(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档

一、单选题

1．已知 x，y 为正实数，则 A． 2lnx+lny=2lnx+2lny B． 2ln（x+y）=2lnx•2lny C． 2lnx•lny=2lnx+2lny

D． 2ln（xy）=2lnx•2lny 1

2．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0

的结果为

A． −9

B． 7 C． −10

D． 9

3. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是

A． 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 B． 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 C． (

) =

D． 1 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎0 ‒ 𝑛

+

4. 若 a>1，b>0，且 ab＋a－b＝2

，则 ab－a－b 的值为( )

A． B． 2 或－2

C． －2

D． 2

5．3

‒ 27的值为（

）． A.

9

B. ‒ 9

C.

‒ 3

D.

3

𝑎3𝑥 + 𝑎 ‒ 3𝑥

62

2 ‒ 1，则 𝑎𝑥 + 𝑎 ‒ 𝑥 等于

= ．若 A． 2 2 ‒ 1 B． 2 ‒ 2 2 C． 2 2 + 1

D． 2 + 1

log3x, x  0   1 

7．已知函数 f x { 2x , x  0

，则 f  f  9 

等于（ A． 4 B．  1 1

4

C． -4

D． 1

4 8．设 a  log3,b  20.3, c  log 2 3

，则（ ）

A． a  b  c B． a  c  b C． c  a  b D． (1)

9．设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝ 2 －1.5，则( ) A． y3＞y1＞y2 B． y2＞y1＞y3 C． y1＞y2＞y3 D． y1＞y3＞y2 10．有下列各式：

试卷第 1 页，总 4 页

）

b  a  c

① n an  a ；②若 a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；

③ x3 4  y3 3

 x  y ；④ 5  6 5 . 4

3

2其中正确的个数是( ) A． 0 C． 2

B． 1 D．

3

11．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为( ) A． 1

B． －1

a2 1

C．

a2 1

1

D．

a2 1

a2 1

12. 下列各式计算正确的是( )

A． (－1)0＝1

2

B． a·a2＝a

2

C． 43＝8

1 1 D． a  a－  a3

3

2 3

am＝4，an＝3，则 13. 已知

𝑚 ‒ 2𝑛

的值为( )

2

3

A.

3

B. 6 C． 2

D． 2

二、填空题

14.

化简 x



3 x2

(x  0) 的结果是

.

x 6 x

15. 设函数 f (x)  ax  (k 1)ax  k 2 （ a  0, a  1 ）是定义域为 R 的奇函数.

（1） 求 k 值；

（2） 若 f (1)  0 ，求使不等式 f (x2  x)  f (t  2x)  0 恒成立的t 的取值范围；

（3）若 f (1) 求m 的值.

3 2

，设 g(x)  a2x  a2x  2mf (x) ， g(x) 在[1, ) 上的最小值为1，

1

 1  2 16．计算： 83  = .

   4 1

 3  3 0

 8    

17． log 

4 163 3 27  125  5 

2

．

3 3

18． (2a3b )  (3a1b)  (4a4b )(a  0, b  0) 

2 5

.

19．若2x  2x  5 ，则8x  8x 

.

试卷第 2 页，总 4 页

0 3 4  31  2120． 0.0   16  34 2

 0.01=     

 

13

 1 0 

21. 计算： lg4  lg25    

 8 

22. 直线

．

y  2a 与函数 y  ax 1 a  0且a  1的图象有且仅有两个公共点，则

实数 a 的取值范围是1

.

 log 12  0

。

23. 求值：

2log

0.7 0.251 ＝

3

2

3

三、解答题

24.（1） 计算下列各式的值： 

3   

0.002

1 10  5  2  2 

3 

；

 3 2 3

 2

1

0

 8 

（2） lg25  2

lg8  lg5lg20  lg22 ；

sin 3  3cos 2sin 

3

（3） （

 2  . 3

cossin cos3）

2

1 1

2

8





1 3

25. 已知 a   17 a 3  3a3b3  33 b a的值． 27 , b  ，求 71 

4 1 3 a 0.5  0.12  a 3  27 2a3b  33 b

26．计算：（1） 25  3  9 27  30  37 ； 32

  48 （2） 2log3 2  log3 9

 log38  3log3 5

27. 计算：

（1）

 1 1

 log 8  0.52  2

 27 3 2 ；  3 

2

  

 8 （2）已知sin

cos

 1 ， 5

0 

，求sin2

 2sincos 3cos228. 计算下列各式的值．

3 （1） ( ‒ 8) 3

；

（2）

( ‒ 10)2；

（3）4 (3 ‒ 𝜋)4 ；

试卷第 3 页，总 4 页

的值.







2

（4） (𝑎 ‒ 𝑏)(𝑎 > 𝑏)．

29. 计算下列各式：

1 

 7 0  8 

3

3

6

（1） 0.001 3   1 

2  3 





27  lg25  lg4  7log7 2

（2） log 3

3

41

30. 已知 m2  m

 1 2

 3 ，求下列各式的值．

(1) m  m1 ；(2) m2  m2 ；

1

 1 0  1 

3 43     0.252  31．（1）   2log 3 2

   2 

4

2



1

（2） 已知 a  a 1  5 ，求 a2  a2 和 a 2  a 32．(1)(124＋22 ) －27 ＋16 －2(8－ )－1； (2)lg5(lg8＋lg1 000)＋(lg2 )2＋lg ＋lg0.06. 33．计算：

 1  1 21  1 3

2 0  31 ； （1）  6  2 2 3

   27 4

   

1



2 的值．



（2）已知 x  x  4 ，其中0  x  1，求 x  x

1 2 2

x 

1

x

的值.

试卷第 4 页，总 4 页

参

1．D

【解析】

【分析】

根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果.

【详解】

根据指数与对数的运算性质可得：2都不正确．故选 D． 【点睛】

ln（xy）

=2

lnx+lny

=2•2．可知：只有 D 正确，A，B，C

lnxlny

本题主要考查了实数指数幂的运算问题，其中熟记实数指数幂的运算公式，合理、准确作出化简是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．B 【解析】

【分析】

0

由题意，根据实数指数幂的运算，逐一( ‒ 1)= 1，即可求解.

【详解】

1

原式=

(26)2 ‒ 1 = 23 ‒ 1 = 7．故选 B．

【点睛】

本题主要考查了实数指数幂的运算问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．D 【解析】

【分析】

根实数指数幂的运算公式，逐一运算，即可作出判定，得到答案.

【详解】

𝑚 𝑛 𝑚 ‒ 𝑛𝑚 𝑛 𝑚 + 𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛

； 中，(𝑎)= 𝑎； 由指数幂的运算，得 A 中，𝑎÷ 𝑎= 𝑎；B 中，𝑎⋅ 𝑎= 𝑎C𝑛 0 ‒ 𝑛

D 中，1 ÷ 𝑎= 𝑎，故 A、B、C 错误，D 正确，

故选 D． 【点睛】

本题主要考查了实数指数幂的运算问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理运

答案第 1 页，总 11 页

算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．D

【解析】

【分析】

根据 ab＋a－b 与 ab－a－b 的平方建立关系式，再根据范围确定 ab－a－b 的符号，即得结果.

【详解】

(ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6，

∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.

又因为 a>1，b>0，所以 ab>a－b，∴ab－a－b＝2.选 D.

【点睛】

本题考查指数式运算，考查基本分析求解能力.

5．C

【解析】

【分析】

3

根据‒ 27 = ( ‒ 3)，开方后可得所求．

【详解】

3

‒ 27 = 3 ( ‒ 3)3

=‒ 3．

故选C．

【点睛】

本题考查实数的开方运算，考查学生的转化能力和运算能力，属容易题．

6．A

𝑎3𝑥 + 𝑎 ‒ 3𝑥 【解析】因为 𝑎𝑥 + 𝑎

= ‒ 𝑥

(𝑎𝑥 + 𝑎 ‒ 𝑥)(𝑎2𝑥 ‒ 𝑎𝑥𝑎 ‒ 𝑥 + 𝑎 ‒ 2𝑥) 𝑎𝑥 + 𝑎 ‒ 𝑥

= 𝑎2𝑥 ‒ 𝑎𝑥𝑎 ‒ 𝑥 + 𝑎 ‒ 2𝑥

= 2 ‒ 1 ‒ 1 + 7．D

= 2 2 ‒ 1

2 ‒ 1 ，故选 A.

1

 1  1

 log 3  2 ，  9 

9  

  1  2 1

∴ f  f    f 2 2  4 。选 D。

9   

【解析】由题意得 f 8．D

答案第 2 页，总 11 页

【 解 析 】 0  log 3  1 ， 20.3  1 ， log  log 3 ， log 3  1 ， log  0 ，

2

1

1

3 2 2 2

3 则b  a  c ..选 D. 9．D

【解析】

= 22 = 82 0.48 < = ( ) 2 < ，3 ， ，，因此 2 2 3 2

> 3 > 2，选 D. 则 1

= 80.48

1 ‒ 1.5 3 1 1 3 = 23 2

= 44 = 40.75 < 40.9 =

3

，1

10．B

0 1 3 3 2  a 1   a   2   ，则a2  a 1 1，对；  a ，错；②因为 a  【解析】① n n 2 4 4 a 



4

③ x3 4  y3  x  y

3 3 ，错；④ 5  0 ，

6 5  6 52

2 3 5  0 ，错。所以正确的有 1

个，故选 B。

11．C

【解析】



a2－2＋－a－－＝＝



a 2 

＝a2

a2－1

＝ 2。选 C。 a＋1

12．A

a－－a＋－1a a 1 

－1－2

－－－1

a－a－ a a a 1

a＋a－

1

a a a 1 



【解析】选项 A 中，(－1)0＝1 正确；

1

5

选项 B 中， a 选项 C 中， 4

2

·a2＝a 2 ，故 B 不正确；

2

4

2

3

=(22 )3  23 ，故 C 不正确；

 1

3

2  1 3 3

选项 D 中， a a  a 综上可知选 A。

2 3

 a ，故 D 不正确。

13．A

【解析】∵𝑎𝑚＝4,𝑎𝑛＝3， ∴

𝑎𝑚 ‒ 2𝑛 = 𝑎𝑚 2 = 4

9， 2 4 = 3，选 A。 9

𝑛 𝑎𝑚 ‒ 2= ∴ 14．1

答案第 3 页，总 11 页

1 2 7

【解析】由题意得

x  3 x2 x  6 x 1

2 3 x = x x = 1 7 =1.

6

xx6 x 6



m  3 . 15．(1) k  0 ；(2) t ；(3)

4

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用奇函数的定义建立方程求解；(2)借助题设分离参数运用二次函数的知识求解；(3)借助最小值的定义建立方程分类求解. 试题解析：

（1）因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)  0 ，即1 k 1 k 2  0 ， k  0 或

k  1 ，

当k  1 时， f (x) 不是奇函数；当 k  0 时， f (x)  ax  ax ，满足 f (x)  f (x)  0 ，

f (x) 是奇函数，所以 k  0 .

（2）因 f (1)  a   0 ， a  0 ，所以a2 1  0 ， a  1 ， f (x) 在 R 上为增函数，

1

a

由 f (x2  x)  f (t  2x)  0 得， f (x2  x)  f (2x  t) ， x2  x  2x  t ，即

t  x2  x 恒成立，

又因为x2  x 的最大值为 ，所以t  .

（3）由 f (1)  a   ，解得 a  2 或 a   ，又 a  0 ，所以 a  2

1 1

1 3

4 4

1

a 2 2

g(x)  22x  22x  2m(2x  2x )  (2x  2x )  2m(2x  2x )  2

3 3

设u  2x  2x ，当 x [1, ) 时， u [ , ) ， g(x)  u2  2mu  2 在u [ , ) 上

2 2

最小值为1.

3 3 m  

m  2

， m 3 或 2 所以

 9  3m  2  1

m2  2  1

 4

考点：函数的奇偶性单调性及换元法等数学思想方法与有关知识的综合运用.

【易错点晴】本题以含参数 a, k 函数解析式 f (x)  ax  (k 1)ax  k 2 为背景,设置了一道求函数解析式中的参数 k 的值；解函数解析式中t 取值范围问题和已知最值知道求参数

答案第 4 页，总 11 页

m 的值的综合问题.目的是考查函数的图象和性质及换元法解方程和不等式及最值等有关

知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解第一问时,直接运用奇函数的定义求解；第二问则是将问题转化为不等式恒成立,再分离参数,运用二次函数的知识求解；第三问则先运用换元法将问题进行等价转化再依据题设建立方程

3 组求出 m  .

16．2

 12  2  1 1

【解析】8 23 3  22 2  4  2  2.

4  2 3



考点：分数指数幂的化简

17．11

【解析】 log3

1

3 5  3  3 0 

 8      1 8  11

   4 163 5 2 2 27  125    

3

 b2 18． 2

2 5 2 5      2a 3  6  1 3 3 b 3 3a1b4a4b 3  02 【解析】 ab  b2. 314 3    3

a b  4 2 2    

考点：分数指数幂的化简

19．110

【解析】 由题意得8x  8 x  2x  2 x

 2x  2 x 2x  2 x  2

3

3

2

2

2

 5 2x  2 x  2  2  5 21  110 .



143 

20． 80

0 3 1  4  1 1 3   2  3 +16 4 + 0.012

【解析】0.0 3 -  +  

 

1 1 1 

 

=

-1+

+ +0.1

0.4 16 8 143

80

=2.5-1+0.0625+0.125+0.1 =1.7875= 21．3

答案第 5 页，总 11 页

 1 0 

【解析】 lg4  lg25     lg 4  251  lg100 1  3

 8 

即答案为 3

1 

22． 0, 

  2 





【解析】

试题分析： y  ax 1 a  0且a  1的图象由 y  ax 的图象向下平移一个单位，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方得到，分a  1 和0  a  1两种情况分别作图，如图所示，当1  1  a  1 时不合题意； 0  a  1时，需要0  2a  1，即0  a  ，故答案为 0, .

2



2  



考点：函数的图象.

【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如 y  f x的图象的作法：先做出

y  f x的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方. y  ax 1 a  0且a  1的图象 y  ax 的图象向下平移一个单位，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方得到，由于底数

a 不确定，故应分a  1 和0  a  1两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.

23．4

1

【解析】原式 log3  log312 1 4  log3 3  3  1 3  4 ，故答案为 4.

4

167

24．(1) 

9

（2）3 (3)1

【解析】试题分析：（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可；（2）根据对数的运算法则和性质化简求值；（3）利用诱导公式化简求值即可.

答案第 6 页，总 11 页

试题解析：



(1)原式＝ 1   3  5002 -10( ＋2)＋1 1 3  3  3  500 2 

5  2  8     8 

2

 3 

2

 1  1

10  27  2

1



＝ ＋10

－10－20＋1＝－ .

（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(sin

(3)原式＝

）cos

cos

(cos

（） c）os sin

=1

25． 9 4

【解析】试题分析：由指数运算的法则化简，再代入已知条件即可. 试题解析：

＝＝

－2

2＝ .

26．(1)100；(2)-1. 【解析】试题分析：

(1) 结合分数指数幂的运算法则可得代数式的值为 100；

(2)结合对数的运算法则可得代数式的值为-1； 试题解析：



（  4 337 5 9 37 ）3

5 2 +   (1) 原式＝（）（） 3  = +100+  3   100. 3 0.1 48 3 16 48  3 

2 1

1

2

2

答案第 7 页，总 11 页

(2) 2log3 2  log3

32

 log 8  3log 5

5

27．（1）

3

9 32

 log 4  log  log 8  3

3 3 3

9  32     8 3  log 9  3 log3  4 3

9   9 67

 2  3  1.

2

（2） 25

 cos求得【解析】试题分析：

（1） 根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据sinsin cos，解方程组求出sin，cos后再求解．

试题解析：

（1）原式=3 3+（4 2）× = ．

（2） ∵sinα+cosα= ，①

∴ sinα  cosα1+2sinαcosα=

2

，

∴2sinαcosα= ∵ 0 ．

∴  ， 2

∴ sinα  0，cosα  0 ， ∴ sinα  cosα  0 ， ∴sinα cosα=

由①，②解得 sin α= ，cosα= ，

2

2

 ，

= ． ②

4 2

4  3  3 2 67   

∴ sin  2sincos3cos    2     3    ．

 5  5  5   5  25

点睛：三角求值中的常用技巧

（1）对于sinα  cosα, sinαcosα,sinα  cosα 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα  cosα)2  1 2sinαcosα ； (2)关于sinα, cosα 的齐次式，往往化为关于tan

的式子后再求解．

答案第 8 页，总 11 页

‒ 8；（2）10；（3）𝜋 ‒ 3；（4）𝑎 ‒ 𝑏 28．（1） 【解析】

【分析】

利用根式的运算法则运算即可.

【详解】

3

（ 1 ( ‒ 8)=‒ 8 ） ；

= | ‒ 10| = 10；

（2） ( ‒ 10)2

3

4 4

（3 (3 ‒ 𝜋)= |3 ‒ 𝜋| = 𝜋 ‒ 3 ） ；

= |𝑎 ‒ 𝑏| = 𝑎 ‒ 𝑏(𝑎 > 𝑏)． 2 (𝑎 ‒ 𝑏)（4）

【点睛】

(1) (

(

)中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要

(

)有意义，其值恒等于 ，即

) = ； (2)

𝑎 是一个恒有意义的式子，不受𝑛的奇偶性，

R，但 𝑎 ∈的值受 的奇偶性影

响．

29．（1）；（2） .

5

4

【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用. 试题解析：

  1

3 4

3

1

·6 2

1

·6

⑴原式 10 3

 1 24  2

1



·33  10 1 8  72 

4

⑵原式 log 3  2lg5  2lg2  3

1 5 2 4

【点精】指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，指数运算包括正整指数幂、负指数幂、零指数幂、分数指数幂的定义，法则包括同底数幂的惩罚和除法，幂的乘方、积的乘方；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用，指数对数运算还要灵活进行指、对互化.

答案第 9 页，总 11 页

30．（1）7（2）47

【解析】试题分析：（1）根据条件与所求式子次数为倍数关系，所以对条件两边平方，得

m  m1 ＝7．（2）根据 m  m1 ＝7 与所求式子次数为倍数关系，所以对 m  m1 ＝7 两边

平方，得 m2  m2 ＝47．

试题解析：(1)将 m m  3 两边平方，得 m  m 1 ＋2＝9，即 m  m 1 ＝7．

1

2

1  2





(2)将(1)中的式子平方，得 m2  m2 ＋2＝49，即 m2  m2 ＝47．

31．（1）0；（2） 7 .

【解析】试题分析：（1）根据指数的运算性质，可得答案；

（2）由已知利用平方法，可得 a2  a2  a  a1  2 及 a 2  a 2   a  a1  2 ，进



 1 



1 2

 

2



而得到答案．

试题解析：

（1）原式 4 1 

1

2

（2） a2  a2 



2

2  3  5  2  3  0

4



a  a1

 2  23

 1  1 2

∵  a 2  a 2   a  a1  2  7 ，  

∴由 a  a  0 得 a  a 32．(1)11；（2）1．

1

2  1 2 1 2  1 2

7





2

【解析】试题分析：（1）首先124  22 3  11 3 ，再将每个式子化简成最简的指

m 数式，求得答案；（3）将每个式子都化简成最简的式子，利用log ba  mlog ba化简，再

利用lg2  lg5  1 ，化简求得答案。 试题解析：

2



1 2

3

1

3

4 



(1)原式= 11 3



 2 

3 1 3

 3 6  2

4

 2  2



 11 3  3  8  8  11 ；

(2)原式= lg53lg2  3 3lg2 lg6  lg6  2

2

答案第 10 页，总 11 页

= 31 lg21 lg2 3lg2 2 = 3  3lg2 3lg2 2 =1

2

2

2

33．（1） 1（2） 4 2 【解析】试题分析：

（1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；

1

＜x 1 ，可得 x  x ＝ 6 ，代入可 （2）由 x  x1  4 可得 x2  x2  14 ，结合＜

22

 1

得答案．

3

1 3

1  1   25  1 3

试题解析：（1）原式         82  1

3 3    4   

1 5 1 1   1 3 2 2 3

2 1

 2

 1

（2）∵ x  x1  4 ，∴ x  x1 则

 x2

2  x2  2  16 ，∴ x2  x2  14 ，



x  x1

 x2 1 2

2  x2  2  12 ，

∵ 0  x  1，∴ x  x1 ，∴ x  x1  2 3 ，

 1



  x  x1 

 2  6 ，∴ x  x  6 ，

4 2 3

又 x  x 

2

2

1

2

 1 2



∴

x x

1

2 2



2

x 2  x

1



x  x1 x  x1 

x  x

1

2

1 2







6

 4 2 ，

答案第 11 页，总 11 页

“

“

”

”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, \"people who learn to learn are very happy people.\". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of

continuous learning, \"life is diligent, nothing can be gained\can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!