自动控制原理习题及其解答 第三章

例3-1 系统的结构图如图3-1所示。

已知传递函数 G(s)10/(0.2s1)。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts

减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。

解 首先求出系统的传递函数φ（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件

对照。

一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为

(s)即

10

(0.2s/101)K0G(s)10K0C(s) R(s)1KHG(s)0.2s110KH10K0110KH (s)

0.2(s1)110KH比较系数得

10K010 110KH110KH10解之得

KH0.9、K010

解毕。

例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：

c(t)(t0.9)0.9e10t （t≥0）

已知初始条件为零，试求系统的传递函数(s)。 解 因为

R(s)C(s)L[c(t)]11s12 ss2s10.90.910(s1) ss10s2(s10)s2故系统传递函数为

(s) 解毕。

例3-3 设控制系统如图3-2所示。

C(s)1 R(s)0.1s1试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为

(s)系统是一阶的。动态性能指标为

K

(TbK)s1td0.69(TbK)tr2.2(TbK) ts3(TbK)因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。

h(t) 4 3

0 0.1 t

图3-34 二阶控制系统的单位阶跃

响应

解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，

而是3。系统模型为

23n(s)s2ns22n

然后由响应的Mp%、tp及相应公式，即可换算出、n。

K

c(tp)cTs()1 43Mp%33%

c()3tp0.1（s）

bs

由公式得

Mp%e/1233%

tpn120.1

换算求解得： 0.33、 n33.2

解毕。

例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于15%，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。

R(

K1s(s1)C(

1+K图3-35

解 由图示得闭环特征方程为

s2(1K1Kt)sK10

即

K1由已知条件

2n，

21Ktn t2nMp%etp解得

t/1t20.15

n12t0.8t0.517,n4.588s1

于是

12tnK121.05 Kt 0.178K1td10.6t0.2t2n0.297s

trn12tarccostn12t0.538s

ts3.5tn1.476s

解毕。

例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的ξ1值，但保持增益K及自然频率ωn不变。

R(

2Kn2s22nsnC(

解 由图得闭环传递函数

2H(s)

(s)n例3-14 控制系统结构图图K3-36

22s22nsnKnH(s)在题意要求下，应取 H(s)Kts 此时，闭环特征方程为：

2s2(2KKtn)nsn0

令： 2KKtn21，解出，Kt2(1)/Kn

故反馈通道传递函数为：

H(s) 解毕。

例3-15 系统特征方程为

2(1)s

Kns630s520s410s35s2200

试判断系统的稳定性。

解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。

例3-16 已知系统特征方程式为

s48s318s216s50

试用劳斯判据判断系统的稳定情况。

解 劳斯表为

s4 1 18 5 s3 8 16 0 s2 818116851016 5 88161685s1 13.5 0

1613.55160s0 5

13.5由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。

例3-17 已知系统特征方程为

s5s42s32s23s50

试判断系统稳定性。

解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为

s5 1 2 3 s4 1 2 5 s3 0 2

s2

122 5

4452s

22s0 5

由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε2）/（2ε+2），当ε趋于零时为2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。

解毕。

例3-18 已知系统特征方程为

s62s58s412s320s216s160

试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。

解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。 劳斯行列表为

s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 s4 2 12 16 s3 0 0

由于s行中各项系数全为零，于是可利用s行中的系数构成辅助多项式，即

34P(s)2s412s216

求辅助多项式对s的导数，得

dP(s)8s324s s原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为

s 1 8 20 s 2 12 16

56s4 2 12 16 s3 8 24 s2 6 16 s1 2.67

s0 16

新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。 对原点对称的根可解辅助方程求得。令

2s412s2160

得到

sj2和sj2

解毕。

例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)K

s(as1)(bs2cs1)试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；

（2）当参考输入为r1(t)，rt1(t)和rt1(t)时系统的稳态误差。

解 根据误差系数公式，有

位置误差系数为

KplimG(s)lims02s0K

s(as1)(bs2cs1)速度误差系数为

KvlimsG(s)limss0s0KK 2s(as1)(bscs1)加速度误差系数为

Kalims2G(s)lims2s0s0K0 2s(as1)(bscs1)对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。

参考输入为r1(t)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为

essrr0

1Kp1参考输入为rt1(t)，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为

ess2rr KvK参考输入为rt1(t)，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为

ess 解毕。

2r2r Ka0例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)10

s(1T1s)(1T2s)输入信号为r（t）=A+ωt，A为常量，ω=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。

解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为

1r(t)r0r1tr2t2

2系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：

essr0rr12

1KpKvKa对于本例，系统的稳态误差为

essA

1KpKv本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以

Kp

KvlimsG(s)limss0s01010

s(1T1s)(1T2s)系统的稳态误差为

essAA0.50.05

1KpKv1101010 解毕。

例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (a为任意常数)。

证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。

R(

Kis

K s(Ts1)C(

图3-37 例3-21控制系统的结构图

解 系统的闭环传递函数为

K(Kis1)C(s) R(s)s(Ts1)K即

C(s)因此

K(Kis1)R(s) 2TssKTs2sKKis R(s)C(s)R(s) 2TssK当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为

Ts2sKKisaa(Ts1KKi)esslimslim2s02s0Ts2sKTssKs

a[Ts(1KKi)]a(1KKi)lim2s0KTssK要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足

1KKi0

所以

Ki1/K

解毕。

例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)KpKgTs1。如果要求系统的位置稳

态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么

关系？

解 开环传递函数

2KpKg/TnG(s)

1s(Ts1)s(s2n)s(s)TKpKg显然

解得:

2nKpKgT 2n1 TKpKgT1/42

由于要求

Mp%e/12100%4.3%

故应有ξ ≥0.707。于是，各参数之间应有如下关系

KpKgT0.5

本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。 例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中

K12K21 ，T20.25s ，K2K31

试求 r(t)(1tt/2)1(t)时，系统的稳态误差。

2sK3

R(

解 闭环传递函数

K1

K2s(T2s1)C(

图3-38 复合

K3K1K1K24(s0.5)s 2Ts2sKKs4s2212(s)1等效单位反馈开环传递函数

G(s)表明系统为II型系统，且

(s)2(2s1) 21(s)sKaK2

当r(t)(1tt/2)1(t)时，稳态误差为

2ess1/Ka0.5

解毕。

例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s)K/s(Ts1)。 试选择参数K及

T的值以满足下列指标：

（1）当r(t)= t时，系统的稳态误差ess≤0.02；

（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s (△=5%)

解 ess10.02 K开环增益应取K≥50 。现取K=60 。因

2nK/T G(s)s(s1/T)s(s2n)故有

2K/T T1/2n，n于是 n2K 取Mp%0.2% ，计算得

(lnMp%)2(lnMp%)220.456

n54.72

此时

ts3.5/n0.140.3(S)

满足指标要求。最后得所选参数为：

K=60 T=0.02 (s)

解毕。

例3-25 一复合控制系统如图3-39所示。

R(

图中：G1(s)K1Gr(E(G

1

图3-39 复合控制

G2

C(

K2G2(s)s(1T1s)as2bs Gr(s)1T2sK1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a和b 。

解 系统闭环传递函数为

G1G2C(s)R(s)1G1G2GrG2(G1Gr)1G1GG

112故

C(s)误差为

G2(G1Gr)R(s)

1G1G21G2GrE(s)R(s)C(s)1GG12代入R(s)1/s 及G1、G2、Gr, 得

3R(s) K2[as2(bK1T2)sK1]C(s) 32R(s)T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2闭环特征方程为

T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K20

易知，在题设条件下，不等式

32(T1T2)(1K1K2T2)K1K2T1T2

成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数a、b 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而

T1T2s3(T1T2K2a)s2(1K2b)s1 E(s)323T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2s若

T1T2K2a0则有

1K2b0

E(s)系统的稳态误差为

T1T2

T1T2s3(T1T2)s2(1K1K2T2)sK1K2esslimsE(s)0

s0因此可求出待定参数为

a 解毕。

T1T2K2b1 K2例3-26 控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。

R(

E(0.05s1

图3-40 K 控制系统结构图 KN(

s5C(

2.5

（1）试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。

（2）若K=20，其结果如何？

（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s，结果又如何？

解 在图中，令

G1则

C(s)G2N(s)G1G2E(s)

代入E(s)R(s)HC(s)，得

K1，G2，H2.5

0.05s1s5 C(s)G2G1G2N(s)R(s)

1G1G2H1G1G2H令R(s)0，得扰动作用下的输出表达式

Cn(s)此时，误差表达式为

G2N(s)

1G1G2H En(s)R(s)HCn(s)即

essnlimsEn(s)lims0G2HN(s)

1G1G2HG2HsN(s)

s01GGH12而扰动作用下的稳态输出为

Cn()limsCn(s)lims0G2sN(s)

s01GGH12代入N(s)、G1、G2和H的表达式，可得

cn()25，essn

12.5K12.5K（1）当K40时，cn()2/101，essn5/101 （2）当K20时，cn()2/51，essn5/51

可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也

增大。

若1/s加在扰动作用点之前，则

G1不难算得

K1，G2，H2.5

s(0.05s1)s5cn()0，essn0

若1/s加在扰动作用点之后，则

G1容易求出

1K，G2，H2.5

s(s5)0.05s12/100, K40时2cn()

2.5K2/50, K20时essn5/100, K40时5 2.5K5/50, K20时可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。

解毕。

例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为

2n G(s)s(s2n)已知系统的误差响应为

e(t)1.4e1.07t0.4e3.73t （t≥0）

试求系统的阻尼比ξ、自然振荡频率ωn和稳态误差ess。

解 闭环特征方程为

2s22nsn0

由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故

e(t)1.4et/T10.4et/T21.4e1.07t0.4e3.73t

即，系统时间常数为

T10.93T20.27

22令 s2nsnsTsT

1112得

1T1/T22T1/T2 n21 T1T2代入求出的时间常数，得

1.2，n2

稳态误差为

esslime(t)0

t实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。