南京市2021－2022学年度第一学期期末学情调研试卷
高 一 数 学 2022.01
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知M＝{x|x∈A且xB}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则M＝
A．{2，4} B．{6，8} C．{1，3，5} D．{1，3，6，8} 2．命题“x≥0，x3＋x≥0”的否定是
A．x≥0，x3＋x＜0 B．x＜0，x3＋x≥0 C．x≥0，x3＋x＜0 D．x≥0，x3＋x≥0 3．已知0＜x＜1，若a＝log2x，b＝2x，c＝x2，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD＝2－1，锯道AB＝2，则图中ACB的长度为
π2A． B．π C．π D．2π
22⌒
第4题图
π
5．要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需
5
π
A．将函数y＝3sin(x＋)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
5π1
B．将函数y＝3sin(x＋)图象上所有点的横坐标变为原来倍(纵坐标不变)
102π
C．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
5π
D．将函数y＝3sin2x图象上所有点向左平移个单位
10
6．已知b，c∈R，关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为(－2，1)，则关于x的不等式cx2＋bx＋1＞0的解集为
11
A．(－，1) B．(－1，)
22
11
C．(－∞，－)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
227．函数f(x)＝
ax＋b
2的图象如图所示，则 (x＋c)
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＜0
第7题图
x
8．设函数f(x)＝x(x2－cos＋2)，x∈(－3，3)，则不等式f(1＋x)＋f(2)＜f(1－x)的解集是
3
A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，2) D．(1，2)
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对 ．．．．．．．得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知x，y∈R，且0＜x＜y，则
A．sinx＜siny B．x＜y C．2
x－y
xy
＜1 D．＜ x＋1y＋1
10．已知函数y＝f(x)，x∈R，对于任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则
A．f(x)的图象经过坐标原点 B．f(3x)＝3f(x) C．f(x)单调递增 D．f(－x)＋f(x)＝0 π
11．已知函数f(x)＝2sin(2x－)，则
3
π
A．函数f(x)的图象关于点(，0)对称
62π
B．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
3
π
C．若x∈[0，]，则函数f(x)的值域为[－3，3]
25π11π
D．函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
1212
12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝2x，则
A．f(－3)＝－2
B．函数f(x)是周期函数
C．不等式f(x)＞0的解集是{x|4k＜x＜4k＋2，k∈Z} D．当关于x的方程f(x)＝mx恰有三个不同的解时，m＝2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．13．已知角θ的终边经过点P(x，1)(x＞0)，且tanθ＝x．则sinθ的值为 ▲ ．
14．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e
－kt
．若当空气温
度为30°C时，某物体的温度从90°C下降到60°C用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 ▲ ℃．
1
－x＋a，－2≤x＜2，215．设函数f(x)＝若f(－1)＝f()，则a＝ ▲ ．若函数f(x)有最小12
x， ＜x≤4.log122值，且无最大值，则实数a的取值范围是 ▲ ．
16．已知正实数x，y满足3x2＋4xy＋y2＝2，则9x＋5y的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要．．．．．．．．的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
已知集合M＝{x|x2－12x＋20＜0，x∈R}，N＝{x||x－1|＜m，x∈R}．
(1)当m＝2时，求M∩N；
(2)在①充分条件，②必要条件 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m存在，求出m的取值范围；若问题中的m不存在，请说明理由． 问题：是否存在正实数m，使得“x∈M”是“x∈N”的 ▲ ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
sin(π＋x)cos(π－x)
已知函数f(x)＝．
πsin2＋x27π
(1)求f()值；
3
sinα＋sinαcosα
(2)若f(α)＝2，求的值． 2
1＋cosα
19．(本小题满分12分)
如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y． (1)设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数； (2)求梯形ABCD周长的最大值．
2
第19题图 第19题图
20．(本小题满分12分)
1
已知1＜a＜b＜c，且logab＋logbc＝＋logac．
2(1)若c＝a3，求logab的值； (2)求logab＋logbc的最小值．
21．(本小题满分12分)
2＋1x＋1
已知函数f(x)＝x，g(x)＝2－1．
2－1
(1)利用函数单调性的定义，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数；
mm
(2)若存在实数x1，x2(0＜x1＜x2)，使得函数f(x)在区间[x1，x2]上的值域为[，]，求实
g(x2)g(x1)数m的取值范围．
x
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x3＋2x＋3a|x|，a∈R． (1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)设集合M＝{x|f(x＋1)≥f(x)，x∈R}，N＝{x|－1≤x≤1}，若NM，求实数a的取值范围．
