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第二章 测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( ) A．18°
B．24°
C．30°
D．36°
(第2题) (第4题) (第8题)
3．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( ) 36A. 5
12B. 25
9C. 4
33D.
4
4．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，以下给出的条件合适的是( ) A．AC＝AD
B．BC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
5．已知一个等腰三角形的两个内角度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A．20°
B．120°
C．20°或120° D．36°
6．在△ABC中，AB2＝(a＋b)2，AC2＝(a－b)2，BC2＝4ab，且a＞b＞0，则下列结
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论中正确的是( ) A．∠A＝90° C．∠C＝90°
B．∠B＝90°
D．△ABC不一定是直角三角形
7．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三条边上的中线长是( ) A．5
B．6
C．6.5
D．12
8．如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( ) A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
9．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积从左往右依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于( ) A．3
B．4
C．5
D．6
(第9题) (第10题)
10．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连结
AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连结PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形．其中正确的有( ) A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：______________________．
12．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为____________．
13．已知实数x，y满足(x－4)2＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角
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形的周长是________．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(c2－a2－b2)2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为____________．
15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．
(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)
16．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．
17．如图，在正方形网格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将网格内一个空白小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种．
18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与
AB的垂直平分线交于点O，沿EF折叠后，点C与点O重合，则∠OEC的度数是________．
三、解答题(19，20题每题6分，21，22，23题每题8分，24题10分，共46分) 19．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”． (1)写出该命题的逆命题．
(2)该逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
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20.如图，点E，F在△ABC的边BC上．若AE＝AF，BE＝CF，则AB＝AC，并说明理由．
(第20题)
21．如图，AB∥CD，EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线．求证：△EGF是直角三角形．
(第21题)
22．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的邻补角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则： (1)图中有哪几个等腰三角形？为什么？
(2)BD，DE，CE之间存在着什么数量关系？并说明理由．
(第22题)
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23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB.
(第23题)
24．如图，等腰直角三角形DBC中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连结AC. (1)求证：△FBD≌△ACD；
1
(2)如图，延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF.
2
(3)在(2)的条件下，H是BC边的中点，连结DH，与BE相交于点G.试探索CE，
GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
(第24题)
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答案
一、1.D 2.A
3．A ：利用等积法解答．根据勾股定理求得AB＝15，设点C到AB的距离是11
x，可列方程×9×12＝×15x，解之即可．
224．A 5.C
6．C ：由题意可得，AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC为直角三角形，AB所对的角为直角，所以∠C＝90°. 7．C
8．B ：因为△ABC是等腰三角形，AD是其底边上的中线，所以AD也是底边上的高线，所以∠ACB＝90°－∠CAD＝70°.又因为CE是∠ACB的平分线，1
所以∠ACE＝∠ACB＝35°.
2
9．B ：本题不能直接求出S1，S2，S3，S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理求出S1＋S2＋S3＋S4.根据“AAS”很容易证明△ABC≌△CDE，所以AB＝CD.又因为CD2＋DE2＝CE2，AB2＝S3，CE2＝3，DE2＝S4，所以S3＋S4＝3.同理可得S1＋S2＝1，所以S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4.
10．D ：∵△ABD，△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，
BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°. 在△ABE和△DBC中，
AB＝DB，
∠ABE＝∠DBC， BE＝BC，
∴△ABE≌△DBC(SAS)． ∴①正确． ∵△ABE≌△DBC，
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∴∠BAE＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE＋∠BCD＝∠BDC＋∠BCD＝60°. ∴②正确．
易证△ABP≌△DBQ(ASA)， ∴BP＝BQ.又∵∠DBQ＝60°， ∴△BPQ为等边三角形． ∴③正确．
二、11.等边三角形的三个角都相等 12．75°或15° 13.20 14．等腰直角三角形
15．3 ：△OPE≌△OPF，△OPA≌△OPB，△AEP≌△BFP，所以共有3对全等三角形．
3216. ：在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC21
为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2
21332
－1－1－＝.用勾股定理计算出BC的长为2，因此BC 边上的高为. 22217．3
18．100° ：连结OB，OC.
易得△AOB≌△AOC(SAS)． ∴∠ACO＝∠ABO.
又∵OD垂直平分AB，∴OB＝OA， 1
∴∠ABO＝∠BAO＝∠BAC＝25°.
2∴∠ACO＝25°.
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在△ABC中，∵∠BAC＝50°，AB＝AC， 1
∴∠ACB＝×(180°－50°)＝65°.
2∴∠ECO＝∠ACB－∠ACO＝40°. 由折叠可知，OE＝EC. ∴∠EOC＝∠ECO＝40°. ∴∠OEC＝100°.
三、19.解：(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，
CD⊥AB于D，且CD＝BE. 求证：AB＝AC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BEA＝∠CDA＝90°， 又∵∠A＝∠A，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD，∴AB＝AC.
(第19题)
20．解：∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BFAE＝AF，
＝CE.在△ACE和△ABF中，∠AEC＝∠AFB，
CE＝BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)， ∴AB＝AC.
21．证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线，
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11
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，
22
11
∴∠GEF＋∠GFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，
22∴△EGF是直角三角形． 22．解：(1)△BDF和△CEF.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC，
∵DF∥BC，∴∠FBC＝∠DFB， ∴∠DFB＝∠DBF，∴DB＝DF， ∴△BDF是等腰三角形． 同理，△CEF也是等腰三角形．
(2)BD＝DE＋CE.由(1)知△CEF是等腰三角形，且EC＝EF，∵BD＝DF＝
DE＋EF，∴BD＝DE＋CE.
：“平行线＋角平分线”是等腰三角形中常见的基本图形之一，应注意在其他图形中的发掘与应用．
23．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.
又∵BD＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)． ∴CF＝EB.
(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE.∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
：(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE，再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.
(2)利用(1)中结论证明Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，再将线段AB进行
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转化．
24．(1)证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°. 在△FBD和△ACD中，
BD＝CD，
∠BDF＝∠CDA， DF＝DA，
∴△FBD≌△ACD(SAS)． (2)证明：∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE， 又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)， 1∴AE＝CE.∴CE＝AC.
2由(1)知△FBD≌△ACD， 1
∴BF＝AC，∴CE＝BF.
2(3)解：BG2＝GE2＋CE2. 证明：连结CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∵BE⊥AC，∴CG2＝GE2＋CE2，∴BG2＝GE2＋CE2. ：本题综合考查全等三角形的判定与性质，以及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．
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