初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)

知识结构梳理

1、概念

（1）含有 个未知数。

（2）未知数的最高次数是 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为xm)nn02 的一元。

二次方程

（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 一 元 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 二（3） 法 次 方（4） 法，其中求根公式是 程 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6）

知识点归类

考点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴

考点二 一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

2 22223；⑵x6x0；（3）xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x1 2x5注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把

它先化为一般形式。

（3）形如axbxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次

方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x2272x； （2）x2x38； （3）3x4x3x2 22例2 已知关于x的方程m1xm考点三 解一元二次方程的方法

2m1x20是一元二次方程时，则m

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x22时，x23x20所以x2是x3x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 法一 直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程

2的方法叫做直接开平方法。 （1）x2aa0的解是xa；（2）xmnn0的解是

22xnm；（3）mxncm0,且c0的解是x例 用直接开平方法解下列一元二次方程

cn。

m2（1）9x160； （2）x5160； （3）x53x1

222法二 配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

2注意：用配方法解一元二次方程xpxq0，当对方程的左边配方时，一定

记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：

（1）x6x50； （2）x227x20 2法三 因式分解法

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x2224x； （2）(2x3)250； （3）x6x952x。

2

法四 公式法

bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x

2a2用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，

2确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及

22bb24acb4ac的值代人求根公式x，求出x1,x2。

2a2例 用公式法解下列方程

2（1）2x3x10； （2）2xx210； （3）x2x250技巧 选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知

数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：

2（1）2x392x3；（2）x8x60；（3）x2(x1)0

22考点四 一元二次方程根的判别式

2一元二次方程axbxc0a0根的判别式 △=b4ac

2运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=b4ac=0方程有两个相等的实数根； （3） △=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。

22222例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）2x23x50；（2）9x230x25；（3）x26x100 考点五 根的判别式的逆用 在方程axbxc0a0中，

2（1）方程有两个不相等的实数根b4ac﹥0

2（2）方程有两个相等的实数根b4ac=0

2

（3）方程没有实数根b4ac﹤0

2注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例 m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况：

2（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 考点六 一元二次方程的根与系数的关系

若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x22bb， x1x2 aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1x2x1x22x1x2 （2）

222xx211 1x1x2x1x2（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a；

2（4）│x1x2│=

2x1x22=

x1x224x1x2

例 已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2； （2）x1x2。

222考点七 根据代数式的关系列一元二次方程

利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。 例 当x取什么值时，代数式xx60与代数式3x2的值相等？

2强化练习

一、选择题

1.一元二次方程x2=2x的根是（ ）

A、x=2

B、x=0

C、x1=0，x2=2

D、x1=0，x2=﹣2

2.将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（ ）

A、（x－2）2+3 B、（x+2）2－4 C、（x+2）2－5 D、（x+2）2+4 3.方程x2﹣4=0的解是（ ）

A、x=2

B、x=﹣2 C、x=±2

D、x=±4

4.小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）

A、x=4

B、x=3 C、x=2

D、x=0

5.若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）

A、1

B、8

C、16

D、61

6.已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则

A.15 221的值为（ ） 22a1aaD.1

B.15 C.﹣1 27.已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

A．1＜L＜5

B．2＜L＜6 C．5＜L＜9

D．6＜L＜10

8．方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）

A、2

B、3

C、﹣1，2

D、﹣1，3

9.分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）

A、11

B、13 C、11或13

D、不能确定

10.一元二次方程（x－3）（x－5）=0的两根分别为（ ） A、3，－5 B、－3，－5 C、－3，5 D、3，5 二、填空题

1. （江苏淮安）一元二次方程x2－4=0的解是 .

2. （江苏南京）解方程x2﹣4x+1=0． 3. （山东济南）方程x2﹣2x=0的解为 ． 4. （泰安）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________． 5. （山东淄博）方程x2﹣2=0的根是 ．

6.（四川达州）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ，

n= ．

7. （浙江衢州）方程x2﹣2x=0的解为 ．

8. （黑龙江省黑河）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为（ ）。 三、解答题

1. （江苏无锡，20，8分）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；

2. （山东烟台，19，6分）先化简再计算：

x212x12x，其中x是一元二次方程x2x20的正数根. 2xxx

3. （清远，18，5分）解方程：x2－4x－1＝0．

4. （湖北武汉，17，6分）解方程：x2+3x+1=0

5、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，

请你说明理由；

（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．

6、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6x=4m-3有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22的最大值．