(完整word版)南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案

南京大学

高等代数2013年期末考试试卷及答案（A卷)

一、 填空题(每小题3分，共15分）

1、线性空间Px的两个子空间的交L1xL1x

2、设1,2,...,n与1,2,...,n是n维线性空间 V的两个基,

由1,2,...,n到1,2,...,n的过渡矩阵是C,列向量X是V 中向量在基1,2,...,n下的坐标，则在基1,2,...,n下 的坐标是

3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,,21,

则其特征矩阵EA的标准形是

5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是:

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

1、 ( )复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间； (B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域C作为复数域C上的线性空间.

1

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2、（ ）设 (A）

是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

是满射；

的核是零子空间的充要条件是

（B）的核是V的充要条件是 （C） (D）

是满射；

是满射；

的值域是零子空间的充要条件是的值域是V的充要条件是

是满射.

3、( ）矩阵A可逆的充要条件是： AA0;BA是一个非零常数；

CA是满秩的;DA是方阵.

AX(A为对称阵）经正交变换后化为： 4、（ ）设实二次型fX221y122y2...nyn, 则其中的1,2,...n是：

A1;B全是正数;C是A的所有特征值；D不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“2”，则A的若当

标准形是:

200020A;002200120B;002200120C; 012D以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“1、（ ）设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且V1则VV1V2.

2、（ ）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB

2

”）

V20

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等价。

4、（ )n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间P中，定义线性变换：

4a,b,c,da,b,ac,bd（1）求该线性变换

a,b,c,dP4

在自然基:11,0,0,0,20,1,0,0

30,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵A；

（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。

2、(1)求线性空间Px3中从基I:1,x1,x1到基

2II:1,x1,x122的过渡矩阵；

2(2)求线性空间Px3中向量fx12x3x在基

I:1,x1,x1下的坐标。

3

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3、在R2中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：

,a1b1a1b2a2b14a2b2

（1） 证明：这是R2的一个内积。 （2） 求R2的一个标准正交基。

4

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五、 证明题(每小题10分，共30分）

1、 设P3的两个子空间分别为：

W1x1,x2,x3x1x2x30,W2x1,x2,x3x1x2x30 P3W1W2；

(2）W1W2不是直和.

5

证明：（）

1(完整word版)南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案

2、设 是

是数域P上线性空间V的线性变换，证明WL1,2,...,r 的不变子空间的兖要条件是

iWi1,2,...,r

3、已知AE是n级正定矩阵,证明：

(1）A是正定矩阵； （2)A2E3

n

6

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参

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间Px的两个子空间的交L1xL1x0

2、设1,2,...,n与1,2,...,n是n维线性空间 V的两个基,

由1,2,...,n到1,2,...,n的过渡矩阵是C，列向量X是V 中向量在基1,2,...,n下的坐标，则在基1,2,...,n下 的坐标是

C1X

3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是 相似关系

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,,21,

则其特征矩阵EA的标准形是

010000015、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：

AAXAB

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

2、 （ A )复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

7

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（D)复数域C作为复数域C上的线性空间。 2、( D )设 （A）

是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： 的核是零子空间的充要条件是

是满射；

（B）的核是V的充要条件是 （C） （D）

是满射；

是满射；

的值域是零子空间的充要条件是的值域是V的充要条件是

是满射。

3、（ B )矩阵A可逆的充要条件是： AA0;BA是一个非零常数；

CA是满秩的；DA是方阵.

AX（A为对称阵）经正交变换后化为： 4、( C )设实二次型fX221y122y2...nyn， 则其中的1,2,...n是：

A1;B全是正数;C是A的所有特征值;D不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“2\"，则A的若当

标准形是:

200020A;002200120B;002200120C; 012D以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分,共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√\否则打“”) 1、( × )设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且V1则VV1V2。

2、（ √ ）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

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V20

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3、（ √ ）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB 等价。

4、( × ）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间P中,定义线性变换：

4a,b,c,da,b,ac,bd（1）求该线性变换

a,b,c,dP4

在自然基：11,0,0,0,20,1,0,0

30,0,1,0,40,0,0,1下的矩阵A;

（2)求矩阵A的所有特征值和特征向量。

10A在自然基下的矩阵是

104解：（1）线性变换

0101001000（5分） 01 (2)因为EA1

所以矩阵A的所有特征值是1 解齐次线性方程组

2341

EAX0

得矩阵A的所有特征向量：

k10,0,1,0k20,0,0,1，其中k1,k2不全为零。 （5分）

2、（1）求线性空间Px3中从基I:1,x1,x1到基

2II:1,x1,x122的过渡矩阵；

2(2）求线性空间Px3中向量fx12x3x在基

I:1,x1,x1下的坐标。

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解：（1）因为1,x1,x121111,x,x2012

0011,x1,x121111,x,x2012

001所以

1,x1,x121,x1,x121111110120120010011

1,x1,x12111111012012 0010011,x1,x1

2124014001

124

014即所求的过渡矩阵为 （5分) 001

2（2）因为1,x,x1,x1,x12111012 001122fx12x3x1,x,x2故 3 10

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1,x1,x111120121224x123x1 0013所以fx在基I:1,x1,x12下的坐标是：24 (5分)

33、在R2中，a1,a2,b1,b2，规定二元函数：

,a1b1a1b2a2b14a2b2

（3） 证明：这是R2的一个内积。 （4） 求R2的一个标准正交基.

(1)证明：,a1b1a1b2a2b14a2b2

aa11b11,214b

2因为1114是正定矩阵，

所以这个二元函数是R2的一个内积. （5分） (2）解：考察自然基11,0,20,1

它的度量矩阵正是1114

令：111,0,

2,12,112212121

1,11,111,1111111,2231,1

12则1,2是R2的一个标准正交基。 （5分）

11

再令 ：

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（2)解法二:考察自然基11,0,20,1

它的度量矩阵正是1114

1110r2r11010r21301401c101 2c10311c213011313 ,,113112120131即：2131,1

则1,2 的度量矩阵是E,从而是R2的一个标准正交基.

五、 证明题（每小题10分，共30分）

2、 设P3的两个子空间分别为:

W1x1,x2,x3x1x2x30,W2x1,x2,x3x1x2x30 P3W1W2;

（2)W1W2不是直和。

证明：（1）W1的一个基是：11,1,0,21,0,1

W2的一个基是：11,1,0,21,0,1 因为W1W2L1,2,1,2

其中1,2,1是W1W2的生成元的一个极大无关组 从而是W1W2的一个基，

所以dimW1W323PW1W2 (5分）

（2）因dimW12,dimW22,dimW1W23 即dimW1W2dimW1dimW

所以W1W2不是直和. (5分） （2）之证法二：因为W1W2L0,1,10

12

证明:令：

1）

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所以W1W2不是直和。

2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明WL1,2,...,r 是

的不变子空间的兖要条件是

iWi1,2,...,r

证明：（充分性）设有

iWi1,2,...,r

k11k22...krrW

k11k22...krrW WL1,2,...,r是的不变子空间.

(必要性)设WL1,2,...,r是

的不变子空间，

由iW,i1,2,...,riW,i1,2,...,r （5分）

3、已知AE是n级正定矩阵，证明：

（1）A是正定矩阵； （2）A2E3n

证明：（1)设A的特征值为1,2,...,n

因为AE是正定矩阵，

故其特征值i10,i1,2,...,n 于是A的特征值i1,i1,2,...,n

所以A是正定矩阵. （5分）

（2） 因为A的特征值i1,i1,2,...,n

所以A+2E的特征值i23,i1,2,...,n

nA2Ei23n (5分)

i1

13

分）

(5