《计数原理》复习资料

排列、组合与二项式定理

第一节 计数原理

1. 分类加法计数原理： . 2. 分步乘法计数原理： . 抽取、分配问题

例1：将4封不同的信投入3个不同的信箱中，有多少种投法？ 1) 将4封不同的信投入5个不同的信箱中，要求每个信箱至多一封信，有多少种投法？ 2) 将1,2,3,4四个数字填入分别标有1,2,3,4的四个方格中，要求每格填入一个数字，则每个方格中的填入的数字与其所标数字都不相同的填法有多少种？

集合与映射

(1) 已知集合和A{a1,a2,a3,a4}集合B{b1,b2,b3}.

1) 分别可以建立多少种从A到B和从B到A的不同映射？

2) 可以建立多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数？

(2) 设集合A={-1,0,1},B={1,2,3,4,5}，映射f:AB,使对任意xA,都有xf(x)是奇数，这样的映射有多少种？

(3) 已知集合I={1,2,3,4,5}，现取出集合A和B是I的两个子集，使得B中最小的数字比A中最大的数字大，有多少种不同的取法？ (4) 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7}，映射f:AA满足f(1)f(2)f(3)f(4)，这样的映射f有多少种？

点评：把握好“映射”概念的本质：对于集合A中的任何元素在集合B中都有唯一元素和它对应。于是，要确定一个映射，必须给集合A中每一个元素在集合B中确定一个“象”。可根据集合A中元素个数分成card(A)步，每一步“搞定”一个元素，都有card(B)种。所以，共有card(B)card(A)种。

第二节 排列

1． 排列： . m2． 排列数： .记作An

(1) 计算公式：

mAnn(n1)(nm1)

n!(nm)!

1

(2) 性质：

mm11) An 2）n!n(n1)! (nm1)An例1 排列数公式运用

52A87A8443(1) 计算； （2）解关于x的方程：A2； x4140Ax85A8A9mmm1（3）证明：An； （4）化简：122!33!nn!； 1AnmAn

例2 数字问题

(1) 用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数： 1) 能组成多少个五位数？ 2) 能组成多少个六位奇数？

3) 能组成多少个比20000大的五位偶数？ 4) 能组成多少个比23145大的五位数？ 5) 能组成多少个能被5整除的四位数？ 6) 求所有可能的三位数的总和？

(2) 在1,2,3,4的排列abcd中，满足ab,cb,cd的排列有多少个？

例3 排位问题 4个男生和3个女生站成一排，求：

(1) （有条件的排列问题——“优限法”） 1) 共有多少种不同排法？

2) A,B两人必须站两端的排法数？ 3) A,B不能站两端的排法数？

4) A不站排头，B不站排尾的排法数？ 5) A站排头或排尾的排法数？ 6) 两端不全站女生的排法数？ 7) 两端全不站女生的排法数？

2

(2) 若站成两排，前排3人，后排4人 1) 共有多少种不同的排法？

2) A,B站前排，C,D站后排的排法数？ 3) A,B相邻的排法数？ 4) A,B不相邻的排法数？

(3) （“相邻”，“不相邻”问题——“捆绑法”和“插空法”） 1) A,B相邻的排法数？ 2) A,B,C相邻的排法数？

3) A,B相邻，C,D,E相邻的排法数？ 4) A,B不相邻的排法数？

5) 三名女生互不相邻的排法数？

6) A,B相邻，C,D,E不相邻的排法数？

7) A在B的左边（相邻或不相邻）的排法数？

8) 男生甲不站两端，且恰有两名女生相邻的排法数？ 第三节 组合

1. 组合： .

m2. 组合数： .记作Cn.

(1) 计算公式：

mAnn(n1)(nm1)Cm（乘积式）.Amm(m1)21 mnn!（阶乘式）.m!(nm)!(2) 性质：

nm1m1mnmCmCn.nCC.mnn

Cmn1C+Cnn1m1n.

Cmnm1m1Cn1.n1

例1 组合数公式运用 443(1) 计算：3C832C52；C10C7A3.

3

72(2) 已知3Cxx，求x. 35Ax45n12(3) 已知20Cn，求n. 54(n4)Cn315An3m(4) 已知117，求C8.

mmmC5C610C7m1mm1CCCnnn(5) 已知，求m,n. 23453(6) 已知Cn1Cn334,求n.

3Cn53(7) 解不等式：

6. 1) Cn4Cn2)

112453CnCnCn

例2 组合数性质运用

xx5x5(1) 已知C16，求x的值. C162CxyCx2y(2) 已知，求x,y的值.

y1y13Cx11Cxn4n2n1(3) 已知C21，求n的值. C21C21(4) 证明：

2 1) C22C32C202) CkkCkk1Ckkn

2223) A2 A3A20

例3 抽取问题（注意分步引起的重复计数）

(1) 从20名足球队员中，选出11名参加比赛，并从11人中选出一人担任守门员.有多少种选取方案？

4

(2) 现有20件产品，其中2件次品，从中任选3件检测： 1) 有多少种不同选法？ 2) 恰有一件是次品的选法有多少种？ 3) 至少有一件次品的选法有多少种？

(3) 现有10件产品，其中4件次品，现一件件地进行检测： 1) 次品恰好在第六次全部被检测出来的情况有多少种？ 2) 前六次检测出两个次品的情况有多少种？

(4) 从6双鞋中取出4双，求以下取法各有多少种方法： 1) 4只均不成对； 2) 4只恰有一对； 3) 都是一只脚的.

例4 元素相同分组——“挡板法”

(1) 10本相同的书，分成3堆，每堆至少1本，有多少种分法？ (2) 方程x1x2x310有多少组正整数解？

(3) 10本相同的书，分成3堆，每堆至少2本，有多少种分法？

(4) 将10本相同的书放入四个盒子中，分别放1本、2本、3本、4本，有多少种放法？

例5 不同元素分组或分配（分组后全排列）问题

(1) （分组——防止重复）将6本不同的书，分成3组： 1) 若平均分成3组，有几种不同分法？

2) 若分成1本、2本、3本三组，有几种不同分法？ 3) 若分成1本、1本、4本三组，有几种不同分法？

5

(2) （分配）将6本不同的书分给甲、乙、丙三个人： 1) 甲、乙、丙三人各2本书，有几种不同分法？ 2) 若甲1本、乙2本、丙3本，有几种不同分法？

3) 若分给3人分别1本、2本、3本，有几种不同分法？ 4) 若甲1本、乙1本、丙4本，有几种不同分法？

5) 若分给3人分别1本、1本、4本，有几种不同分法？

例6 几何背景问题

(1) 直线l和直线m上分别有A,B,C,D四个点和a,b,c,d,e五个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有多少个？

(2) 在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形没有公共边的三角形有多少个？

(3) 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形有多少个？

(4) 角AOB，边OA上有A1,A2,A3,A4四个不同的点，边OB上有B1,B2,B3三个不同的点，以这七个点和O点中的三个为顶点，可以确定多少个不同的三角形？ (5) 平面内有10个点，其中仅有4点共线，其余任意3点不共线 1) 以这些点为顶点可构成多少个不同的三角形？ 2) 有这些点可以确定多少条不同的直线？ (6) 正方体八个顶点中：

1) 以其中的的三个为顶点，可以得到多少个不同的四面体？可以得到多少个正四面体？

2) 由其中的两个顶点确定的直线中，有多少对异面直线？

(7) 用正五棱柱的10个顶点中的五个顶点作四棱柱的顶点，共可得到多少个不同的四棱柱？

m(8) （最短路径问题）对mn型方格，最短路径数是Cmn.

例7 综合练习 1. 两类计数原理 (1) 从集合

中任选三个不同的数字，使这三个数字成等比数列，则这样的等比

6

数列有多少个？

(2) 不大于200的正整数中，各个数位上都不含数字5的正整数有多少个？ (3) 从中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？

2. 排列

(1) 若把单词error中的字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 . (2) 由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 . (3) 把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们从小到大排成一个数列.

1) 43251是这个数列的第几项？ 2) 这个数列的第96项是多少？

(4) 从10个不同的歌唱节目中选6个编成一个节目单，如果某著名女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目上，则共有 种不同的排法.

(5) 把0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字组成无重复数字且四个偶数在一起的八位数字有多少种.

(6) 从A,B,C,D,E五人中选派四人分别从事甲、乙、丙、丁四项不同工作，其中A,B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作.则不同选派方案有多少种？

(7) 现安排A,B,C,D,E五人参加志愿者服务，每人从事甲、乙、丙、丁四项工作之一，每项工作至少一人参加，A,B不能从事甲工作，但能参加其他工作，其他人能参加任四项工作.则不同的安排方案有多少种？

(8) 某班新年联欢会原定的五个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？

(9) 6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法共有多少种？

(10) 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种排课方法？

7

3. 组合

(1) 电影院一排有7把椅子，4个人去做，要求三个空位不相邻，则共有多少种不同坐法？

(2) 在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中，任取3个奇数和2个偶数排成一个五位数，有多少个？

(3) 甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房周一至周六的值班工作，每天一人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排除不同的值班表有多少种？ (4) 现将甲、乙、丙、丁4人全部安排到A、B、C三个工作岗位上，要求每个工作岗位都有人，并且甲不能在A岗位，则有多少种不同的安排方法？

(5) 已知集合{1,2}M{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合M有多少个？

(6) 马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常照明，可把其中的三只关掉，要求关掉的灯不相邻且不是两端的灯，则关灯的方法有多少种？

(7) 从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有多少个？

点评：

 分类、分步计数原理是根本；

 注意各基本模型的特点，准确联想；  向基本模型上转化，注意细微差别；  注重一题多解，发散思维； 第四节 二项式定理

例1 特殊项讨论（把握“通项”是关键）

1n3(1) 已知(x2的展开式中第三项的二项式系数为66，求展开式中含x的系数. )3x

1n(2) 若(x)的展开式中前三项的系数成等差数列，求： 42x1) 展开式中x的系数； 2) 展开式中的有理项； 3) 展开式中第三项的系数；

8

4) 展开式的常数项是什么，是第几项.

例2 “多项式”展开式和多个二项式展开式的特殊项讨论（多项式“乘法”的过程） (1) 在(1x)3(1x)3(13x)3的展开式中，x的系数是多少？ (2) 在(x23x2)5的展开式中，x和x项的系数分别是多少？ (3) 在(1x3)(1x)10的展开式中，x的系数是多少？ (4) 在(12x)3(13x)5的展开式中，x的系数是多少？

2(5) 在(1x)(1)的展开式中，x的系数是多少？

9251x10

例3 特值法（常取x1,1,0时的特殊值）

(1) (23x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值： 1) a0；

2) a1a2a3a100；

3) (a0a2a100)2(a1a3a99)2； 4) a1a2a3a100.

(2) 设f(x)a0a1xa2x2anxn，按x的升幂排列，奇数项的系数和为S奇，偶数次项的系数和为S偶，则

f(1)f(1)；

2f(1)f(1)2) S偶a1a3a5.

2

例4 最大系数问题（大于或等于前后两项） (1) 在(12x)10的展开式中， 1) 求系数最大的项；

1) S奇a2a4a6

9

2) 若x2.5，则第几项值最大.

例5 二项式定理化简求值（结合组合数性质）

12n(1) 化简：12Cn 4Cn2nCn123n(2) 化简：Cn； 3Cn32Cn3n1Cn123n(3) 求证：Cn2Cn3CnnCnn2n1；

111210n(4) 化简：Cn； CnCnCn23n1021222n2n(5) 求证：(Cn)(Cn)(Cn)(Cn； )C2n

例6 整除（注意对n1时单独讨论）

(1) 求证：(n1)n1能被n整除； (2) 求证：99101能被1000整除； (3) 求证：55559能被8整除； (4) 求9192被100除所得的余数；

(5) 求证：33n26n1能被676整除； (6) 求证：328n9能被整除； 2n1n2(7) 求证：xnax(n1)a能被(xa)整除.

2n2 10