(完整版)高等数学(同济第六版)上册-期末试卷及答案,推荐文档

一、填空题

e3xcos2x3 . 1.limx0sin2x2x22.曲线

yxe的拐点是 .

(2,2e)3.设f(x)在x0处可导且f(0)0,则limf(x)x0x . f(0)4.曲线y1cos2x2x在(2,12)处的切线方程为 .yx1曲线yx25.x21有垂直渐近线 和水平渐近线 . x1，y16.设f(u)可导，ysin2[f(ex)]，则dy . sin2[f(ex)]f(ex)exdx7.40exdx . 2(e21)8. 若f(x)f(x03h)0)3，则limf(x0hh0h . 129. 若1xpdx收敛，则p的范围是 .p110.lim2x3x(2x1)x1 . e11.设f(x)dxF(x)c，则f(2x)dx . 12F(2x)cx2x212.设f(x)的一个原函数是xlnx，则xf(x)dx . 42lnxcx213.设f(x),x01,x0，则1x1f(x)dx . 614.过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程为 . yx2115.已知函数f(x)sinxx,x0，则当x 时，函数f(x)是无穷小；当

a,x0a 时，函数f(x)在x0处连续，否则x0为函数的第 类间断点. 16.已知f(x)dxF(x)c，则11x2f(arcsinx)dx .F(arcsinx)c117.当x0时，(1ax2)31与1cosx是等价无穷小，则a .

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， 一

1x3sint0tdt18.f(x),x0是连续函数，则a . 13xa,x019.f(x)在[0,1]上连续，且f(1)0,提示：

1011xf(x)f(x)dxxf(x)df(x)xf(x)f(x)d(xf(x))200101010[f(x)]2dx1，则xf(x)f(x)dx .0112f(x)[f(x)xf(x)]dxf2(x)dxxf(x)f(x)dx，移项便得.

0011120.(x)xedx，则(1) . (1) . (e1)，e02xx2df(x2)1111，则f(x) .21. 提示：f(x2)2xf(x2)2dxx2xx2x22.曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线平行于直线y3x1，则f(2) . 323.设f(x)arctanx，且x00,limx0f(xx0)f(x0)1 .

x2x0(1x0)24.y2lnx33的水平渐近线是 . y3x1225.函数yxx的导数为 .xx(lnx1)26.xexdx .

012x2sinx)dx . 127.(x211x28.广义积分111dx . x32x2129.f(x)x的积分曲线中过(1,)的曲线的方程 ______.y=122130.设S为曲线yxlnx与x1,xe及x轴所围成的面积，则s .(e21)431.f(2x)dx .

1f(2x)c21132.曲线yln(e)的渐近线为 . y1,x0,xxe33.曲线yx2与y2x所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积 .

310x1,x034.设f(x)0,x0,x2,x0第 2 页 共 7 页

02f(x1)dx= .

56二、选择题

12xcos,0x11. 设f(x)，在x0处( ) Ax,1x0xA.连续，不可导 B.连续，可导 C.可导，导数不连续 D.为间断点

2.曲线yA.2sinx在x0处的切线与x轴正方向的夹角为（ ） B2 B.4 C.0 D.13.若a23b0，则f(x)x3ax2bxc0（ ） BA.无实根 B.有唯一实根 C.三个单实根 D.重根

4.函数f(x)在xx0处取得极大值，则（ ） D

A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)0,f(x0)0 D.f(x0)0或不存在5.设f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数为（ ） D

A.1sinx B.xsinx C.1cosx D.xsinx6.设lnf(t)cost,则tf(t)dt（ ） Af(t)x2A.tcostsintc B.tsintcostc C.t(costsint)c D.tsintc7.设f(x)连续，F(x)f(t2)dt，则F(x)（ ） C0A.f(x4) B.x2f(x4) C.2xf(x4) D.2xf(x2)8.下列广义积分收敛的是（ ） CA.e11lnx1dxD.dxdx B.dx C. 2eeex(lnx)xxlnxxlnx9.广义积分A.0dx（ ） Cxxee D.发散

2410.下列函数中在区间[0,3]上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） Cx2A.2xx1 B.cos(1x) C. C.ln(1x)(1x2)2 B. C.11.求由曲线ylnx,直线x0,ylna,ylnb(ba0)所围图形的面积为（ ）CA.ab B.b2a2 C.ba D.ba12.已知limxaA.f(x)导数存在且f(a)0

B.f(x)取极大值

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f(x)f(a)1，则在xa处 （ ）B

(xa)2C.f(x)取极小值 D.f(x)导数不存在

三、计算题

tlntdtlncosx1112cosxxsin)1.lim( 2.lim

x0x08x2x2x43.lim(x1x1) 0 4. lim(cosx) e xx01221x125. lim(1x)tanx1x2

2

xx16. 求lim 1

x0xlnxxx(1lnx)xxlnx0limxlimee1，解1 原式limx0x0x0lnx1exlnx1xlnx=1,为为limxlnx0,e1~xlnx,x0解2 原式limx0xlnxx0x2x2f(t)dt7.设f(x)为连续函数，计算lim af(a)axaxax8.sin(lnx)dx [sin(lnx)cos(lnx)]c29.01cos2xdx 22 10.x2a2x2dx

0cosxa16a411.设y(sinx)12.设13.lnyt，求y . (sinx)cosxcos2x[sinxlnsinx]sinx0edtcostdt0，求dy. 2xcosx2dx0x23x135x22dxlnx4x8arctanc 2x4x8222xf(t)dy14.设，其中f可导，且f(0)0，求 . 33tyf(e1)dxt015.16.02sin2xsin4xdx 提示：原式0sin2xcos2xdxsinxcosxdx100ln21xdx2(1)e1dx 发散 17. 0(1x)241318. arccosc 19.2(x34)cos4xdx x2xx212dx20.22.ln22111ln3xdx ln2(3x)c 21.x3exdx ln20x242第 4 页 共 7 页

dxxxx earctanec 23.设f(e)1x，求f(x). xlnxcx2xe(1e)24.25.331dx2 [(x1)(x1)2]c

3x1x11dxlnxln1x10c 10x(1x)1026.已知f(x)的一个原函数为(1sinx)lnx，求xf(x)dx.

xcosxlnx1sinx(1sinx)lnx27.xln28.29.011x21xdx ln(x1)xc 1x21xln(x1)dx 2xln(x1)4x4arctanxcxa1xa2x2dx

430.设f(x)在[0,1]上连续，单调减且取正值，证：对于满足01的任何,有

f(x)dxf(x)dx.

0提示：f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx00f(x)dx()f(x)dx031.limx0x20tetsintdtx6ex13四、解答题

1.求函数yxex的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线.

1xsinx,0x2.设f(x)2，求(x)f(t)dt在(,)内的表达式.

0，或x0x0x(x)0，x001f(t)dt(cosx1),0x2,x1dx(xt)f(t)dtf(x)f(a).dxa3.设f(x)在(,)内连续，证明

4.设D1:y2x2,xa,x2,y0;D2:y2x2,y0,xa,0a2(1)试求D1绕x轴旋转得旋转体体积V1；D2绕y轴旋转得旋转体体积V2；(2)问当a为何值时V1V2得最大值？并求该最值.

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4129V1(32a5)，V2a4，a1，(V1V2)max555.已知f(sin2x)cos2xtan2x，求f(x).

sin2xu2f(u)12u提示：f(sinx)12sinx，f(x)xlnx1c21sinx1u226.设yc与y2xx2相交于第一象限（如图）.

（1）求使得Ⅰ与Ⅱ两区域面积相等的常数c；

（2）在（1）的情况下，求区域I绕x轴旋转的旋转体体

YII积.

提示：sIsIIsIIIIsIIIII，

1222cdx(2xx)dxcbb，又c2bb，003333y4113b,c,V.，x,x41224y2xx224022bbCI(b,c)III0X7. 设直线yaxb与直线x0,x1及y0所围成的梯形面积为A，求a,b，使这块区域

绕

x轴旋转所得体积最小.(a0,b0)a2提示：V(axb)dx(abb2),0312A(axb)dx01ab，a0,bA时，体积最小.28. 证明3x1dx0在区间(0,1)内有唯一的实根.

01x2x提示：令F(x)3x1x20dxF(0)F(1)0，再证唯一性.

01x2x9. 求f(x)(2t)etdt的最值. 为为为为为为为为10. f(x)x11,1e21lnt1dt,x0,求f(x)f(). (lnx)21tx211. 证明lim

x21

2.

x1x1x212||x1| x1分析 当x1时 |f(x)A||12. 证明lim0.

分析 |f(x)A||0|1x1xx11 0 要使|f(x)A|  只要|x|.|x|13. 当x1时，将下列各量与无穷小量x1进行比较.

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(1) x33x2; （2）lnx; （3）(x1)sin1.x1(1)x33x2是比x1较高阶的无穷小量;(2)lnx是关于x1的等价无穷小量；(3) (x1)sin1与x1不能比较.x1(x1)sinlimx11x1limsin1不存在. 所以，(x1)sin1与x1不能比较.

x1x1x1x1第 7 页 共 7 页