高三数学复习专题——对数与对数函数

一．要点精讲

1、对数的概念：如果abNa(a0,且a1)，那么logaNb。 ⑴基本性质：

①真数N为正数（负数和零无对数）； ②loga10；

logN③logaa1； ④对数恒等式：aaN。

⑵运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则 ①loga(MN)logaMlogaN；②loga⑶换底公式：logaNM③logaMnnlogaM(nR）。 logaMlogaN；

NlogmN(a0,a0,m0,m1,N0),

logman常用结论：①logablogba1； ②logambnlogab。

m3.两种重要对数

⑴常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记作lgN. ⑵自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数叫自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN. 2、对数函数：

1）叫做对数函数，其中x是自变量. ⑴对数函数的定义: 函数ylogax（a＞0，a≠⑵对数函数图象和性质 函数 底数 图象 ylogaxa0,a1 a1 0a1 定义域 值域 共点性 函数值 特点 单调性

二、课前热身

（0，+∞） R 过点（1，0），即x=1时，y=0 x0,1时，y,0； x1,时，y0, 增函数 x0,1时，y0,； x1,时，y,0 减函数 x12e,x＜2，则f(f(2))的值为（ ） 1、设f(x)2log3(x1)，x2.A．0 B．1 C．2 D．3 解：f(2)log3(221)1，f(f(2))2e112。

22.（09全国Ⅱ文）设alge,b(lge),clge,则

（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 解：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=

1lge, 作商比较知c>b,选B。 2D.y=zx

3、若logx7y=z，则x、y、z之间满足(解析：由logx7y=zxz=7yx7z=y，即y=x7z.) A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz 4、（11江西理）若f(x)

1log1(2x1)2，则f(x)定义域为

111,0) B.(,0] C. (,) D.(0,) 22212x101x由log(2x1)0解得，故x0，选A 212x02A. (5、函数fxlog2x的图象是

）1的解x= ， 6、方程log（32x1（log25log40.2）（log52log250.5）7、计算= 五、典例解析 考点一：对数运算

21．计算：⑴(lg2)lg2lg50lg25 ⑵ (log32log92)(log43log83)；

1

lg5lg8000(lg23)2⑶ ； ⑷log11lg600lg0.036lg0.12222(642642).=4

⑶分子=lg5(33lg2)3(lg2)3lg53lg2(lg5lg2)3；

分母=(lg62)lg考点二：对数方程

36163lg62lg4；原式=。 10001010042．（06辽宁）方程log2(x1)2log2(x1)的解为 。 解：原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x1)2，

2x10即x14，得x5。且有x1。从而结果为5。

x102考点三：对数函数的概念与性质 3、函数ylog2x2的定义域是（ ）

A．(3,) B．[3,) C．(4,) D．[4,) 4、若0＜xA.loga(xy)＜0 B.0＜loga(xy)＜1 C.1＜loga(xy)＜2

5、已知log1blog1alog1c，则

A. 222 B. 222 C. 222

2 D. loga(xy)＞2

b2a22cabccbaD. 222

cba6、（11天津理）设alog54，blog53，clog45，则（ ）．

Ａ．acb Ｂ．bca Ｃ．abc Ｄ．bac 解：因为clog45clog441，0alog541，0alog531，

所以blog53log53log54log54a，所以bac，故选Ｄ． 7. （09北京理）为了得到函数ylg2x3的图像，只需把函数ylgx的图像上所有的点 （ ） 10 A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解：本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查，化简后可看出应选C. 8.（09全国Ⅱ理）设alog3,blog23,clog32，则

A. abc

B. acb

C. bac

D. bca

解：

log32log22log23bc

log23log22log33log3ababc .故选A. 9、求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝. 显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.

又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜

的图象如上图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.

评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.

f(x)，且当10（09江西文）已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2）x[0,2)时，f(x)log2(x1），则f(2008)f(2009)的值为

A．2 B．1 C．1 D．2

12解：f(2008)f(2009)f(0)f(1)log2log21,故选C.

21x,x111（11辽宁理）设函数f(x)，则满足f(x)2的x的取值范围是 D

1logx,x12A．[1，2]

B．[0，2]

C．[1，+]

D．[0，+]

log2x,x012（11天津理）；设函数fxlogx,x0若fafa，则实数a的取值范围是（ ）．

12Ａ．1,00,1 Ｂ．,11, Ｃ．1,01, Ｄ．,10,1

解: 若a0，则log2alog1a，即2log2a0，所以a1，

2若a0则log1alog2a，即2log2a0，所以0a1，1a0。

2所以实数a的取值范围是a1或1a0，即a1,013．已知函数f(x)loga(axx)(a0,a1为常数）

1,．故选C

（1）求函数f(x)的定义域； ⑵若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。 （3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。

考点四：对数函数与二次函数的复合问题

14．设x1，y1，且2logxy2logyx30，求Tx4y的最小值。

解：令 tlogxy， ∵x1，y1，∴t0。 由2logxy2logyx30得2t22230，∴2t23t20， t111 ∴(2t1)(t2)0，∵t0，∴t，即logxy，∴yx2，

222222 ∴Tx4yx4x(x2)4， ∵x1，∴当x2时，Tmin4。

点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。

考点五：指数函数、对数函数综合问题 15、已知函数f(x)logaxb(a0,b0且a1)。 xb⑴求f(x)的定义域； ⑵讨论f(x)的奇偶性； ⑶判断f(x)的单调性并证明。

16、已知函数f(x)loga(ax1)(a0且a1) ⑴证明：函数f(x)的图象在y轴的一侧；

⑵设Ax1,y1,Bx2,y2x1x2是f(x)的图象上两点,证明直线AB的斜率大于0；

六、考点演练：

1、已知a0,且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是 B 2、函数ylog1x的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b-a的最小值是

2A、3 B、

33 C、2 D、 423、设函数f(x)logax(a0且a1)，若f(x1x2x2009)8，则f(x1)f(x2)f(x2009)的值等于

A、4 B、8 C、16 D、2loga8

4、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时，f(x)21，则

x222f(log16)的值等于 （ ）

2A．－5 B．－6 C． D． 5、若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于

5612122 B. C. 4246、函数f(x)=log1(3－2x－x2）的单调递增区间是

A.

2D.

1 27、方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.

解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0. ∴x=－5或x=2. ∵x＞0，∴x=2. 8、已知log23a,log37b,求log4256

9、设函数yf(x)且lg(lgy)lg(3x)lg(3x). ⑴求f(x)的表达式及定义域；⑵求f(x)的值域.

10、已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围. 解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，

又t=3－ax在［0，2］上应有t＞0， ∴3－2a＞0.∴a＜11、求函数y=2lg(x－2)－lg(x－3)的最小值.

33.故1＜a＜. 22(x2)2解：定义域为x＞3，原函数为y＝lg.

x31(x2)2x24x4(x3)22(x3)1又∵＝＝＝（x－3）＋＋2≥4，∴当x＝4时，ymin＝lg4.

x3x3x3x3