沪科版八年级数学下知识点总结(1)

沪科版八年级数学下知识点总结

二次根式知识点：

知识点一： 二次根式的观点

形如 （ ）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数能够是数，也能够是单项式、多项式、分式等代数式，但

一定注意：由于负数没有平方根，所以

是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而

知识点二：取值范围

， 等都不是二次根式。

存心义，是

1. 二次根式存心义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时，

二次根式，所以要使二次根式存心义，只需使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无心义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a﹤0 时， 没存心义。 知识点三：二次根式

（

注：由于二次根式

（ （

）的非负性

）表示 a 的算术平方根， 也就是说， （ ）是一个非负数， 即 0（

）。

）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的

算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性

质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方近似。这个性质在解答题目时

应用许多，如若

，则 a=0,b=0；若 ） 的性质

，则 a=0,b=0；若

，则 a=0,b=0 。

知识点四：二次根式（

（ ）

文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式

（

，则

）是逆用平方根的定义得出的结论。上边的公式

也能够反过来应用：若

知识点五：二次根式的性质

，如： ， .

文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简

时，必定要弄理解被开方数的底数 a 是正数仍是负数， 假如正数或 0，则等于

； a 自己，即

；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即

必定存心义；

2、

中的 a 的取值范围能够是随意实数，即无论 a 取何值，

时，先将它化成

与

，再依据绝对值的意义来进行化简。

3、化简 知识点六：

初中数学

的异同点

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1、不一样点：

与 表示的意义是不一样的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，

而

表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在

与

都是非负数，即 ，而

时，

中 ，

，而 中 a 能够是正实数，

0，负实数。但 差其他，

。因此它的运算的结果是有

2、同样点：当被开方数都是非负数，即

.

= ； 时， 无心义，而

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

2、√ 3、√ a（a≥ 0）、

√ x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

4、√ 9、√ a^2、√（ x+y） ^2 、

√ x^2+2xy+y^2 等

（ 3）最后结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法

1. 积的算数平方根的性质

√ ab=√a·√ b（ a≥ 0， b≥0）

2. 乘法法例

√ a·√ b=√ ab（ a≥ 0， b≥0）

二次根式的乘法运算法例，用语言表达为：两个因式的算术平方根的积，等于

这两个因式积的算术平方根。

3. 除法法例

√ a÷√ b=√ a÷ b（a≥ 0，b>0）

二次根式的除法运算法例，用语言表达为：两个数的算数平方根的商，等于这

两个数商的算数平方根。

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4. 有理化根式。

假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化

根式 , 也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法

1 同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，假如它们的被开方数同样，就

把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 归并同类二次根式

把几个同类二次根式归并为一个二次根式就叫做归并同类二次根式。

3 二次根式加减时， 能够先将二次根式化为最简二次根式， 再将被开方数同样的进

行归并。

知识点十：二次根式的混淆运算

1 确立运算次序 2 灵巧运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大部分分母有理化要实时

5 在有些简易运算中或许能够约分，不要盲目有理化

知识点十一：分母有理化

分母有理化有两种方法

I. 分母是单项式

如: √ a/ √ b=√a×√ b/ √ b×√ b=√ ab/b

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II. 分母是多项式

要利用平方差公式

如 1/ √ a＋√ b=√ a－√ b/( √a＋√ b)( √ a－√ b)= √ a－√ b/a － b 如图

注意： 1. 根式中不可以含有分母 2. 分母中不可以含有根式。

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式 : a≠0 时，ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一

元二次方程的相关问题时，多半习题要先化为一般形式，目的是确立一般形式中的

a、 .

b、 c ； 此中 a 、 b, 、c 可能是详细数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式

2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵巧运用， 此中直接开平方法固然

简单，可是合用范围较小；公式法固然合用范围大，但计算较繁，易发生计算错 误；因式分解法合用范围较大，且计算简易，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的鉴别式 : 当 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 时， =b2-4ac 叫一元二次方程根的鉴别式 . 请注意以低等价命题：

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＞0 <=> 有两个不等的实根； ＜0 <=> 无实根；

=0 <=> 有两个相等的实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等） .

4. 一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如 Δ≥0，有以下公式：

(1) x1, 2

bb2 2a

4ac

； (2 ) x1

x 2

b a

，

c

x1x 2

.

a

5. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

（也能够使用因式分解法）

① x2 a( a 0)

解为： x 解为： x a 解为： ax b a b c

② ( x a) 2 b(b 0) ③ ( ax b)2

c(c 0)

④ ( ax b)2 (cx d )2 ( a c ) 解为： ax b (cx d )

（2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如： ax2 bx 0( a,b 0)

x( ax b) 0

此类方程合适用供给所以，并且此中一个根为

0

x2 9 0

(x 3)( x 3) 0

x2 3x 0

0

x( x 3) 0

3x(2 x 1) 5(2 x 1) 0 x2 6x 9 4 x2 4x 12 0

( x 3)2

(3 x 5)(2 x 1) 4

4x2 12 x 9 0

(2 x 3)2

0

( x 6)( x 2) 0

2 x2 5x 12 0

(2 x 3)( x 4) 0

（3）配方法

①二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，以下所

示：

x2 Px q 0

( x P )2

2 1 0

( P)2 2

q 0 () 1 0 2

示例： x

2

3x

( x 3 )2

2

32

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②二次项的系数不为“ 1”的时候：先提取二次项的系数，以后的方法同上：

ax2 bx c 0 ( a 0) a( x2 b x) c 0 b )2 a ( b a( x )2

c 0

a

2a

2a

a( x

b 2 b2 b

2 ) c

( x

) 2

b4ac

1

2a

4a

2a 4a2

示例： x

2

2x 1

0

1 ( x2 4x) 1 0

1

( x 2) 2 1221

0

2

2

2 2

（4）公式法： 一元二次方程 ax 2 bx

c 0 ( a 0) ，用配方法将其变形为： ( x b ) 2

b2 4ac

2a

4a2

① 当

b2 时，右端是正数．所以，方程有两个不相等的实根：

4ac 0

x

b

b2 4ac 1,2

2a

② 当

b2 4ac 0 时，右端是零．所以，方程有两个相等的实根：x1,2 b

2a ③ 当

b2 4ac 0 时，右端是负数．所以，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：

ax 2 bx c 0 ( a 0) ，并确立出 a 、

c

②求出

b2 4ac ，并判断方程解的状况。

③代公式： x1,2

b b2

4ac （要注意符号）

2a

※ 5 ．当 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以低等价命题：( 以低等价关系要求会用公式 x 1 x2 bc

，x1x 2 ； =b2 -4ac 剖析，不要求背记 )

a a

（1）两根互为相反数

b

= 0 且Δ≥0

b = 0 且Δ≥0；

ca

（2）两根互为倒数

=1 且 ≥0 a = c 且Δ≥0；

a c

（3）只有一个零根

= 0 且 b ≠

且

c

a

a

0 c = 0

b ≠ ；0

（4）有两个零根

= 0 且

b 且

；

a

c = 0

b=0

a

= 0

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b 、

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（5）起码有一个零根

c

=0

c=0 ；

（6）两根异号

c

a

＜0

a 、c 异号；

a

（7）两根异号，正杜绝对值大于负杜绝对值 （8）两根异号，负杜绝对值大于正杜绝对值

c

＜0 且 ＜0 且

a

（9）有两个正根

c

b ＞

＞0，

且Δ≥

c

b ＞ a

a

、 同号，

b ＜ a

、 异号且 、 异号； 0 a c a b

、 异号且 、 同号；

0 a c a b

、 异号且 Δ≥ ；

a

（10）有两个负根

0 0

cb

＞0， ＜0 且Δ≥0

a

a

c a b 0

a 、c 同号， a 、b 同号且 Δ≥0.

a a

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 分解 .

＜ 0 时，二次三项式在实数范围内不可以

ax2+bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2)或 ax 2+bx+c=a x

b

b2 4ac 2a

x

b

b 2 2a 4ac

.

7．求一元二次方程的公式：

2

1

2

1 2

x - （x +x ）x + x x 注意：所求出方程的系数应化为整数 . = 0. 8．均匀增添率问题 -------- 应用题的种类题之一 （设增添率为 x）： (1) 第一年为 a ,

第二年为 a(1+x) ,

第三年为 a(1+x) 2. 第三年 =第三年

（2）常利用以下相等关系列方程： =总和 .

或 第一年 +第二年 +第三年

9．分式方程的解法：

两边同乘最简 (1) 去分母法

验增根代入最简公分母 （或原方程的每个分母 ），值 0.

公分母

凑元，设元，

验增根代入原方程每个 分母，值 0 . （2）换元法

换元 .

10. 二元二次方程组的解法：

（）代入消元 法 （ ）分解降次法 2

(3) 注意：

1

方程组 中含有一个二元一次方 程

方程组 中含有能分解为 （

; （）

）

2 ) 0( 1 )(

为 应分组

的方程 0 ;

(3)(4)0

(1) 0

(3) 0 (2) 0 (4) 0

(1) 0 (2) 0 (4) 0 (3) 0

.

※11．几个常有转变：

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(1) x1

2

2

x 2

(x 1 x 2 )

2

2x 1 2

x；

(x 1 x 2 )

2

2

(x1 x 2 )

4x 1

x

； 2 x 2

1 x 2 (x

； 1 2

) 2 x

；

或 2

x

1 x 2

( x

1 x

2

)

； 2

x1

(x 1 x 2

x 2 ) 2

(x 1

x2 ) 2 4x1 x 2

(x1 x 2 )

(x 1 x 2 )2

( x1 x 2 ) 2

4x 1x 2 ( x1 x 2 )

x12 x2 2 (x1 x2 ) 2 2x1x2 ，

1 1

x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 ， x1x2

( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 )2 4x1x2 ，

| x1 x2 | x2

( x1 x2 ) 2 4x1 x2 ， x12 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ，

x1 x12 x2 2 (x1 x2 )2 4x1x2

x1x2

x1 x2

x1x2

等

1. 分类为 x 1

2

x 2

2 和 x1

2

x 2 2

(2)

x 1 x 2

；

2. 两边平方为（ x1

2

x 2） 4

(3)

x1 4

x 2 3

( 或 x1 16 ) x 22 9

x1

(1) 分类为

x 2 x1 4

和 x 2 3

4

3

；

(2) 两边平方一般不用 , 由于增添次数 .

( 4)

如 x1 sin A , x 2 sin B 且

A B 90 时, 0, x 2 0.

由公式 sin 2 A cos2 A 1, cos A

sin B

可推出 x 12 x 22 1.

注意隐含条件 : x1

(5) x 1 , x 2 若为几何图形中线段长 时, 可利用图形中的相等关 系 ( 比如几何定理，相像形 等式, 公式 )

推导出含有 x 1 , x 2 的关系式 . 注意隐含条件 : x1

0, x 2 0.

,面积 (6) 如题目中给出特别的直 角三角形、三角函数、 比率式、等积式等条件 , 可把它们转变为某些线段的比，并且 引入“ 协助未知元 k”.

(7) 方程个数等于未知数个 数时 , 一般可求出未知数的值 ; 方程个数比未知数个数 少一个时，一般求不出未知数的值 , 但总可求出任何两个未 知数的关系 .

勾股定理知识总结：

一．基础知识点：

1：勾股定理

直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即： a2+b2＝c2）

重点解说：

勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主

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要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在

ABC 中， C 90 ，则 c

a2 b2 ， b c2 a2 ，

a

c2 b 2 ）

（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （ 3）利用勾股定理能够证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

2

2

假如三角形的三边长： a、b、c，则相关系 a +b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形。

2

勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转变为形”来确立三角形的可能形状，在运用这必定理时应注意：

（1）第一确立最大边，不如设最长边长为：

c； （2）考证 c2 与 a2+b2 能否拥有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直

角三角形

（若 c2>a2+b2，则△ ABC是以∠ C为钝角的钝角三角形；若 c2角形）。

（定理中 a ， b ， c 及 a 2

b 2 c2 不过一种表现形式，不行以为是独一的，如若三角形三边

长 a ， b ， c 知足 a 2 c2

b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，可是 b 为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的差异与联系

差异：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判断定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形相关。

4：互抗命题的观点

假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做

互抗命题。假如把此中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的抗命题。

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5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法

用拼图的方法考证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变

②依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常有方法以下：

方法一： 4S

S正方形 EFGH S正方形 ABCD， 4

1

ab (b a) 2 c2 ，化简可证．

2

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

S

1

4 ab c

2

2 b2 c

2

2

2ab c

大正方形面积为 S 方法三： S梯形

( a b)2

a2 2ab b 2

2S ADE

所以 a 2

S ABE

1 (a b) ( a b) ， S梯形 2 c2 ，化简得证 2 1 ab 1

2 2

6：勾股数

①能够组成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即

a2 b2 c2 中， a ， b ， c 为

正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数

②记着常有的勾股数能够提升解题速度，如 ③用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2

2n 1,2n2

3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等

1 （ n 2, n 为正整数）；

1,2n,n2

2n,2n2

2n 1 （ n 为正整数） m2

n 2 ,2mn, m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）

a

二、规律方法指导

A

定理的证明实质采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转变

c

c

1．勾股

D

b

证明的。

E a C

B b

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2．勾股定理反应的是直角三角形的三边的数目关系，能够用于解决求解直角三角形边边

关系的题目。

3．勾股定理在应用时必定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易

犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长

a，b，c 有以下关系： a2+b2＝c2，?那么这

个三角形是直角三角形；该逆定理给出判断一个三角形是不是直角三角形的判断方法．

5.? 应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的过程主假如进行代数运

算，经过学习加深对“数形联合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互抗命题。假如把此中一个叫做原命题，那

么另一个叫做它的抗命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理）

c

b

b a

c

a

c

b

c

a

b

D

a

E

C

H

G

F b

A

a

c

B

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四边形知识点：

一、 关系构造图：

二、知识点解说：

1．平行四边形的性质（重点） ：

（1）两组对边分别平行；

D A

O

C

（2）两组对边分别相等；

ABCD是平行四边形

（3）两组对角分别相等；

（4）对角线相互均分； （5）邻角互补 .

B

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2. 平行四边形的判断（难点） ：

D

A

D

C

D O

C

B

.

3. 矩形的性质：由于 ABCD是矩形

（1）拥有平行四边形的所 有通性 ; （2）四个角都是直角 ;

C

（3）对角线相等 .

O

A

B

A

B

(4) 是轴对称图形，它有两条对称轴．

4 矩形的判断：

矩形的判断方法： (1) 有一个角是直角的平行四边形；

(2) 有三个角是直角的四边形； (3) 对角线相等的平行四边形； (4) 对角线相等且相互均分的四边形．

四边形 ABCD是矩形 . D

5. 菱形的性质：

（1）拥有平行四边形的所 有通性；

由于 ABCD是菱形

A

O

C

（2）四个边都相等；

（3）对角线垂直且均分对

角 .

B

6. 菱形的判断：

（1）平行四边形

D

一组邻边等

四边形四边形 ABCD是菱A形 . （2）四个边都相等

（3）对角线垂直的平行四 边形

O B

C 13 / 17

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7. 正方形的性质：

ABCD是正方形

D C D C （）拥有平行四边形的所 有通性；

1 （2）四个边都相等，四个 角都是直角； （ 3）对角线相等垂直且平

A

B

A

O

B

分对角 .

8. 正方形的判断：

（1）平行四边形 （2）菱形 （3）矩形

一组邻边等 一个直角

一个直角

一组邻边等

四边形 ABCD是正方形 .

名 称

定义

性质

判断

面积

平 两组对 ① 对边平行； 边分别 ②对边相等； 行 平行的 ③对角相等； 四边形 ④邻角互补； 四 叫做平 ⑤对角线相互均分； 行四边 ⑥是中心对称图形

①定义； S=ah(a 为一

②两组对边分别相等的 边长， h 为这 四边形；

③一组对边平行且相等 的四边形；

条边上的高 )

④两组对角分别相等的

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边 形。

四边形；

⑤对角线相互均分的四 边形。

①有三个角是直角的四

形

有一个 除拥有平行四边形的性质

S=ab(a 为一边长， b 为另一边长 )

角是直 外，还有：①四个角都是直 边形是矩形； 矩

角的平 角； ②对角线相等的平行四 行四边 ②对角线相等； 形

形叫做 ③既是中心对称图形又是 矩形

轴对称图形。

边形是矩形；

③定义。

有一组 除拥有平行四边形的性质 邻边相 外，还有

①四条边相等的四边形 是菱形；

① S=ah(a 为

一边长， h 为

等的平 ①四边形相等； ②对角线垂直的平行四 菱

行四边 ②对角线相互垂直，且每一 边形是菱形； 形叫做 条对角线均分一组对角； 形

菱形。 ③既是中心对称图形又是

这条边上的

③定义。

高 ) ；

② (b 、c 为两条对角线的长 )

轴对称图形。

有一组 拥有平行四边形、矩形、菱 ①有一组邻边相等的矩 正

邻边相 形的性质：①四个角是直 形是正方形； 等且有 角，四条边相等； ②有一个角是直角的菱 方

一个角 ②对角线相等，相互垂直平 形是正方形； 是直角 分，每一条对角线均分一组 ③定义。 形

的平行 对角；

①

(a 为

边长)；

② (b 为对角线长 )

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四边形 ③既是中心对称图形又是

叫做正 轴对称图形。

方形

数据的集中趋向和失散程度知识点：

知识点 1：表示数据集中趋向的代表

均匀数、众数、中位数都是描绘一组数据集中趋向的特点数，不过描绘的角度不一样，此中均匀数的应用最为宽泛。

知识点 2：表示数据失散程度的代表 极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反应这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差 =最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的颠簸幅度小。

知识点 3：生活中与极差相关的例子 在生活中，我们常常用极差来描绘一组数据的失散程度，比方一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家企业成员中最高收入与最低收入的差。

知识点 4：均匀差的定义

在一组数据

x1， x2 ， ， xn 中各数据与它们的均匀数 的差的绝对值的均匀数即

T=

叫做这组数据的“均匀差” 。

“均匀差”能刻画一组数据的失散程度， “均匀差”越大，说明数据的失散程度越大。 知识点 5：方差的定义

在一组数据 x1，x2， ， xn 中，各数据与它们的均匀数差的平方，它们的均匀数，即

S2= 来描绘这组数据的失散程度， 并把 S2叫做这组数据的方差。

知识点 6：标准差

方差的算术平方根， 即用 S=

来描绘这一组数据的失散程度，并把它叫做这组数据的标准差。

知识点 7：方差与均匀数的性质

若 x 1，x2 ， xn 的方差是 S2，均匀数是 ，则有

①x 1 +b

， x 2 +b x +b n

的方差为

2

S ，均匀数是

+b

②ax ，1

ax 2

， ax

n

的方差为 a s ，均匀数是2 2

a

③ax +b， ax

+b， ax +b 的方差为 a s ，均匀数是 a +b

2

2

1

2 n

初中数学

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