山东省2012届高三数学 第二章《平面向量》单元测试 文 新人教B版必修4

山东省新人教B版2012届高三单元测试10

必修4第二章《平面向量》

(本卷共150分，考试时间120分钟)

一、选择题（ 12 小题，每小题 5分）

1.a与b是非零向量，下列结论正确的是

A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b| C．|a|＋|b|＞|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|

解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a与b同向时，取“＝”号. 答案：D

2.在四边形ABCD中，ABDC，且|AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为 A．平行四边形 C．长方形

B．菱形 D．正方形

解析：由AB＝DC可得四边形ABCD是平行四边形，由|AB|＝|BC|得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.

答案：B

3.已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D的坐标为

A．（2，2） B．（－6，0） C．（4，6） D．（－4，2）

解析：设D（x，y），则AB＝（5，3），DC＝（－1－x，3－y）， ，BC＝（－4，－1）. AD＝（x＋2，y－1）

又∵AB∥DC，AD∥BC，

∴5（3－y）＋3（1＋x）＝0，－（x＋2）＋4（y－1）＝0， 解得x＝－6，y＝0. 答案：B

4.有下列命题：①ABBCAC＝0；②（a＋b）²c＝a²c＋b²c；③若a＝（m，4），则|a|＝23的充要条件是m＝7；④若AB的起点为A（2，1），终点为B（－2，4），则BA与x轴正向所夹角的余弦值是

A．①②

4.其中正确命题的序号是 5

C．②④

D．③④

B．②③

解析：∵ABBCAC2AC，∴①错. ②是数量积的分配律，正确.

当m＝－7时，|a|也等于23，∴③错.

- 1 -

在④中，BA＝（4，－3）与x轴正向夹角的余弦值是

4，故④正确. 5答案：C

5.已知a＝（－2，5），|b|＝2|a|，若b与a反向，则b等于 A．（－1，

5） 2 B．（1，－

5） 2C．（－4，10） D．（4，－10） 解析：b＝－2a＝（4，－10），选D. 答案：D

6.已知|a|＝8，e是单位向量，当它们之间的夹角为A．43

B．4

C．42

3时，a在e方向上的投影为

D．8＋23

解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：

a²e＝|a||e|cos

3＝8³1³

1＝4. 2答案：B

7.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为 A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：∵a⊥b ∴a²b＝0

又∵（2a＋3b）⊥（ka－4 b） ∴（2a＋3b）²（ka－4 b）＝0

222222

得2ka－12b＝0又a=|a|=1，b=|b|=1 解得k＝6. 答案：B

8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b等于

111,） 15541C．（－,）

155A．（－

111） 51541D．（,）

155B．（－,解析：b＝（x－1，3x－2）

∵a⊥b，∴a²b＝0

即3（x－1）＋4（3x－2）＝0， 解得x＝

11. 15答案：C

9.等边△ABC的边长为1，AB＝a，BC＝b，CA＝c，那么a²b＋b²c＋c²a等于 A．0

B．1

C．－

1 2 D．－

3 2解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a²b＋b²c＋c²a

- 2 -

＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－答案：D

3. 22x1的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为 32x72x5A．y＝ B．y＝

332x92x3C．y＝ D． y＝

332x1解析：把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为A，

310.把函数y＝

即按图象向左平移1个单位，用（x＋1）换掉x，再把图象向上平移2个单位，用（y－2）换掉y，可得y－2＝

2(x1)1. 32x7整理得y＝

3答案：A

11.已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于（ ） A．±1 B．1 C．－1 D．0 解析：∵a与b共线 ∴a＝λb（λ∈R）， 即ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），

∴（k－λ）e1＋（1－λk）e2＝0 ∵e1、e2不共线. ∴k0

1k0解得k＝±1，故选A. 答案：A

12.已知a、b均为非零向量，则|a＋b|＝|a－b|是a⊥b的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

22

解析：|a＋b|＝| a－b|（a＋b）＝（a－b）a²b＝0a⊥b. 答案：C

二、填空题（ 4小题，每小题 4分）

13.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则MN＝ .

解析：BCACAB＝b－a，

- 3 -

∴MN＝答案：

11BC（b－a）. 331（b－a） 314.a、b、a－b的数值分别为2，3，7，则a与b的夹角为 . 解析：∵（a－b）＝7

2 2

∴a－2a²b＋b＝7 ∴a²b＝3 ∴cosθ＝

2

ab1

|a||b|2∴θ＝答案：

3.

2

2

315.把函数y＝－2x的图象按a平移，得到y＝－2x－4x－1的图象，则a＝ .

22

解析：y＝－2x－4x－1＝－2（x＋1）＋1

2

∴y－1＝－2（x＋1）

即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a＝（－1，1）. 答案：（－1，1） 16.已知向量a、b的夹角为解析：∵a²b＝|a||b|cos

2

2

2

3，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是 .

32

＝2³1³

1＝1 22

∴|a+b|＝a＋2a²b＋b＝2＋2³1＋1＝7，

2222

|a－b|＝a－2 a²b＋b＝2－2³1＋1＝3

22

∴|a＋b||a－b |＝3³7＝21 ∴|a＋b||a－b |＝21. 答案：21

三、解答题：（共74分） 17.（本小题满分10分） 已知A（4，1），B（1，－解：∵AB＝（－3，－又∵AB∥BC

∴根据两向量共线的充要条件得－解得x＝－1.

- 4 -

13），C（x，－），若A、B、C共线，求x.

223），BC＝（x－1，－1） 23（x－1）＝3 2

18.（本小题满分12分）

已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，求m的值. 解：a²b＝|a||b|cos60°＝3 ∵c⊥d，∴c²d＝0 即（3a＋5b）（ma－b）＝0

22

∴3ma＋（5m－3）a²b－5b＝0 ∴27m＋3（5m－3）－20＝0 解得m＝

29. 4219.（本小题满分12分）

已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

解：由已知，（a＋3b）²（7 a－5b）＝0， （a－4b）²（7a－2 b）＝0，

2 2

即7a＋16a²b－15 b＝0 ①

2

7a－30a²b＋8 b＝0 ②

2

①－②得2a²b＝b

22

代入①式得a＝b

12bab12∴cosθ＝， 2|a||b||b|2故a与b的夹角为60°.

20.（本小题满分12分）

已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a＋b＝证明：∵BCBDDC,ACADDC， 两式平方相加可得

2

2

12

c＋2m2. 2a2＋b2＝

12

c＋2m2＋2（BD²DC＋AD²DC） 2∵BD²DC＋AD²DC

＝|BD||DC|²cosBDC＋|AD||DC|cosCDA＝0 ∴a＋b＝

2

2

12

c＋2m2. 221.（本小题满分14分）

设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，OA⊥OB，求实数m、n的值.

解：∵OA⊥OB， ∴－2n＋m＝0

①

- 5 -

∵A、B、C在同一直线上， ∴存在实数λ使AC＝λAB，

AC＝OC－OA＝7i＋［－（m＋1）j］

AB＝OB－OA＝（n＋2）i＋（1－m）j，

∴7＝λ（n＋2） m＋1＝λ（m－1）

消去λ得mn－5m＋n＋9＝0 由①得m＝2n代入②解得

②

m＝6，n＝3；或m＝3，n＝

3. 222.（本小题满分14分）

如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，BP²CQ有最大值?

解：BP²CQ＝（APAB）²（AQAC） ＝（APAB）²（－APAC） ＝－r＋AB²ACAP²CB

2

设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则

BP²CQ＝－r2＋cbcosθ＋racosθ

∵a、b、c、α、r均为定值，

∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，BP²CQ有最大值.

- 6 -