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城镇居民消费水平的预测
作者：罗世超
来源：《价值工程》2013年第25期
摘要： 本文根据1978-2009年的数据建立了Logistic与GM（1，1）模型，并预测了2010-2020年我国城镇居民消费水平指数。最后基于Logistic模型的缺点考虑阻滞因素对Logistic模型进行改进，得到了与GM（1，1）模型预测精度接近的模型，同时还能避免GM（1，1）模型在中后期预测出现无限增长的情况。
Abstract： According to the data from 1978 to 2009， this paper established Logistic and GM （1，1） model and predicted the urban residents consumption level from 2010 to 2020. Finally， based on the shortcomings of Logistic model and considering blocking factor， it improved the Logistic model and obtained the model whose prediction accuracy is close to the GM （1，1） model， while avoiding the infinite growth situation of GM （1，1） model in late prediction. 关键词： 城镇居民消费水平；Logistic模型；GM（1，1）灰色预测模型；Logistic模型的改进
Key words： urban residents consumption level；Logistic model；GM （1，1） gray prediction model；improvement of Logistic model
中图分类号：O21.3 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）25-0010-03 0 引言
2020年是我国步入小康社会的关键一年，为了使我国社会主义经济更加发展，逐步实现三步走战略而最终实现主义，因此有必要提高社会的消费水平，从而提高整个国家的经济水平，带动整个国民经济的发展，提升我国的国际战略地位。为了使大家较为准确地了解我过步入小康社会城镇居民的消费情况以及发展前景。我们选取1978-2009年的数据为样本，以预测2010-2020年的城镇居民消费水平指数为目的，建立Logistic与GM（1，1）模型，以及对Logistic模型进行改进，并对模型进行了检验，验证了模型的合理性。 1 数据收集与分析
根据2010年《中国统计年鉴》[5]以及中华人民共和国国家统计局网站等官方网站，搜集了从1978年到2009年城镇居民消费水平指数的数据保证了数据的有效性、合理性和真实性。由于城镇居民消费水平内部规律的复杂性和我们认识程度的，无法分析内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。鉴于此，我们以城镇居民消费指数水平做为城镇居民消费水平的评价标准，通过对数据散点图的绘制和数据分析，可以看出城镇居民消费水平是随着时间的推进呈现增长趋势，前期增长速度较快，中间一小段时间平稳，后来增长速度又逐渐增加。因
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此可以采用Logistic阻滞增长模型和GM（1，1）灰色预测模型来进行拟合并预测出我国城镇居民消费水平的发展趋势，使我国人民了解我国经济发展的趋势，为尽快实现小康社会而不断贡献力量，实现经济的快速和稳定发展。 2 模型的建立与求解
2.1 Logistic阻滞增长模型的应用 消费增长要受到多种因素的影响，诸如个人认知、消费观念、社会发展等，但从总体上来说，消费水平增长到一定数量时消费水平增长率随消费额的增加而减小，当消费水平增长到一定数量时会趋于稳定状态。
我们记第k年的城镇居民消费水平指数为yk，ym为最高消费水平指数，y0为初始消费水平指数，n为固有增长率，建立模型如下：y■=■ （1）
采用最小二乘法进行模型参数估计得到预测方程如下：y■=■ （2）
我国城镇居民的最高消费指数为229480；根据式（2）可以预测出2020年的城镇居民消费水平指数1296.71。
2.2 GM（1，1）灰色预测模型 2.2.1 模型的建立
①记原始数据序列为：X0=（x0（1），x0（2），x0（3），…，x0（n）） ②对原始数据进行一次累加得到序列：X1=（x1（1），x1（2），x1（3），…，x1（n））。其中x1（k）=■x0（t），k=1，2，3，…，n ③用微分方程对X1进行描述：
我们称di（k）=xi（k）-xi（k-1）为序列Xi（i=0，1）的灰导数；称d（k）+az1（k）=b为灰色微分方程即GM（1，1）模型。
其中z1（k）=αx1（k）+（1-α）x1（k-1）。α∈[0，1]为GM（1，1）模型的权重系数，一般取α=0.5（此时称Z1=（z1（2），z1（3），…，z1（n））为X1的紧邻均值生成序列），b为内生变量，它反映外部环境对系统整体的作用，需要识别确定，a为系统变化参数，表明了系统整体的动态特征。
④由最小二乘法求得■=（a，b）■=（B■B）■B■Y 其中为B数据矩阵，Y为数据向量，■为参数向量。
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B=-z■（2） 1-z■（3） 1 ┆ ┆-z■（n） 1，Y=x■（2）x■（3） ┆x■（n） ⑤求出预测模型为：■■（k+1）=x■（1）-■e■+■ ■■（k+1）=■■（k+1）-■■（k）=x■（1）-■e■-e■
2.2.2 模型的求解 根据最小二乘法计算得到a=-0.07，b=.87；从而可以得到城镇居民消费水平的预测模型为：
■■（k+1）=x■（1）-■e■+■=14.24e■-13.24 ■■（k+1）=■■（k+1）-■■（k）=93.29e■ （3）
根据式（3）可以预测出我国2020年的城镇居民消费水平将会是1412。由于消费水平逐年增加，即消费水平与时间之间是正相关的关系，如果按照这样的前景发展下去，实现我国步入小康社会的战略目标，是可观的。 3 模型检验及评价
3.1 Logistic模型的检验以及评价 通过计算得知可决系数R2=0.9735，可以看出拟合优度较高，效果极好。另外还能计算出平均相对误差为7.32%，模型精度也相对较高，可以用作初步预测。但是此模型在进行求解时会随着迭代初值的变化而变化，具有不稳定性，因此在进行求解时对初值的选取要求较高。
3.2 GM（1，1）模型的检验以及评价 灰色预测模型的检验主要分为三个方面：残差检验、关联度检验、后验差检验。若三种检验都在允许的范围内，则可以用所建立的模型进行预测；否则应进行残差修正。
根据灰色预测模型的检验规则，我们通过计算得到该模型的平均相对误差为：■=0.0372，平均相对误差较小，模型精度较高；关联度r=0.6178>0.5满足p=0.5时的检验准则；方差比C=0.4050.95根据后验差检验可知模型精度为优。因此，此模型具有很高的预测精度，可以进行预测。
同时也可以计算出可决系数R2=0.9998，与Logistic模型的检验效果相比更佳，且通过计算得到的平均相对误差为3.72%也比Logistic模型的平均相对误差7.23%小，从而更加说明GM（1，1）灰色预测模型的优越性，GM（1，1）模型能够很好地应用于短期预测。但在使用灰色预测模型时自变量必须为等间距增长方可使用，在非等间距时使用就不如拟合那么方便，而且随着时间的增长还会出现无限增长的状况，因此仅适用于短期预测。 4 模型的改进
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虽然GM（1，1）模型的预测效果较好，但是GM（1，1）模型仅适用于短期预测。现在从另外一个角度考虑阻滞增长模型，在上述Logistic模型的基础上增加一个阻滞因素-by2（b>0），其作用是使纯增长率减少，如果我国的经济发展较快，使得出现供不应求，此时b减小；反之b增大，故建立方程■=y（a-by）（a>0，b>0）y（t■）=y■ （4） 由变量分离法求得其解为： y（t）=■ （5）
令（4）式右边为0得到y■=0，y■=■，称他们为微分方程的平衡解，由式（5）可得■y（t）=■，称■为（4）式得稳定平衡解。由此可知不论开始时居民消费水平如何，经过长期的时间以后，消费水平将稳定在■。
那么对于确定a，b的值，假设：y（t0）=y0，y（t1）=y1，y（t2）=y2其中t1-t0=t2-t1=τ，由（5）式得y■=■，y■=■变形得到 ■=■+■-■e■■=■+■-■e■ （6） 从而 a=■ln■ （7） b=■ （8）
令y（t′）=■，则由（6）式得到■=■+■-■e■，即e■=■，所以与（5）式近似的形式上简单的表达式
y（t）=■ （9）
由最小二乘法求解得到■=157985.4，a=0.091，t′=114，代入式（9）得到：y（t）=■ （10）
通过根据式（10）计算得到2020年我国城镇居民消费水平为1405.9，这个结果与GM（1，1）预测结果1412非常相近，可见改进后的Logistic模型在预测效果较之更好。其可决系数R2=0.9968，可以看出模型的拟合优度也较高，效果较好；其平均相对误差为3.79%比直接应用Logistic模型预测（7.32%）较小和GM（1，1）模型（3.72%）也很接近。这就充分说明改进的logistic模型对于城镇居民消费水平的预测效果更好，更加的符合实际情况，精确的反映出我国的城镇居民消费水平的发展趋势，按照这样的情况来看，我国的消费水平是逐年上升的，但是将是以一个相对稳定的缓慢上升的趋势，符合我国的基本国情。
将求解结果代入式（4）画出■～t关系（图1）以及根据式（10）画出我国城镇居民消费水平变化趋势（图2）。从图1可以看出我国城镇居民消费水平将从改革开放后114年（即
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2092年）增长速度达到最大，而从图2中可以看出将在2206年达到最高并处于稳定消费状态，这种发展趋势是比较符合我国城镇居民实际情况，可以用作中长期预测。 5 结束语
Logistic模型在社会经济领域应用广泛，它不仅大体上描述消费水平及多种数量关系的变化趋势，而且对本文中城镇居民消费水平的调查研究数据的统计与分析相对合理，通过GM（1，1）模型的建立于求解，较为真实的体现了目前整个消费水平的发展趋势，可以看出我国在步入小康社会2020年的城镇居民消费水平前景乐观。改进的Logistic模型很多，本文只是采用了其中一种方法，此模型不仅短期预测与GM（1，1）预测效果相似，而且还能够对我国城镇居民消费水平进行较为准确的中长期预测。 参考文献：
[1]李争艳.用回归方法预测我区城镇居民消费水平[J].内蒙古民族大学学报，2008，11. [2]韦滢坤.我国城镇居民消费水平的分析与预测，2011，03.
[3]马志明，耿生玲，尚次.基于多元统计的居民消费水平评价模型及应用[J].数学的实践与认识，2009，08.
[4]王映，李晓慧，胡超.四川省城镇居民消费水平和消费结构的实证分析[J].区域经济，2010，09.
[5]中国统计局.2010中国统计年鉴，2011.
