

（2）因为△ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为a＜b，所以

A＜B，故只需说明B，C为锐角即可．

1c2401,020要注意变形的等价性，如“内角A为锐角0例3 （2008江苏）求满足条件AB2,AC解 设BC＝x，则AC＝2x ．

根据面积公式得SABC=

2BC的△ABC的面积的最大值．

1ABBCsinBx1cos2B， 2AB2BC2AC24x22x24x2根据余弦定理得cosB，

2ABBC4x4x4x22128(x212)2代入上式得SABC=x1(， )4x162xx2,由三角形三边关系有 解得222x222，

x22x,2故当x12,x23时SABC取最大值12822． 16点评

例4 如图，已知∠A=30°，P，Q分别在∠A的两边上，PQ=2．当P，Q处于什么位置时，△APQ的面积最大并求出△APQ的最大面积．

点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．

uuuruuuruuur例5 已知△ABC的周长为6，|BC|,|CA|,|AB|成等比数列，求：

（1）△ABC的面积S的最大值； （2）BABC的取值范围．

uuuruuuruuur解 设|BC|,|CA|,|AB|依次为a，b，c，则a+b+c=6，b 2 =ac．

ac6b由bac≤得0b≤2（当且仅当a=c时，等号成立）， 22a2c2b2a2c2ac2acac1≥（当且仅当又由余弦定理得cosB2ac2ac2ac2311212 （1）SacsinBbsinB≤2sin3，即Smax3（当且仅当

2223a=b= c时，等号成立）；

a=c时，等号成立），故有0B≤，

a2c2b2(ac)22acb2 （2）BABCaccosB

22(6b)23b2(b3)227． 2uuuruuurQ0b≤2,2≤BABC18．

点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．

方法总结

1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．

2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．

3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．

练习42 三角形的最值问题

班级 姓名 学号

1．若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是 (2+1)m ． 2．在锐角△ABC中，若C2B，则

AB的取值范围是 （2，3） ． ACABsinCsin2BAB 解 2cosB，而B，23．

ACsinBsinBAC2,a1，则A的取值范围是 0º＜B≤45º ．

3．在△ABC中，若b4．若2、3、x分别是锐角三角形的三边长，则x的取值范围是 (5,13) ． 5．若三角形两边之和为16 cm，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 163 ，周长的最小值是 24 ．

6．已知△ABC中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC的最大值为___83___．

7．钝角三角形的三边为a,a1,a2，其中最大角不超过120°，则a的取值范围是

3≤a3 ． 2解 由题意钝角三角形中，a2为最大边且最大角不超过120°，因此得

a(a1)a2 ①，a2(a1)2(a2)2 ②，

a2(a1)2(a2)21cosA≥ ③，

2a(a1)2由①得a1，②得1a3，③得a≤1或a≥

33，故≤a3． 228．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB=9，S△COD=16，则四边

形面积的最小值是 49 ．

9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm2． 解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，cos115,sin，S415； 44210，S610； 7 图（2）中，AD210,sin图（3）中，cos13,sin，S103．比较 22上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm2．

点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结

论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．

10．在△ABC中，已知acos2CA3ccos2b． 222（1）求证：a、b、c成等差数列； （2）求角B的取值范围．

解

11．如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF=30°，

求△AEF面积的最小值．

解 设△AEF的面积为S，∠BAE=（15º≤≤45º），

则由∠EAF=30°得∠DAF=60． ∵正方形ABCD的边长为a， ∴在Rt△BAE中，AE在Rt△DAF中，AFoABa； coscosADa，

cos(60o)cos(60o) ∴S1AEAFsinEAF 21aaa2osin30 2coscos(60o)4coscos(60o)a2134cos(cossin)22a2 22cos23sincosa2cos23sin21a2132(cos2sin2)122a2132(cos2sin2)122 a2cos23sin21 a2a2a2≤． ooo2sin(230)12sin(23030)13

12．（2008四川延考）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a,b,c，已知

a2c22b2．

（1）若B4（2）若b2，求△ABC面积的最大值．

222解 （1）由题设及正弦定理，有sinAsinC2sinB1．

22故sinCcosA．因A为钝角，所以sinCcosA．

5由cosAcos(C)，可得sinCsin(C)，C=，A=．

8448a2c21221（2）由余弦定理及条件b(ac)，有cosB，故cosB≥．

4ac222，且A为钝角，求内角A与C的大小；

由于△ABC面积311acsinB，又ac≤(a2c2)4，sinB≤，

222当ac时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大值为

1343． 22

备用题

1．直角△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为 2．在△ABC中，已知sin2A + sin2B = 5sin2C，求证：sinC≤21 ．

3． 5解 等式sin2A + sin2B = 5sin2C立即联想正弦定理，有a2+b2=5c2． 而a2+b2=5c2与余弦定理连起来也无可非议． ∵c2= a2+b2－2abcosC，

∴5c2= c2+2abcosC，∴4c2=2abcosC．

于是可知cosC＞0，C为锐角，而5c2= a2+b2≥2ab， 故4c2=2abcosC≤5c2cosC． ∴cosC≥

43，∴sinC≤． 55 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过

程中．

3．已知△ABC的内角满足sinBsinCsinA(cosBcosC)． （1）求A； （2）若△ABC的面积为4，求△ABC周长的最小值．

4．如图，边长为a的正△ABC的中心为O，过O任意作直线交AB、AC于M、N，求

11的最大值和最小值． OM2ON21815答案 最大值2、最小值2．

aa

5．如图∠A = 90°，∠B = ，AH = h，，h 为常数，AH⊥BC于H，∠AHE=∠AHD =

x，问当x取何值时，△DEH的面积最大并求出最大面积．