高考压轴卷
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式：
球的表面积公式 S4R2
锥体的体积公式
1VSh
3其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 台体的体积公式
球的体积公式
4VR3
3
其中R表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh
1Vh(SaSaSbSb)
3其中Sa，Sb分别表示台体的上、下底面积 h表示台体的高
其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高 1.若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（ ） A．{y|y=x，x∈R} B．{y|y=2，x∈R} C．{y|y=lgx，x＞0} D．∅ 2.抛物线y=﹣2x的准线方程是（ ） A．
B．
C．
D．
2
2
x
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4.若存在实数x，y使不等式组A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3 5.不等式2x﹣x﹣1＞0的解集是（ ）
2
与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（ ）
1A．x|x1B．{x|x＞1} C．{x|x＜1或x＞2}
21D．x|x或x1
26.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（ ） A．2﹣2
n+1
B．3n C．2n D．3﹣1
n
7.定义在R上的奇函数f（x）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f（﹣1）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．（﹣1，0）∪（0，1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
8.随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2，则D（2X﹣3）=（ ） X P A．2
0
2 p
a
C．4
D．5
B．3
9.已知平面α∩平面β=直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点．（ ）
A．当|CD|=2|AB|时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交 D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行 10.设k∈R，对任意的向量
，
和实数x∈，如果满足
，则有
成立，那么实数λ的最小值为（ ） A．1
B．kC．
D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数n,m，满足nm，那么输出的P等于。
12.若x是实数，y是纯虚数，且满足2x12iy，则x_________,y_________.
1ai13.复数（aR,i为虚数单位）为纯虚数,则复数zai的模为．已知
2i
(1xx2)(x1n)(nN)的展开式中没有常数项,且2n8，则n. 3x = ．
﹣
）•
= ；若E是AB的中点，
14.已知角θ的终边过点（4，﹣3），则tanθ= ，
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（P是△ABC（包括边界）内任一点．则
的取值范围是 ．
16.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种． 17.求函数y=lg（sinx+2cosx+2）在
2
上的最大值 ，最小值 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2
，求a．
o19.(本题满分15分)如图四边形PABC中，PACABC90，PAAB23,AC4，现把PAC沿AC折起，使PA与平面ABC成60，设此时P在平面ABC上的投影为O点（O与B在AC的同侧），
o（1）求证：OB∥平面PAC；
（2）求二面角P－BC－A大小的正切值。
20.已知二次函数f（x）=x+ax+b+1，关于x的不等式f（x）﹣（2b﹣1）x+b＜1的解集为（b，b+1），其中b≠0．
（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）令g（x）=极值点．
，若函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值点，求实数k的取值范围，并求出
2
2
数学参
1.【答案】C
【解析】集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q， ∴Q⊆P
∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，满足要求 B={y|y=2，x∈R}={y|y＞0}，满足要求
x
C={y|y=lgx，x＞0}=R，不满足要求 D=∅，满足要求 故选C ２．【答案】D 【解析】∵y=﹣2x； ∴x=﹣y； ∴2p=⇒
=．
2
2
又因为焦点在Y轴上， 所以其准线方程为y=． 故选：D． 3.【答案】C
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 其底面是边长为1m的正方形，故底面积为1m， 侧面均为直角三角形，
其中有两个是腰为1m的等腰直角三角形，面积均为： m， 另外两个是边长分别为1m，故几何体的表面积S=故选：C 4. 【答案】B
m，，
m的直角三角形，面积均为：
m，
2
2
2
【解析】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3） 设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0 当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3 因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，
∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立 ∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3 故选：B 5.【答案】D
【解析】不等式2x﹣x﹣1＞0， 因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＞0， 解得：x＞1或x＜﹣， 则原不等式的解集为故选：D．
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．
6.【答案】C
【解析】因数列{an}为等比，则an=2q因数列{an+1}也是等比数列， 则（an+1+1）=（an+1）（an+2+1） ∴an+1an+1=anan+2+an+an+2 ∴an+an+2=2an+1 ∴an（1+q﹣2q）=0 ∴q=1 即an=2，
2
2+2
2
n﹣1
2
，
，
所以sn=2n， 故选C． 7.【答案】A
【解析】根据题意，f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上也是增函数， 若f（﹣1）=0，得f（﹣1）=﹣f（1）=0，即f（1）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 对于不等式x•f（x）＞0， 有x•f（x）＞0⇔
或
，
分析可得x＜﹣1或x＞1，
即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
故选：A．
8.【答案】C
【解析】由题意可得：+p+=1，解得p=， 因为E（X）=2，所以：
2
2
2
，解得a=3．
D（X）=（0﹣2）×+（2﹣2）×+（3﹣2）×=1． D（2X﹣3）=4D（X）=4． 故选：C． 9.【答案】B
【解析】对于A，当|CD|=2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合．故A不对； 对于B，若M，N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对； 对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对； 对于D，当AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行，故D不对． 故选：B．
10.【答案】C 【解析】当向量当k=0时，即有
==
时，可得向量，则有
，
即为x|
|≤λ|
|，
，
均为零向量，不等式成立；
即有λ≥x恒成立，由x≤1，可得λ≥1； 当k≠0时，当k＞1时，由|
﹣x
|≤|
﹣
≠
，由题意可得有
＞||＜|
﹣
|， |，可得：
=
|
|，
≤1，则有
即有λ的最小值为故选：C． 11.【答案】Anm
≥1，即λ≥k．
．
【解析】第一次循环：k=1,p=1,p=n-m+1； 第二次循环：k=2,p=n-m+1n-m+2； 第三次循环：k=3,p=n-m+1n-m+2…
第m次循环：k=m,p=n-m+1n-m+2...n-1n 此时结束循环，输出p=n-m+1n-m+2...n-1n=An
m故答案为：An.
()()()()(n-m+3); )()()(()()()m思路点拨：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析即可． 12.x
13.【答案】5,5 【解析】
1,y2i 2
考点：复数的概念和模的计算公式及二项式定理及运用． 14.【答案】
，8．
【解析】∵角θ终边上一点P（4，﹣3）， ∴由三角函数的定义可得tanθ=∴故答案为：
，8．
=
，
=
=8，
15.【答案】2 ，[﹣9，9].
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=∴
+
=16+4=20．
=
=
=
=2．
=
，
以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有．
令t==（﹣4，1）•（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即 y=4x+t﹣7．
故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9， 当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7﹣0+2=9， 故t=
的取值范围是[﹣9，9]，
故答案为 2，[﹣9，9]．
16.【答案】150
【解析】根据题意，分配5名水暖工去3个不同的小区，要求5名水暖工都分配出去，且每个小区都要有人去检查，5人可以分为（2，2，1），（3，1，1）， 分组方法共有
+C5=25种，
3
3
分别分配到3个不同的小区，有A3种情况，
由分步计数原理，可得共25A3=150种不同分配方案， 故答案为：150． 17.【答案】lg4，lg
【解析】sinx+2cosx+2=1﹣cosx+2cosx+2=﹣（cosx﹣1）+4， ∵
2
2
2
2
3
，∴cosx∈[﹣，1]，
则当cosx=1时，sinx+2cosx+2取得最大值4， 当cosx=﹣时，sinx+2cosx+2取得最小值，即当设t=sinx+2cosx+2，则≤t≤4， 则lg≤lgt≤lg4，
即函数的最大值为lg4，最小值为lg， 故答案为：lg4，lg
18.【解析】（Ⅰ）由cos2A=3cos（B+C）+1得，2cosA+3cosA﹣2=0，
2
2
2
时，函数有意义，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0， 所以，cosA=或cosA=﹣2（舍去）， 因为A为三角形内角，所以A=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=﹣cos（B+C）=， 则cosBcosC﹣sinBsinC=
；
由cosBcosC=﹣，得sinBsinC=， 由正弦定理，有即b=
，c=
，
，
由三角形的面积公式， 得S=即
=2
=，
=
，
解得a=4．
19.【解析】（1）连AO，因为PO平面ABC，得POCA。
又因为CAPA，得CA平面PAO，CAAO。………………………………………3分 因为PAO是PA与平面ABC的角，PAO60。
o因为PA23，得OAo3。
oo在OAB中，OAB903060，故有OBOA，………………………………6分 从而有OB//AC，得OB//平面PAC。 ……………………………………………………8分 （2）过O作BC的垂线交CB延长线于G点，连PG，则PGO是二面角P－BC－A的平面角。
在RtPGO中，易知PO3,OG33， 2所以tanPGO另解：（1）同上
PO23…………………………15分 OG3（2）以OB、OA、OP为x、y、z轴，建立坐标系，可得A(0,3,0),B(3,0,0),C(4,3,0),P(0,0,3)。 可求得平面ABC的法向量是m(0,0,1)，平面PBC的法向量是(1,3,3)，所以二面角P－BC－A大小的余弦值是cosur32123，即tan 37172
20.【解析】（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b＜1的解集为（b，b+1）， 即x+（a﹣2b+1）x+b+b＜0的解集为（b，b+1）， ∴方程x+（a﹣2b+1）x+b+b=0的解为x1=b，x2=b+1， ∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2． （II）φ（x）得定义域为（1，+∞）． 由（I）知f（x）=x﹣2x+b+1，∴g（x）=
2
2
2
2
2
=x﹣1+，
∴φ′（x）=1﹣﹣=，
∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，
∴方程x﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根， ∴△=（2+k）﹣4（k﹣b+1）=k+4b＞0． 解方程x﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1， ∴当x∈（1，
）时，φ′（x）＜0，当x∈（
，+∞）时，φ′（x）＞0，
2
2
2
2
，x2=
∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴φ（x）极小值点为
（2）当b＜0时，由△=k+4b＞0得k＜﹣2若k＜﹣2
，则x1＜1，x2＜1，
2
． ，或k＞2
，
∴当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意； 若k＞2
，则x
＞1，x2＞1， ）上单调递增，在（
，
）上单调递减，在
∴φ（x）在（1，
（，+∞）单调递增，
∴φ（x）的极大值点为，极小值点为．
综上，当b＞0时，k取任意实数，函数φ（x）极小值点为；
当b＜0时，k＞2
，函数φ（x）极小值点为，极大值点为．
