钦北区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

钦北区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 2． 十进制数25对应的二进制数是（ ） A．11001

B．10011

C．10101

D．10001

yx,3． 设m1，在约束条件ymx,下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）

xy1.A．(1,12) B．(12,) C. (1,3) D．(3,) 4． 常用以下方法求函数y=[f（x）]g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底

gx

数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]（）

{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=xx（x＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）

A．h（） B．h（） C．h（） D．h（）

5． 已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5]

6． 函数y=|a|x﹣

（a≠0且a≠1）的图象可能是（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B． C． D．

7． 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在

面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

8． 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是（ ） A． =1.23x+4 B． =1.23x﹣0.08 C． =1.23x+0.8 D． =1.23x+0.08 9． 已知双曲线和离心率为sin的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，若 41，则双曲线的离心率等于（ ） 2567A． B． C． D．

222cosF1PF2mn2

10．n是正整数，设m，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37

11．已知点P（1，﹣A．

），则它的极坐标是（ ） B．

C．

D．

12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

二、填空题

2ex1lnxxaaR，13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxe1（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

14．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

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15．定积分16．已知a=

sintcostdt= ． （

cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是 ．

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是 ．

18．直线l：是 ．

（t为参数）与圆C：

（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围

三、解答题

19．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=项和为Tn，

+

（n≥2）．记数列{

}前n

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

2

（2）若对任意正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt+＞Tn恒成立，求实数t的取值范围

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

20．已知等比数列（1）求数列（2）设等差数列

中，

。

的通项公式;

中，

，求数列

的前项和

.

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21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

22．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 （1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围； （2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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23．（文科）（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．

24．（本小题满分12分）

222已知圆M与圆N：(x)(y)r关于直线yx对称，且点D(,)在圆M上.

53531533（1）判断圆M与圆N的位置关系；

（2）设P为圆M上任意一点，A(1,)，B(1,)，P、A、B三点不共线，PG为APB的平分线，且交

5353AB于G. 求证：PBG与APG的面积之比为定值.

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钦北区高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 2． 【答案】A

【解析】解：25÷2=12…1 12÷2=6…0 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1

故25（10）=11001（2）故选A．

【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．

3． 【答案】A

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【解析】

考点：线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线zxmy截距为

z，作L:xmy0,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线mx0y01zxmy过点A时取最大值，y0mx0可求得点A的坐标可求的最大值,然后由z2,解不等式可求m的范围.

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4． 【答案】B

x

【解析】解：（h（x））′=x[x′lnx+x（lnx）′] =xx（lnx+1），

令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜， ∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增， ∴h（）最小， 故选：B．

【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．

5． 【答案】B

【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0， 即f（0）=m=0， 故m=0；

2

故f（x）=x+nx，

f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立；

2

当n≠0时，0，﹣n不是x+nx+n=0的根， 2

故△=n﹣4n＜0，

故0＜n＜4；

综上所述，0≤n+m＜4； 故选B．

【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．

6． 【答案】D

【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣故选：D．

7． 【答案】 D

），因为0＜1﹣），因为1﹣

＜1，故排除A，B

＜0，故排除C．

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【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=

=，

取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=

，∴∠K0D'=

=

， ，

其所对的弧长为故选：D．

8． 【答案】D

【解析】解：设回归直线方程为∵样本点的中心为（4，5），

∴5=1.23×4+a

∴a=0.08 ∴回归直线方程为故选D．

=1.23x+0.08

=1.23x+a

【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

9． 【答案】C 【解析】

试题分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m，PF2n，且不妨设

1，由余弦定理可知：22a123a21322222224，解4，设双曲线的离心率为，则4cmnmn，4ca13a2，cc22e（）26得e.故答案选C．

2mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2，又cosF1PF2第 10 页，共 19 页

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考点：椭圆的简单性质．

【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径接着用余弦定理表示cosF1PF2PF1、PF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，

21，2成为一个关于a1,a2以及的齐次式，等式两边同时除以c，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 10．【答案】 D

【解析】

（﹣2）+

（﹣5）=﹣16，

二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整

2

数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．

mn

【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为

可得2m+5n=16 ①．

再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是

2

2

（﹣2）+

，∴ρ=

2

（﹣5）=37，

故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 11．【答案】C

【解析】解：∵点P的直角坐标为再由1=ρcosθ，﹣

=ρsinθ，可得

=2．

，

，结合所给的选项，可取θ=﹣

即点P的极坐标为 （2，故选 C．

），

【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．

12．【答案】B

【解析】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2， 两式相减得

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3a3=a4﹣a3， a4=4a3， ∴公比q=4． 故选：B．

二、填空题

13．【答案】,

e12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'， 22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减， 则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnxxaaR可得：f'x结合函数的解析式：fx， 2xxx∈（0，e），f'x0， 则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=clnxxax． xlnx1lnx设gx，求导g'x，

xx2令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围,.

e1， e1第 12 页，共 19 页

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点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 14．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：

g′（x）=

，

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

15．【答案】 ．

【解析】解： 0sintcostdt=

0sin2td（2t）=

（﹣cos2t）|故答案为：

16．【答案】 240 ．

【解析】解：a=

（

cosx﹣sinx）dx=（

sinx+cosx）

=﹣1﹣1=﹣2， 则二项式（x2﹣）6=（x2+）6

展开始的通项公式为Tr+1=

•2r•x12﹣3r，

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=×（1+1）=

．精选高中模拟试卷

令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x﹣）展开式中的常数项是

2

6•24=240，

故答案为：240．

【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

17．【答案】 （﹣3，21） ．

【解析】解：∵数列{an}是等差数列，

∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d， 由待定系数法可得

∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18， ∴两式相加即得﹣3＜S9＜21． ∴S9的取值范围是（﹣3，21）． 故答案为：（﹣3，21）．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

18．【答案】 [4

【解析】解：直线l：化为普通方程是即y=tanα•x+1； 圆C的参数方程

（θ为参数），

=

，

，解得x=3，y=6．

，16] ．

（t为参数），

22

化为普通方程是（x﹣2）+（y﹣1）=；

画出图形，如图所示；

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∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16， 最小值是2故答案为：[4

=2×，16]．

=2×

，16]．

=4

∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．

三、解答题

19．【答案】

，

【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=所以

，所以c=1．

；

=

；

；

；

恒成立，

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有

前n项和为Tn，

，

，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=

，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=

因为数列{an}是等比数列，所以又公比q=由题意可得：又因为bn＞0，所以所以数列{

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1； 所以bn=2n﹣1． （2）因为数列所以 ==

，所以

因为当m∈[﹣1，1]时，不等式

2

设g（m）=﹣2tm+t，m∈[﹣1，1]，

2

所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt＞0恒成立即可，

所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，

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所以

解得t＜﹣2或t＞2，

，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

2

（3）T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm=T1Tn

∴∴

，

结合1＜m＜n知，m=2，n=12

【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．

20．【答案】

【解析】

解：（1）设等比数列由已知，得

（2）由（1）得设等差数列

21．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．

的公比为

的公差为

，则

，解得

，解得

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又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

22．【答案】

22

【解析】解：（1）p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0，其中a＞0 ⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a； 当a=1时，p：1＜x＜3；

2

命题q：实数x满足x﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3； 故x的取值范围是[2，3）

（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p； ∴（a，3a）⊃[2，3]⇔

，1＜a＜2

∴实数a的取值范围是（1，2）．

【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条 件的概念．属于基础题．

23．【答案】（1）a0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】

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（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.7385%；

月均用水量低于3吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.30.8885%；

0.850.732.9吨．1 则x2.50.50.30.5考点：频率分布直方图．

24．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】

试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M的圆心，

rDM,然后根据圆心距MN与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G到AP和

BP的距离相等，所以两个三角形的面积比值和PA,最后得到其比值.

试题解析：（1） ∵圆N的圆心N(,)关于直线yx的对称点为M(,)， ∴r|MD|()22SPBGPB,根据点P在圆M上，代入两点间距离公式求PBSAPGPA5533535343216， 92∴圆M的方程为(x)(y)2535316. 9第 18 页，共 19 页

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∵|MN|(1021021028)()2r，∴圆M与圆N相离. 3333考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1

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