压轴题《一线三等角三直角型相似三角形》

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三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。及等角为直角时的特例。

EAD F

CB

如图：以上各图中在一条直线上的三个角如果相等，那么对应的三角形相似，请你证明. 【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连结EF． （1）指出图中所有与△BEM相似的三角形，并加以证明；

A D （2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

F

E

B

M

C

【例3】（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点，且保持APQABC. P不与点C、点B重合）

①若点P在线段CB上（如图10），且BP6，求线段CQ的长；

B

A C

备用图 ②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图12），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点，且保持APQ90.当CQ1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，C、点B重合）请直接写出结果）.

【例4】如图，在RtABC中，C90，AB5，tanBA

D

B

图12

C

3，点D是BC的中点，点E4是AB边上的动点，DFDE交射线AC于点F．

（1）求AC和BC的长； （2）联结EF，当EF//BC时，求BE的长． (3) 联结EF，当DEF和CFD相似时，求BE的长． A A A E

F

C B C B C D （备用图） （备用图）

B 回家作业：

1.如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ADEC．(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

oA E

B D

C

2.在ABC中，C90,AC4,BC3,O是AB上的一点，且

AO2，点P是AC上的AB5一个动点，PQOP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ

3. 已知在等腰三角形ABC中，ABBC4,AC6，D是AC的中点， E是BC上的动点（不与B、C重合），连结DE，过点D作射线DF，使EDFA，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.（1）求证：CED∽ADH； H（2）设ECx,BFy.

B①用含x的代数式表示BH；

②求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.

CFEDA4. 如图，在平面直角系中，直线AB：y4x4a0分别交x轴、y轴于B、A两点，a直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OAOD，过D作CDx轴交AE于C，连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且ABBC时 (1)求证：ABO∽BCD； (2)求线段CD的长（用a的代数式表示）； (3)若直线AE的方程是y13xb，求BC:AB的值． 16

5. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． 求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．