武汉市武昌区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案解析

析

一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．若分式的值为0，则x的值为（ ）

A．2

B．﹣2 C．

D．﹣

3．点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（ ） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1） 4．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，6，11 D．5，9，15 5．下列运算中正确的是（ ）

A．b3•b3=2b3 B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7 D．a2÷a5=a﹣3 6．分式

与

的最简公分母是（ ）

A．6y B．3y2 C．6y2 D．6y3

7．下列多项式中，能分解因式的是（ ） A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a+4 D．a2+ab+b2

8．如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（ ）

A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF

9．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（）

A．45° B．50° C．55° D．60°

10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，P，Q分别在AB，BC上（P，Q与A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列结论：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中点；④值．其中正确结论的个数是（ ）

的值为定

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：每小题3分，共18分． 11．将分式约分：

= ．

12．禽流感病毒的形状一样为球形，直径大约为0.000102千米，数0.000102用科学记数法表示为 ． 13．若一个n边形的内角和为720°，则边数n= ． 14．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．

15．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 ．

16．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为 ．

，M，N分

三、解答题：共9小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或画出图形． 17．运算：（a+b）2﹣2ab． 18．解方程：19．分解因式： （1）x2﹣9 （2）3ab2+6ab+3a．

20．如图，∠BAC=∠DAC，∠B=∠D．求证：AB=AD．

=

．

21．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=3．

22．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．

（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；

（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．

23．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，假如超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？

24．如图1，在△ABC中，AB=AC，BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．

（1）直截了当写出∠ADE的度数； （2）求证：DE=AD+DC；

（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF=3，求BP的长．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N． （1）点C的坐标为： （用含m，n的式子表示）； （2）求证：BM=BN；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．

2020-2020学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】依照轴对称图形的概念对各选项分析判定后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是查找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．若分式A．2

的值为0，则x的值为（ ）

D．﹣

B．﹣2 C．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】先依照分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【解答】解：∵分式∴

解得x=2． 故选A．

【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．

3．点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（ ）

，

的值为0，

A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】依照两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【解答】解：依照两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点M（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣1）， 故选：C．

【点评】本题要紧考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单．

4．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，6，11 D．5，9，15 【考点】三角形三边关系．

【分析】依照三角形任意两边之和都大于第三边逐个判定即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B、5+6＞10，6+10＞5，5+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； C、5+6=11，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； D、5+9＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； 故选B．

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，要紧考查学生对三角形的三边关系定理的明白得能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．

5．下列运算中正确的是（ ）

A．b3•b3=2b3 B．x2•x3=x6 C．（a5）2=a7 D．a2÷a5=a﹣3

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确答案．

【解答】解：A、b3•b3=b6，原式运算错误，故本选项错误； B、x2•x3=x5，原式运算错误，故本选项错误； C、（a5）2=a10，原式运算错误，故本选项错误； D、a2÷a5=a﹣3，运算正确，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等知识，把握运算法则是解答本题的关键． 6．分式

与

的最简公分母是（ ）

A．6y B．3y2 C．6y2 D．6y3 【考点】最简公分母．

【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独显现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积确实是最简公分母． 【解答】解：分式故选C．

【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，如此的公分母叫做最简公分母．一样方法：①假如各分母差不多上单项式，那么最简公分母确实是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②假如各分母差不多上多项式，就能够将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡显现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

7．下列多项式中，能分解因式的是（ ） A．a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a+4 D．a2+ab+b2 【考点】因式分解的意义．

【分析】依照因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、平方和不能分解，故A错误； B、平方的符号相同，不能因式分解，故B错误； C、平方和减积的2倍等于差的平方，故C正确； D、平方和加积的1倍，不能因式分解，故D错误； 故选：C．

【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．

与

的分母分别是3y、2y2，故最简公分母是6y2；

8．如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（ ）

A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF

【考点】全等三角形的判定．

【分析】求出AF=CE，依照平行线的性质得出∠A=∠C，依照全等三角形的判定推出即可． 【解答】解：只有选项A正确， 理由是：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， 在△ADF和△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故选A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，要紧考查学生的推理能力和辨析能力．

9．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60° 【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】第一连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案．

【解答】解：连接AC， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AC=EC， ∴∠CAE=∠E，

∵AB+BC=BE，BC+EC=BE， ∴AB=EC=AC， ∴∠B=∠ACB，

∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E， ∴∠B=2∠E，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E， ∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°， 解得：∠E=25°， ∴∠B=2∠E=50°． 故选B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，P，Q分别在AB，BC上（P，Q与A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列结论：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中点；④值．其中正确结论的个数是（ ）

的值为定

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】由Q是边长BC上的动点，得出①不正确；

由等腰直角三角形的性质和已知条件得出∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=AC=OA=OC，∠AOB=90°，证出∠AOP=∠BOQ，由ASA证明△AOP≌△BOQ，得出AP=BQ，OP=OQ，②正确；

过O作OM∥BC，则∠MOQ=∠OQC，证明B，P，O，Q四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠OQC=∠SPO=∠MOQ，证出∠POS=∠OQA，由ASA证明△POS≌△OQM，得出PS=OM，证明OM是△AQE的中位线，得出OM=CQ，得出④正确；

同理证出△BOP≌△COQ，得出PB=CQ，得出PS=PB，③正确；即可得出结论． 【解答】解：∵Q是边长BC上的动点， ∴①不正确；

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，

∴∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=AC=OA=OC，∠AOB=90°， ∵OP⊥OQ， ∴∠POQ=90°， ∴∠AOP=∠BOQ， 在△AOP和△BOQ中，

，

∴△AOP≌△BOQ（ASA）， ∴AP=BQ，OP=OQ，②正确；

（3）过O作OM∥BC，交AQ于M，如图所示： ∴∠MOQ=∠OQC， ∵∠ABC=∠POQ=90°， ∴B，P，O，Q四点共圆， ∴∠OQC=∠SPO=∠MOQ， ∵OS⊥AQ，

∴∠OQA+∠QOS=90°， ∵∠POS+∠QOS=90°， ∴∠POS=∠OQA， 在△POS与△OQM中，

，

∴△POS≌△OQM（ASA）， ∴PS=OM， ∵AO=OE，

∴OM是△AQE的中位线， ∴OM=CQ， ∴PS=CQ， ∴

=2，④正确；

∵△AOP≌△BOQ，同理：△BOP≌△COQ， ∴PB=CQ， ∴PS=PB，

即S是PB的中点，③正确； 正确结论的个数有3个． 故选：C．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、四点共圆、圆内接四边形的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等是解决问题的关键．

二、填空题：每小题3分，共18分． 11．将分式约分：【考点】约分．

【分析】将分子与分母的公因式约去即可． 【解答】解：

=

． =

．

故答案为．

【点评】本题考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，如此的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要第一将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

12．禽流感病毒的形状一样为球形，直径大约为0.000102千米，数0.000102用科学记数法表示为 1.02×10﹣4 ．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也能够利用科学记数法表示，一样形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000102=1.02×10﹣4， 故答案为：1.02×10﹣4．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一样形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

13．若一个n边形的内角和为720°，则边数n= 6 ． 【考点】多边形内角与外角．

【分析】n边形的内角和能够表示成（n﹣2）•180°，设那个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

【解答】解：由题意可得：（n﹣2）•180°=720°， 解得：n=6．

因此，多边形的边数为6． 故答案为6．

【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．

14．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ±6 ． 【考点】完全平方式． 【专题】运算题．

【分析】利用完全平方公式的结构特点判定即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式， ∴m=±6，

故答案为：±6．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练把握完全平方公式是解本题的关键．

15．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 80° ．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】依照要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），然后依照三角形内角和即可得出答案．

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB=130°， ∴∠HAA′=50°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=50°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°， ∴∠MAN=80° 故答案为：80°．

【点评】此题要紧考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，依照已知得出M，N的位置是解题关键．

16．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为 4

+4 ．

，M，N分

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，求出∠EAM=∠MAN，依照SAS推出△AEM≌△ANM，依照全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出即可． 【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN， ∵∠BAC=∠D=90°，

∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°， ∴∠ABD+∠ABE=180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，

∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°， ∴∠EAM=∠MAN， 在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴MN=ME， ∴MN=CN+BM，

∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4故答案为：4

+4．

，CD=BD×tan∠CBD=4， +4，

【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

三、解答题：共9小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或画出图形． 17．运算：（a+b）2﹣2ab． 【考点】完全平方公式．

【分析】依照完全平方公式，可得同类项，依照合并同类项，可得答案． 【解答】解：原式=a2+2ab+b2﹣2ab=a2+b2．

【点评】本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积得2倍．

18．解方程：

=

．

【考点】解分式方程． 【专题】运算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x+2=5， 解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的差不多思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19．分解因式： （1）x2﹣9 （2）3ab2+6ab+3a．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】运算题．

【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=（x+3）（x﹣3）； （2）原式=3a（b+1）2．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练把握因式分解的方法是解本题的关键．

20．如图，∠BAC=∠DAC，∠B=∠D．求证：AB=AD．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】如图，直截了当证明△ABC≌△ADC，即可解决问题． 【解答】证明：如图，在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB=AD．

【点评】该题要紧考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；牢固把握判定定理是灵活解题的基础和关键．

21．先化简，再求值：（

+

）÷

，其中x=3．

【考点】分式的化简求值． 【专题】运算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入运算即可求出值． 【解答】解：原式=当x=3时，原式=

=2．

•

=

，

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练把握运算法则是解本题的关键．

22．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．

（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；

（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接，写出C1的坐标；

（2）先作出直线m：y=﹣1，然后作出点A、B、C关于y=﹣1对称的点，顺次连接，写出点C2的坐标． 【解答】解：（1）所作图形如图所示： C1的坐标为（﹣4，3）；

（2）所作图形如图所示： C2的坐标为（4，﹣5）．

【点评】本题考查了依照轴对称变化作图，解答本题的关键是依照网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．

23．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，假如超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 【考点】分式方程的应用． 【专题】销售问题．

【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．依照第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解； （2）依照利润=售价﹣进价，可求出结果．

【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元， 由题意，得解得x=5，

经检验x=5是方程的解．

答：该种干果的第一次进价是每千克5元； （2）[

+

﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000） =2×

+300，

=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000 =1500×9+4320﹣12000 =13500+4320﹣12000

=5820（元）．

答：超市销售这种干果共盈利5820元．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．如图1，在△ABC中，AB=AC，BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．

（1）直截了当写出∠ADE的度数； （2）求证：DE=AD+DC；

（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF=3，求BP的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，依照等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，依照三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；

（2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，依照BD=CD即可求得ME=CD，因此证得结论；

（3））如图2过点P作PQ⊥BE于Q，由角平分线的性质得到PA=PQ，再由三角形相似得到PF=3（

﹣1），得到PE，依照勾股定理列方程求解．

=

，求得

【解答】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC，

∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC，

=75°，

∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；

（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中，

，

∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD；

（3）如图2过点P作PQ⊥BE于Q， ∵BP平分∠ABE，∠BAE=90°， ∴PA=PQ，

设PA=PQ=x，∵∠AEB=45°， ∴PE=

x，∴AB=AE=AP+PE=（

1）x，

∵EF⊥BP，∴∠PFE=90°， ∴∠PFE=∠BAE， ∵∠APB=∠EPF， ∴△ABP∽△EFP， ∴

=

， ﹣1），

+32=

，

，

∴PF=3（

∴PE2=PF2+EF2=解得：x=3

∴AB=3∴PB2=∴PB=6．

•（+1），

+

=36，

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N． （1）点C的坐标为： （n，m+n） （用含m，n的式子表示）； （2）求证：BM=BN；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）过C点作CE⊥y轴于点E，依照AAS证明△AOB≌△BEC，依照全等三角形的性质即可得到点C的坐标；

（2）依照全等三角形的性质的性质和等量代换可得∠1=∠2，依照ASA证明△ABM≌△CBN，依照全等三角形的性质即可得到BM=BN；

（3）依照SAS证明△DAH≌△GAH，依照全等三角形的性质即可求解． 【解答】（1）解：过C点作CE⊥y轴于点E， ∵CE⊥y轴， ∴∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBE=90°， ∵∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠CBE=∠BAO， 在△AOB与△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴CE=OB=n，BE=OA=m， ∴OE=OB+BE=m+n，

∴点C的坐标为（n，m+n）． 故答案为：（n，m+n）； （2）证明：∵△AOB≌△BEC， ∴BE=OA=OP，CE=BO， ∴PE=OB=CE， ∴∠EPC=45°， ∠APC=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABM与△CBN中，

，

∴△ABM≌△CBN（ASA）， ∴BM=BN；

（3）证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G， ∴AD=AC，AG=AC， ∴AD=AG，

∵∠1=∠5，∠1=∠6， ∴∠5=∠6， 在△DAH与△GAH中，

，

∴△DAH≌△GAH（SAS）， ∴D，G关于x轴对称．

【点评】考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：全等三角形的判定和性质，关于直线对称的性质．关键是AAS证明△AOB≌△BEC，ASA证明△ABM≌△CBN，SAS证明△DAH≌△GAH．