精选高中模拟试卷
钦南区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 2． 已知x，y满足A．1
B．
C．
，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（ ） D．
x1tcos3． 已知直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以原点O为极点，x轴
y3tsin正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin(3)，直线l与圆C的两个交点为A,B，当2 3|AB|最小时，的值为（ ）
A．4 B．3 C．3 4 D．4． 在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（ ） A．3
B．6
C．7
D．8
C．
5． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ） A．0
B．
D．1
6． 两个随机变量x，y的取值表为
x y A．x与y是正相关
B．当y的估计值为8.3时，x＝6 C．随机误差e的均值为0
D．样本点（3，4.8）的残差为0.65
0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ^
若x，y具有线性相关关系，且y＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
第 1 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
7． 直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
的定义域为（ ）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（1，2）
8． 函数f（x）=
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣2，1）
9． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A．24 B．18 C．48 D．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
10．若数列{an}的通项公式an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{an}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
等（ ）
11．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则
A． B． C． D．
12．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．3
二、填空题
13．函数y=lgx的定义域为 ．
14．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ．
2
15．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF
的重心到准线距离为 ．
16．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
第 2 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
17．已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、、C（1，0），函数y=xf（x）（0
≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为 ．
18．在等差数列{an}中，a17，公差为d，前项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为__________.
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知函数f(x)x(2a1)xalnx（aR）.
21，求yf(x)的单调区间； 2 （II）函数g(x)(1a)x，若x0[1,e]使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围.
（I）若a
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.
（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.
第 3 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
21．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
22．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y（单位：微克）的统计表：
xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 （1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性； （Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
（2）若用解析式y＝cx＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；
2
附：设ωi＝x2i，有下列数据处理信息：ω＝11，y＝38， （ωi－ω）（yi－y）＝－811， （ωi－ω）2＝374，
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为
第 4 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）
23．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD的两条对角线相交于点M2,0,AB边所在直线的方 程为x3y60点T1,1在AD边所在直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程.
24．（本小题满分12分） 已知函数f(x)eaxbx.
x2
第 5 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数； （2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.
12第 6 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
钦南区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N， 又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3， 即M={x|﹣1≤x≤3}， 在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M∩N={1，3}共有2个元素， 故选B．
2． 【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知A（a，a），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=． 故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C的方程为(x3)2(y1)24，直线l的普通方程为y3tan(x1)，直线l过定点M(1,3)，∵
|MC|2，∴点M在圆C的内部．当|AB|最小时，直线l直线MC，kMC1，∴直线l的斜率为1，∴
第 7 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
4，选A．
4． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8， ∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4， ∴公差d=∴a7=a1+6d=2+4=6 故选：B．
5． 【答案】C
=，
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15° =cos45°cos15°+sin45°sin15° =cos（45°﹣15°） =cos30° =
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6． 【答案】
^^
【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y＝bx＋2.6得b＝0.95，即y＝0.95x＋
^
2.6，当y＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样
^
本点（3，4.8）的残差e＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D. 7． 【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”， ∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题； ￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B．
8． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
第 8 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
解得：1＜x＜2， 故选：D．
9． 【答案】A
211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.
10．【答案】A 【解析】解：设
2
∴an=5t﹣4t=
=t∈（0，1]，an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*）， ﹣，
，
∴an∈
∴q﹣p=2﹣1=1， 故选：A．
当且仅当n=1时，t=1，此时an取得最大值；同理n=2时，an取得最小值．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点， ∴∴故选C
=
，
==
+ +
=
+
=
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将键．
12．【答案】A 【解析】解：由
2
，得3x﹣4x+8=0．
化为
++，是解答本题的关
2
△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．
2
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
第 9 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
联立，得3x﹣4x﹣m=0．
2
2
由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
2
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是
2=．
故选：A． 中档题．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是
二、填空题
13．【答案】 {x|x＞0} ．
【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}． 故答案为：{x|x＞0}．
【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．
14．【答案】 a≤﹣1 ．
2
【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
2
若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．
15．【答案】
．
2
【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点， ∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
第 10 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
16．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），
22
即有y1=6x1，y2=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=
=
==3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．
17．【答案】
【解析】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2
．
∴f（x）=
∴y=xf（x）=
第 11 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=
+x2）故答案为：
18．【答案】1d【解析】
=
+=
+
=x3
+（﹣
7 8试题分析：当且仅当n8时，等差数列{an}的前项和Sn取得最大值，则a80,a90，即77d0，
78d0，解得：1d考点：数列与不等式综合.
77.故本题正确答案为1d. 88三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
第 12 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
请
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ. 试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，
1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.
∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.
∴AQ//CD，且AQ第 13 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2）， ∴loga4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称， ∴
．…
，
，解得1＜x＜3，
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x）， ∴
即
第 14 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．
22．【答案】 【解析】解：（1）
根据散点图可知，x与y是负相关． 方程，y＝cω＋d，
（2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y1），（ω2，y2），（ω3，y3），（ω4，y4），（ω5，y5）的回归直线
＝
^^
a＝y－cω＝38－（－2.17）×11＝61.87.
－811
≈－2.17， 374
∴数据（ωi，yi）（i＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y＝－2.17ω＋61.87， 又ωi＝x2i，
∴y关于x的回归方程为y＝－2.17x2＋61.87. （3）当y＝0时，x＝
61.87＝2.17
6187≈5.3.估计最多用5.3千克水． 217
2223．【答案】（1）3xy20；（2）x2y8．
【解析】
试题分析：（1）由已知中AB边所在直线方程为x3y60，且AD与AB垂直，结合点T1,1在直线矩形ABCD外接圆圆心纪委两条直线的交点M2,0，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD外接圆的方程.
AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，即可求得AD边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得
第 15 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
（2）由因为矩形ABCD两条对角线的交点为M2,0,
x3y60解得点A的坐标为0,2,
3xy20
所以M为距形ABCD外接圆的圆心, 又AM220022222, 2从而距形ABCD外接圆的方程为x2y8.1
考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB边所在的直线方程以及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率；（2）中的关键是求出A点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
e2e2e224．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共
444点；（2）证明见解析. 【解析】
exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出
xxe2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数
4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1
试题解析：
第 16 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
当a(0,e)时，有0个公共点； 42
e2当a，有1个公共点；
4e2当a(,)有2个公共点.
4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，
令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，
'x'x1122'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，
'因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，
12第 17 页，共 18 页
精选高中模拟试卷
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
第 18 页，共 18 页
