南京市2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)

数学试题

本卷考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.sin20cos10cos160sin10 （ ）

A．

33112 B．2C．2 D.2

a5,c2,cos BD.3

2.

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

A.√2 B.√3 C.2

35,10则b（）

22x2y1，则它的右焦点坐标为( ) 3.双曲线方程为

652,0)(,0)(,0)222A. B. C. D.(3,0)

(4. 已知两条直线m,n，两平面,，给出下面四个命题，其中正确的命题是（ ） A.m//n,m//n// C.m//n,mn 5.直三棱柱( ) A.30

B.45 C.60D.90

B. //,m,nm//n D. ,m//n,mn

ABCA1B1C1中,若BAC90,

ABACAA1,则异面直线

BA1与

AC1所成的角等于

x2y26. 已知椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，且以线段F1F2为直径的圆与直线

abbxcy2bc0相切，则C的离心率为（）

A.

2222C:xy6x8y0xy7.已知圆,则:的最大值与最小值的和为( )

3 2B.

31C. 23D.

2 2

- 1 -

A.5 B.10 C.25 D.100

x2y218. 点O和点F分别为椭圆2的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OPFP的最小值为( )

1A.22B.2 C.22D.1

二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

6F，F2y9．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点1在轴上，短轴长等于2，离心率为3，

过焦点

F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点，则下列说法正确的是（ ）

y2x22x1y21A．椭圆C的方程为3B．椭圆C的方程为3

|PQ|C．10.已知圆

233D．PF2Q的周长为43 22C:x3y41和两点

Am,0,Bm,0m0.若圆C上存在点

P,使得APB90,则实数m的取值可以为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

11.A,B是不在平面内的任意两点，则（ ）

A．在内存在直线与直线AB异面 B.在内存在直线与直线AB相交 C.存在过直线AB的平面与垂直 D. 在内存在直线与直线AB平行 12. 在

ABC中，角所对的边分别为a,b,c，给出下列四个命题中，其中正确的命题

为( )

A. 若A:B:C1:2:3，则a:b:c1:2:3； B. 若cosAcosB，则sinAsinB；

C. 若A30,a3,b4，则这个三角形有两解； D. 当ABC是钝角三角形．则tanAtanC1.

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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.长方体的长、宽、高分别为4,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .

x2y212a614.如果方程a表示双曲线，则实数a的取值范围是_______.

15.已知k∈R，过定点A的动直线kxy10和过定点B的动直线xkyk30交于点P，则

PA2PB2的值为__________.

16.在∆ABC中,AC3,AB1,点D为BC边上的点,AD是∠BAC的角平分线,则AD的取值范围是________________.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题共10分）如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面

PABCD,AB//CD,CDAC.

(1)求证:AB平面PAC；

(2)设平面PAB平面PCDl,求证:AB//l.

CDAB18．（本小题共12分）在△ABC中，知，求

A3,b2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已（1） B的大小；（2） ABC的面积 ．

条件①： b2acac； 条件②： acosBbsinA． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

219．（本小题共12分已知抛物线C:y4x与直线y2x4交于A，B两点．

222（1）求弦AB的长度；

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（2）若点P在抛物线C上，且ABP的面积为12，求点P的坐标．

22C:xy6x4y40P(2,0)20.（本小题共12分）已知点及圆

(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；

(2)设直线axy10与圆C交于A,B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线2的垂直平分线AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题共12分）已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，AD2，

lPAB22，PA3，E为CD中点，PABD．

（1）求证：平面四PAE平面PBD；

（2）若PE3，求二面角DPCA的余弦值．

ADBEC22．（本小题共12分）已知圆O：xy2交x轴于M，N两点，过以MN为长轴，离心率为

222的2椭圆C的左焦点F的直线l交椭圆C于A，B，分别交y轴和圆O于P，

H.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若PAsAF，PBtBF.求证：st为定值；

（3）过原点O作直线l的垂线交直线x2于点K.试探究：当点H在

圆O上运动时（不与M，N重合），直线HK与圆O是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.

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参

一、单选题

1. D 7. D 二、多选题 9. ACD 三、填空题

10.ABC

11.AC

12.BCD

2. B 8. B

3. A

4. C

5. C

6. D

13. 21 四、解答题

（-，0）（0，6）14.

15. 13

3（0，）2 16.

17.【解析】(1)证明：

AB//CD,CDACABAC

PC平面ABCD，AB平面ABCDPCAB

又PCACC,PC,AC平面PACAB平面PAC（5分） （2）

AB//CD,CD平面PCD，AB平面PCDAB//平面PCD

又AB平面PAB，平面PAB平面PCDlAB//l(10分)

222b2acac18. 若选择条件①：

（1）因为b2acac，

222a2c2b2cosB2ac由余弦定理,

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cosB得

2ac22ac2，（4分）

因为B(0,)，所以

B4.（6分）

ab(2)由正弦定理sinAsinB a得

bsinA3sinB，（8分）

sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB624，（11分）

又因为

S所以

ABC133absinC24

（12分）

选其他条件对应给分.

2C:y4x与直线y2x4交于A，B两点． 19.【解答】解：（1）抛物线22C:y4xyy2x4把代入抛物线，得2y80，（2分）

解得y12，y24， A(1,2)，B(4,4)，

弦AB的长度

|AB|(41)2(42)235．（5分）

y2P(（2）设4，y)，

y2|y4|2d5点P到直线AB的距离，（7分） ABP的面积为12，

SABPy2|y4|112|AB|d3512225，

2|y2y8|16，解得（10分）

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解得y4或y6． P(4,4)或P(9,6)．(12分)

20. 解：①3x4y60或x2；②(x2)2y24；③不存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂

直平分弦AB.

【解析】（1）设直线l的斜率为k（k存在）， 则方程为y0k(x2). 即kxy2k0 又圆C的圆心为(3,2)，半径r3， 由 3k22kk2131， （2分） 解得k.

43(x2)， 即 3x4y60. （4分） 4所以直线方程为y当l的斜率不存在时，l的方程为x2，经验证x2也满足条件 (6分)

（2）把直线yax1,代入圆C的方程， 消去y，整理得

(a21)x26(a1)x90

由于直线axy10交圆C于A，B两点

2236(a1)36(a1)0 故

即2a0,解得a0.（8分）

设符合条件得实数a存在，由于2垂直平分弦AB，故圆心C(3,2)必在2上.所以2的斜率

lllkPC2，而

kABa11,akPC所以2.

1(,0)l由于2，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线2垂直平分弦AB.（12分）

tanABD22222，

21. 【解答】解：（1）证明：在RtABD中，

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在RtDAE中，

tanDAE22，

tanABDtanDAE，ABDDAE，

又BAEDAE90，BAEABD90，BDAE， 又

BDPA，PAAEA，BD平面PAE，（3分）

又BD在平面PBD内，平面PBD平面PAE；（4分） （2）在RtADE中，AE6，又PA3,PE3， 由勾股定理可得PAAE，又

PABD，且BD与AE相交，

PA平面ABCD，

分别以AD，AB，AP所在直线x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(2,0,0),P(0,0,3),C(2,22,0),A(0,0,0)，

DP(2,0,3),PC(2,22,3),AC(2,22,0)，（6分）

mDP2x3z0mPC2x22y3z0，则可取m(3,0,2)，设平面PDC的一个法向量为m(x,y,z)，则（8分）

同理可得平面PAC的一个法向量为n(2,1,0)，（10分）

cosm,n673147，

由题意可知，二面角DPCA为锐二面角， 14二面角DPCA的余弦值为7．（12分）

22.【解答】解：（1）由2a22，解得a所以ba2c21，

2，又因为ec2，所以c1， a2x2所以椭圆C的标准方程为y21.（2分）

2（2）证明，如图，由题设知直线l的斜率存在，

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设直线l的方程为：ykx1，则点P0,k，

x22222将直线l代入椭圆方程y21可得12kx4kx2k20，

2设Ax1,y1，Bx2,y2，

2k224k2，x1x2，（4分） x1x22212k12k由PAsAF，PBtBF， 知sx1x,t2，（6分） 1x11x24k24k2422x1x22x1x212k12k4.(8分) 故st1x1x2x1x24k22k2212212k12k（3）点H在圆O上运动时，直线HK与圆O相切，

22证明：设Hx0,y0x02，则y02x0，

kHFy0x01k，OK，

x01y0x01x， y0直线OK的方程为y2x02即点K2,，

y0

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y0kHK2x02yy022x02x022x0y0x0，kOH0， x0x02y0x02y0x02y0kHKkOH1，即HKOH，故直线HK与圆O相切.（12分）

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