材料力学简明教程(景荣春)课后答案第五章

第 5 章 弯曲应力

5-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?

答 不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。

思考题

5-2 矩形截面简支梁承受均布载荷 q 作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原 来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？

答 若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的 4 倍；

若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的 1/2 倍。

5-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。设钢木之间胶合牢固不会错动，

已知弹性模量 E s E w ，则该梁沿高度方向正应力分布为图 a，b，c，d 中哪一种。

答 (b)

思考题 5-3 图

5-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图 a 中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）， 图 b 中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式 更合理？

答 (a)

思考题 5-4 图

W

5-5 从弯曲正应力强度考虑，对不同形状的截面，可以用比值 理性和经济性。比值 请从 来衡量截面形状的合

W 较大，则截面的形状就较经济合理。图示 3 种截面的高度均为 h ， W 的角度考虑哪种截面形状更经济合理？

57

答 (c)

思考题 5-5 图

5-6 受力相同的梁，其横截面可能有图示 4 种形式。若各图中阴影部分面积相同，中空 部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？

答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）

思考题 5-6 图

FSS z* 5-7 弯曲切应力公式的右段各项数值如何确定？

I zb 答 FS 为整个横截面上剪力； I z 为整个横截面对中性轴的惯性矩； b 为所求切应力所

5-8 非对称的薄壁截面梁承受横向力作用时，怎样保证只产生弯曲而不发生扭转变形？ 答使梁承受的横向力过弯曲中心，并与形心主惯性轴平行。

在位置横截面的宽度； S z 为横截面上距中性轴为 y（所求切应力所在位置）的横线以下面 积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。

*

58

习 题

5-1 钢丝的弹性模量 E 200 GPa 。比例极限 p 200 MPa ，将钢丝绕在直径为 2 m 的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多 大？

解 由卷筒直径得钢丝曲率半径  1 m

2p 2 1 200106dE 20010 9

d max 2 mm

d y Ed  2

3

 210 m 2 mm

d 2 3

面积相等，且 = 。试计算它们的最大正应力之比。

D2 5

M max M max M max 解  1max， 2 max3 W1 W2

πD1 πD23 32 32 4

πD2 d 2 

1

32  D2

πD13 32

3 得 5

5-2 两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面

 1max  2 max

M max 4  d 2 1 D2

（a）

由 A1 A2 ， d 2 D2πD12 π

D2 d 2 4 4

 2  4  5

59

2

 d 22 2 2 2

D1 D2 d 2 D21 D2 D2

D1

4

5

D2

代入式（a）得

 1max D 2 d 22 17

10  2 max D1 D2

5-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求 轴内的最大正应力。

(a）

解 M A 0 ， FB 7. kN

 Fy 0 ， FA 3.36 kN(b)

 63.4 MPa

作弯矩图（b），危险截面分别为 C，B，且

M C 1 344 N m ， M B 900 N m  C

321344 M C 32M C 3

π 60 310 -9 πD WC M B

WB

32M B 3 4

πD 1

32 900

 62.0 MPa 4

 45-9

π 603101 60

故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为 63.4 MPa 。

5-4 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。求截面 m-m 和固定端截 面 n-n 上 A，B，C，D 四点处的正应力。

解 对截面 m-m 及 n-n，都给以坐标系如图所示。于是有

y A y D0.150 m ； y B 0.100 m, yC 0

截面 m-m 及截面 n-n 的弯矩分别是

M m 20 kN m ；

横截面对轴 z 的惯性矩

M n 20 15 325 kN m

60

I z

1 16

bh 3 0.180 0.3003 405 10 m 4 12 12

各点的正应力分别是

20103 (0.150) 6

 mA mD7.4110 N/m7.41MPa

405106 0.100 yB (7.41) 4.94 MPa  mB mA  0.150 yA mC  0

M D y A

 nA nD 

I z

6

(2510 ) (0.150)

405106

3

 nB

 9.2610 N/m 3 9.26 MPa

0.100 y

 9.266.18 MPa ， nC 0  B nA

y A

 0.150 5-5 一外径为 250 mm ，壁厚为10 mm ，长度 l 12 m 的铸铁水管，两端搁在支座上， 管 中 充 满 水 ， 如 图 (a) 所 示 。 铸 铁 的 密 度

3

3

q l 解 将实际受力水管简化成受均布载荷的简支梁，如图(b)所示。其中荷载集度 q，为单 位长度水管自重与单位长度水柱重量的和，即

(a)

(b)

q

[D 2 (D 2 ) 21g( D 2 ) 2 2 g ] 4 4 π 2

= [0.2502 (0.250 2 0.010) ] 7.70 9.8103 4

π  (0.250 2 0.010) 2 9.810 3 0.976 kN/m 均布荷载简支梁的危险截面在跨中，最大弯矩

1 1

M max ql 2 0.97612 2 17.6 kN m

8 8

水管的弯曲截面系数

π π 4 D 2 4

D 3[1 (  0.253 [1 ( 0.23 4Wz) ] = ) ] = 4.3510 m 3 32 32 0.25 D 17.6 10 3 M max  max= 40.4 MPa

4.35104 Wz

最大拉压正应力

5-6 由两根 28a 号槽钢组成的简支梁受 3 个集中力作用，如图(a)所示。已知该梁材料 为 Q235 钢，其许用弯曲正应力[ ]=170 MPa。求梁的许可载荷 F。

61

A F

F F E 3F / 2

B C D (a)

3F / 2 (b)

解 由已知结构载荷对称，得图(b)。

M B3 3 F 4 F 2 4F F 2 3F ， M C2 2

M max 4F

M max W

4F

2 340.328 10

 170 10 6 6

P

当在钢条一端用力 F提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离 a 及钢条内的最大正应力。

5-7 一重量为 P 的均质钢条，长度为 l，截面宽为 b，厚为 t，放置在刚性平面上如图。

3

F 28.910 N 28.9 kN

1 PP qa 2 0 ， F， q解（1） M C 0 , Fa2 l

Pa 1 P 2 2 即 a 0 ， a l 3 2 l 3

1 P P 2 （2） Mx Fxqx 2xx 2 3 2l P P 2 Mx 0 ， x 0 ， x3 l 3

 lP l 1 P l

M 3 3 3 2 l 32

Pl 18

 lPl M 318

 max2

W bt 6

Pl 36t 2

5-8 型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力

 40 MPa ， 压 缩 许 用 应 力 160 MPa ， 截 面 对 形 心 轴 z 的 惯 性 矩 t c C

I zC 10 180 cm 4 ， h1 =9. cm，求该梁的许可载荷 F。

62

(a)

(b)

解 M

A 0.8F

 cFI zC

 c 1018010816010 6  At

M A h1 0.8Fh1

I

z IzC  t FI z 10

C

8  t 10180  4010 6

0.8h1 0.8 96.4103 M C h2 0.6Fh2 Ct

I IC

 t FI

zC

 t 10180108 4010 6 0.6h2 0.8153.6103

比较以上结果得

F 44.3 kN 5-9 一铸铁梁如图 a 所示。已知材料的拉伸强度极限 b =150 MPa，压缩强度极限 bc =630 MPa。求梁的安全因数。

8

A C B x D 12 M / kN m (a)

解 弯矩图(b)。

(b)

求横截面形心主惯性轴 Oz 的位置，以下底边为参考轴有

b160 200100 140160120 160 200 160140

= 53.2 mm

横截面对轴 z 的惯性矩

I z1 12 1 160 2003 160 200 (100 53.2)2 14012 1603

63

 52.8 kN

 44.3 kN



75

 140 160 ( 80 13.2) 2 = 2.9010 mm4 2.9010 m 4

（1）求可能危险截面 C 所需的安全因数 截面 C 在正弯矩

nC 。

y c max y t max M C 12 kN m 作用下，上部受压，下部受拉，其中 200 53.2

53.2

 2.76

 b c 630

 4.20 2.76  b 150

所以，截面 C 将由于拉应力先达到强度极限间破坏。因此强度条件是

 C t max

M C y t max I z

I z ( b ) t nCM C y t max ( b ) t n C

2.9010515010 6 12103 0.0532  t

 6.82

（2）求可能危险截面 B，所需的安全系数 n B 。

截面 B 在负弯矩作用下，横截面上部受拉，下部受压，易知此截面因上部边缘最大拉 应力先达到材料强度极限而破坏。因此，强度条件是

 B ,t,max

所以

M B y B , t, max I z

 t( b ) t n B

150 106 2.90 105

( b t) I z

 3.70 nB8 103 0.147 M B y B,t,max nC ，得此梁的安全系数为 n 3.70 。

图 (a) 所 示 梁 的 截 面 由 两 个 槽 钢 组 成 ， 跨 度 为 l 3 m ， 承 受 集 中 力 偶

比较 n B 和

5-10 的型号。

M 7.5 kN m ，均布载荷 q 5 kN/m 。若已知许用应力 [ ] 120 MPa ，试选择槽钢

解 M A 0 , FB 10 kN

； (b)

(a)

 Fy 0 ， FA 5 kN



FS FA qx 0 ， x 1 m

1 M max M1 M FA1 q12 7.5 5 2.5 10 kN m 2

作弯矩图如图（b）所示。

M max 10 kN m

M max 2W

WM max 2

10103 212010

6  41.6710 m 3 41.67 cm 3

6

若选 10 号槽钢，W10 39.7 cm 3

M max 10103

 125.9 MPa 2W10 2 39.7106



100% 4.9% 5%

120

误差在工程允许范围内，故可选 10 号槽钢。

5-11 图示结构中 FB 为圆杆，直径 d 30 mm ，梁 AE 为 T 字形截面，尺寸如图，C 为形心，截面惯性矩 I z 7.4610 m 4 。材料的许用拉应力 [ t ] 40 MPa ，许用压应力

[ c ] 60 MPa 。试校核该结构的强度。

解 M B 0 , FA 3 kN

；

(a)

 Fy 0 ， FB 11 kN M D FA1 3 kN m ， M B414 kN m

作弯矩图（b）。 截面 D

 t截面 B

M D  881033103 88103

 35.4 MPa t7.46106 I z

M B  521033103 52103

 27.9 MPa t7.46106 I z

4103 88103 M B  88103 47.2 MPa c c7.46106 I z  t结构强度满足。

5-12

一 矩 形 截 面 简 支 梁 由 圆 柱 形 木 料 锯 成 。 已 知 F 5 kN ， a 1.5 m ，

[ ] 10 MPa 。试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比 h b

，以及梁所需木料的最

小直径 d 。

65

1 1 b bh 2b( d 2 b 2 )(d 2 b 2 ) 6 6 6

2

d Wz  0 ，有 d b 2

 0 将W z 对 b 求导，并令 d b 6 2

3

因此当， bd 时，弯曲截面系数取得极大值。

3 Wz截面的高 解 由圆木锯成的矩形截面的弯曲截面系数

h d 2 b 2 d 2 d 2

截面的高宽比

1 3

6 d 3

6d / 3  2 3d / 3 3

当 bd 时，求得

3 b 1 3 1 3 3

d (d 2 d 2 )Wz,max(d 2 b 2 )d

6 6 3 3 27

M max Fa

由题知梁 AB 的 CD 段处于纯弯曲状态，其 由弯曲正应力的强度条件，有

 max

d 3

M max Wz ,max

27Fa 3d 3

9 3Fa 9 3 510 31.5



 0.227 m 227 mm

由此可见，所需木材的最小直径为 227 mm。

5-13 当载荷 F 直接作用在跨长为 l =6 m 的简支梁 AB 之中点时，梁内最大正应力超过 许可值 30%。为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁 CD，求辅助梁的最小跨长 a 。

解 未配辅助梁时，梁 AB 的危险截面在跨中点，其最大弯矩

M 1

梁上的最大正应力

Fl 4

66

F ，梁 当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁 AB 在 C，D 处分别承受集中荷载 AB 的 CD 段是处于纯弯曲状态，最大弯矩

M 1  1Wz 

Fl / 4 Wz

M 2对应的最大正应力

F 1 F (l u)(l a) 2 2 M 2 F (l a) / 4 Wz Wz

 100% 30%

据题意有 2，及

将 1 , 2 的值代入，得

Fl / 4 F (l a) / 4 

Wz Wz

 0.3

F (l a) / 4

Wz

0.3 l 0.231l 0.231 6 1.39 m 1.3 整理得

a

(a)

因此，辅助梁应有的最小跨长为：1.39 m 。

5-14

图(a)所示 No.30a 工字梁承受均布载荷作用，跨度 l 6 m 。已知许用应力

[ ] 140 MPa 。为提高梁的承载能力，试确定外伸臂 a 的合理长度及相应的许可载荷。

1 qa 2 2

D A C B E 1 ql 2 8

(b)

解 用叠加法作弯矩图(b)。 根据题意应有

M C M A M B

将弯矩值代入上式得

1 1 1 ql 2qa 2qa 2 8 2 2

求得

a

2 2

l 6 2.12 m 4 4

梁的最大弯曲正应力表达式是

67

其中

M A  maxWz qa 2 2Wz

6 3

Wz 402 10 m , max 140 MPa

于是，得许可载荷集度

2 40210614010 6

2Wz max q2.12 2 a 2

 25 000 N/m 25 kN/m

5-15 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用，其横截面尺寸为 b, h, 长度为 l 。

（1）试证明在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素 dA 的合力等于该截面上的剪 力，而法向内力元素 dA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。

（2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力 沿梁长 度的变化规律如何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？

解 （1）假定切应力  沿横截面宽度均匀分布，所以整个横截面切应力 的合力沿对称 轴 y。

矩形截面切应力沿高度分布为

FS b FS S z*  (h 2 4 y 2 )bI z 8 bI z

整个横截面的切应力构成的合力为

h

3FS (h 2 4 y 2 ) 2bh 3  d A 2b

A

02

 d y

3FS 2bh 3

qx根据静力平衡有

A

0

h 2

我们知道 x 横截面上的剪力等于 qx。所以 d A 的合力等于该截面上剪力。

正应力沿横截面高度分布为

My 。整个截面的 d A对中性轴的矩是

A y d AI z I z M

2

M I z I z

qx根据静力平衡 2Ay d A M Ay d A1 2

于是证得法向内力元素 d A 的合力偶之矩等于该截面的弯矩。

（2）对此悬臂梁任意 x 截面的剪力

M

FS ( x) qx 。

矩形截面的中性层处的横向剪应力

68

3FS 3qx  。 2bh 2bh

根据切应力互等定律，得截开面上切应力 沿梁长度的变化规律为

3qx 2bh

其总的水平剪力

3qx 3ql 2

d xA 0

0 2h 4h x 方向的合力来平衡。 水平剪力 FS由根部横截面下半部的正应力 组成的

FS

l l

5-16

一桥式起重机梁跨 l 10.5 m ，横截面为 36a 工字钢。已知梁的许用应力

[ ] 140 MPa ，电葫芦自重 12 kN，当起吊重量为 50 kN 时，梁的强度不够。为满足正应

力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。求加固钢板的最小长度 l0 。

(a)

解（1）不计梁重时，梁的受力如图（b）

(b)

P12 50 kN FAP l x ， M C FA x Plx x 2l l



查型钢表

M C

WC lWC

WC 875 10 m

6 3

10.5x x 2 10.514010 6 8751066210 3 20.75 x 2 10.5x 20.75 0

lx x 2 lWC P x1 2.59 m ， x2 7.91 m l0 x2 x1 5.22 m

（2）校核加固部分强度

 l Pl

M max M 6210 310.5 4 162.75 kN m

 2 4

69

 bh 3 I I z z1 2 A a 2 12

4 3124

 1.5810  21001610 12 10016188 21012 2.7110 m 4

M max 162.7510 3180 16103  118 MPa，安全。 I z 2.71104

5-17 简支梁由 4 块相同的木板胶合而成，尺寸如图。已知 F 3 kN ，木材的许用正 应力 [ ] 7 MPa ，胶合面的许用切应力 [ ] 3 MPa 。试校核该梁的强度。

(a)

0 . 3 解 M A 0 , FBF 1.8 kN ， FS max 1.8 kN 0.5

(b)

M max M C FB 0.2 0.36 kN m

0.36103 6 M max  6.75 MPa max50 80 2109 W

31.8103 3FS max

 0.675 MPa max 

2 A 2 50 80106 故强度满足。

5-18 由 4 块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图 a。若已知某截面上沿铅

垂方向的剪力

解 I z1 12 127 229 5 S zA* (  12.5) 25 1.460 10 mm 3

2 2

FS 3.56 kN ，求粘接接缝 A，B 两处的切应力。

(a) (b) (c)



8

70

 A

FQ S zA*

3.56 10 3 1.46 109 25 1.354 107

5

 0.154 MPa

I z

S zB* 76 25114.5 2.17610 mm 3

*

FS S zA S *

I z S zA

横截面上切应力流走向如图 c。

5-19 支承楼板的木梁可视为如图(b)所示简支梁，跨度为 l 6 m ，两木梁间的距离

a 1 m ，楼板承受均布载荷 p 3.5 kN/m 2 。若木梁截面为矩形，宽高比为

2 3

，许用

正应力 [ ] 10 MPa ，许用切应力 [ ] 3 MPa ，试设计木梁的横截面尺寸。

（a）

（b）

木梁受力图(b)，其中 q pa -23解

ql FApal q( ) 2

M max2 FA2 

l 1 l 1

pal 2

2 2 2 8

 [ ]

pal 2

9 pal 2 M

W 2 8h3

h h2 m3

a9 pal 6

1

x 2 h 3 3

8[ ]

取 h = 242 mm

9 3.51031 62

810106

 0.242 m= 242 mm

b

2 h 161 mm 3

M e 40 kN m ， q 20 kN/m 。

材料的许用弯曲正应力 [ ] 170 MPa ，许用切应力 [ ] 100 MPa 。试选择工字钢的型号。

F S / k N 5-20 工字钢截面外伸梁 AC 承受载荷如图所示，

40

解 支座约束力

A D D B B

C x

A C

x

FB

 M A 0

20 21 40  0

3

M / kN m

40

71

 Fy 0 ， FA 40 kN

绘剪力图，弯矩图如右图所示。

FS max 40 kN ， M max 40 kN m  maxW zM max W z 4 M max 40 10 3

 2.35 10 m 3

170 10 6

20a 号工字钢的弯曲截面系数

Wz 2.3710 m 3 2.3510 m 3 ，满足正应力强度条件。

进而校核它是否满足切应力强度条件，其

44

 max

I z / S z* 0.172 m, d 1.1410 m 。

40 103 6

FS max  20.4 10 N/m 2 20.4 MPa 100 MPa * 2

0.172 1.14 10 I z / S z d

2

满足切应力强度条件。

72