等差数列的概念

等差数列的概念

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7

【解析】选C.a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝12，所以a1＋4d＝6，所以a5＝6.

2．等差数列{an}中，已知a3＝7，a5＝13，则a7＝( ) A．16 B．17 C．18 D．19

【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5＝a3＋a7， 所以a7＝2a5－a3＝19.

3．若等差数列的前3项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为( ) A．an＝2n－5(n∈N*)

B．an＝2n－3(n∈N*)

C．an＝2n－1(n∈N*) D．an＝2n＋1(n∈N*)

【解析】选B.因为x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前3项，所以2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.

所以a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，

所以d＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3(n∈N*).

4．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，则a25的值为( ) A．49 B．50 C． D．99

【解析】选A.因为a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，所以数列{an}是等差数列，则a25＝1＋2×(25－1)＝49.

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5．已知数列{an} 是等差数列，数列{bn} 分别满足下列各式，其中数列{bn} 必为等差数列的是( ) A．bn＝|an| B．bn＝a2n 1anC．bn＝a D．bn＝－2

n

【解析】选D.设数列{an} 的公差为d，

选项A，B，C，都不满足bn－bn－1＝同一常数，所以三个选项都是错误的； anan－1an－1－and

对于选项D，bn－bn－1＝－2 ＋2 ＝2 ＝－2 ， 所以数列{bn} 必为等差数列．

6．(多选题)若数列{an}满足a1＝1，3an＋1＝3an＋1，n∈N*，则数列{an}是( ) A．公差为1的等差数列 1

B．公差为3 的等差数列

n2

C．通项公式为an＝3 ＋3 的等差数列 n

D．通项公式为an＝3 ＋1的等差数列

1

【解析】选BC.由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝3 .所以数列11n2{an}是公差为3 的等差数列. 又因为a1＝1，得到an＝1＋n－1 ×3 ＝3 ＋3 ，故选BC.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．在等差数列{an}中，若a1＝5，d＝2，则a10＝________；若已知a1＝3，d＝4，an＝59，则n＝__________．

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【解析】a10＝a1＋(10－1)d＝5＋9×2＝23.因为an＝a1＋(n－1)d，所以59＝3＋4(n－1)，解得n＝15. 答案：23 15

8．等差数列1，－1，－3，－5，…，－的项数为________. 【解析】因为a1＝1，d＝－1－1＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋3. 由－2n＋3＝－，得n＝46. 答案：46

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知等差数列{an} 满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求首项及公差； (2)求{an} 的通项公式．

【解析】(1)设等差数列{an} 的公差为d. 因为a4－a3＝2，所以d＝2. 又因为a1＋a2＝10， 所以2a1＋d＝10，故a1＝4.

(2)由(1)可知an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…). 10．已知等差数列{an}：3，7，11，15，….

(1)135，4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？试说明理由；

(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．

【解析】因为a1＝3，d＝4，

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所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135，所以n＝34， 所以135是数列{an}中的第34项． 令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*. 所以4m＋19是{an}中的第m＋5项． (2)因为ap，aq是{an}中的项， 所以ap＝4p－1，aq＝4q－1. 所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1) ＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1， 因为2p＋3q－1∈N*，

所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．

(35分钟 70分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 1．给出下列命题：

①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；

②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；

③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；

n∈N* 是等差数列． 2n＋1④数列 





其中正确命题的序号是( )

A．①② B．①③ C．②③④ D．③④

【解析】选C.根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，①错

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误；

对于②，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以②正确；对于③，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以③正确；对于④，因为

n∈N* 是等差数列．所2n＋1an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列 





以④正确．

2．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：一年有1

二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为996 分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立春”时日影长度为( )

1

A.9533 分

1

B．1 0522 分

25

C．1 1513 分 D．1 2506 分

1

【解析】选B.一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为996 - 5 -

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分，

且“冬至”时日影长度最大，为1 350分； “夏至”时日影长度最小，为160分．

从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：

1 1901－1 350＋3＝1 0522 (分). 12 ×

a83．在等差数列{an}中，a2，a14是方程x＋6x＋2＝0的两个实根，则aa ＝( )

214

2

3

A．－2 B．－3 C．－6 D．2

【解析】选A.由于a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2·a14＝2， －3a83所以aa ＝2 ＝－2 .

214

an

4．(多选题)等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝ .若对

an＋1任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的可能取值是( ) A．－7 B．－6.5 C．－6.3 D．－6

【解析】选BC.因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1.an1

所以bn＝ ＝1－ .

an＋1n＋a

又因为对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立， 11

可知 ≤ ，又因为数列{an}是递增数列，

6＋an＋a则必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，所以－7- 6 -

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二、填空题(每小题5分，共20分)

5．已知{an}为等差数列，若a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则a3＝________． 【解析】因为{an}为等差数列，a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，

a1＋d＝2（a1＋2d）＋1所以

a1＋3d＝2（a1＋2d）＋7

解得a1＝－10，d＝3，

，

所以a3＝a1＋2d＝－10＋6＝－4. 答案：－4

1 为等差数列，6．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列则a5＝________． a＋1n1 为等差数列， 【解析】由数列a＋1n

1127

则有 ＋ ＝ ，可解得a5＝5 .

a3＋1a7＋1a5＋17答案：5

7．数列{an} 满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝________． 【解析】log2an＋1＝1＋log2an，所以log2an＋1－log2an＝1， 所以{log2an} 为等差数列，公差为1，第三项为log210， 所以log2a8＝log210＋5， 所以a8＝320. 答案：320

8．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．

第1列 第2列 - 7 -

第3列 …

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第1行 第2行 第3行 … 1 2 3 … 2 4 6 … 3 6 9 … … … … … 那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是________.

【解析】由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n.所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n. 答案：n2＋n

三、解答题(每小题10分，共30分)

2x19．已知f(x)＝ ，在数列{xn}中，x1＝3 ，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明

x＋2

1

数列x 是等差数列，并求x95的值．

n

【解析】因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，

2xn－1－2xn

所以xn＝ (n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得 ＝1(n≥2)，

xn－1＋2xnxn－1

2xn－1

111

即x － ＝2 (n≥2).

nxn－1

1111

又x ＝3，所以数列x 是以3为首项，2 为公差的等差数列，所以x ＝3＋(nn1n

1n＋5

－1)×2 ＝2 ， 2所以xn＝ ，

n＋5

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21

所以x95＝ ＝50 .

95＋5

10．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1.

所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列{an}不可能为等差数列，

证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)， 若存在λ使{an}为等差数列，

则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.

这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列． 6an－4*n∈N11．已知数列{an} 满足an＋1＝ ，且a1＝3 .

an＋2

1 是等差数列； (1)证明：数列a－2n

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(2)求数列{an} 的通项公式． 6an－4

【解析】(1)因为an＋1＝ ，

an＋2

1111所以 ＝ ＝1， ＝

a1－23－2an＋1－26an－4

－2an＋2

a－2＋4

1111n

＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ，即 － 44an－8an－2an＋1－2an－24an－26an－4－2an＋2

an＋2an＋2

1

＝4 ，n∈N*，

11故数列 是首项为1，公差为4 的等差数列． a－2n

2n＋10111n＋3*

(2)由(1)知 ＝ ＋n－1 × ＝ ，所以a ，n∈N. n＝44an－2a1－2n＋3【补偿训练】

已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*).求数列{an}的通项公式． 【解析】因为a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，

所以数列{an}的奇数项、偶数项均是以－2为公差的等差数列．

n＋1



当n为奇数时，an＝a1＋ ×(－2)＝11－n， －1

2n当n为偶数时，an＝a2＋2－1 ×(－2)＝7－n， 

11－n，n为奇数，

所以an＝

7－n，n为偶数．

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