圆锥曲线定点问题探究有趣的“母子圆锥曲线”

一、母子抛物线及其性质的探求过程： 第一步：一个经典的例题

例1：已知抛物线C:y2x，O是坐标原点，作射线OA、OB交抛物线C于两点A、B．求证：直线AB过定点．

证明：如图1,显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，联立y2x得：

y2ym0，显然m0，24m0，

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1y2，

yAy1y2m，又OAOB，∴OAOB0，

O即x1x2+y1y20，又yx1，yx2， ∴(y1y2)2y1y20，∴m2m0，

2122xB解得m0，或m1．

当m0时, 直线AB的方程为xy,直线AB过定点(0,0),不符合题意． 当m1时,直线AB的方程为xy1，显然直线AB过定点(1,0) ． 综上, 直线AB过定点(1,0)． 第二步：经典例题中的直角顶点换个位置

例2：已知抛物线C:y2x，M(1,1)是C上的一个定点，作射线MA、MB交抛物线C于

图1A、B，MAMB．求证：直线AB过定点．

证明：如图2,显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，联立y2x得：

y2ym0，显然m0，24m0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1y2，

y1y2m，又MAMB，∴MAMB0，

即(x11)(x21)+(y11)(y21)0， 即x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10，

2x2， 又y12x1，y2yM(1,1)AOx∴ (y1y2)(y1+y2)3y1y2(y1+y2)20，

221，或∴m3m20，解得m22B图2m2．

1

当m1时,xy1,即(x1)(y1)0,即直线AB过定点(1,1),不符合题意． 当m2时,xy2,即(x2)(y1)0,即直线AB过定点(2,1)． 综上, 直线AB过定点(2,1)．

第三步：例2中M(1,1)再改为其关于x轴的对称点M1(1,1)

例3：已知抛物线C:y2x，M1(1,1)是C上的一个定点，作射线M1A、M1B交抛物线C于

A、B，M1AM1B．求直线AB所过定点．

解：根据抛物线的对称性，不难猜想直线AB所过定点与例2中所过定点关于x轴对称,即为(2,1)．求解过程略．

第四步： 提出一个问题，并对问题的答案作出猜想

当M点在抛物线上运动时，直线AB所过的定点Q也在运动，那么点Q的轨迹是什么呢？如何求出轨迹方程呢？

我们首先猜想Q的轨迹是抛物线，我们已经得到Q1(1,0)、Q2(2,1)、Q3(2,1)，于是进一步猜想Q的轨迹是以Q1(1,0)为顶点，开口向右的抛物线，于是我们设轨迹方程为

y2a(x1)，把Q2(2,1)代入可以求得a1，于是得到猜想的轨迹方程为y2x1．

第五步：给出第四步中猜想的详细证明

注意:证明中涉及参数非常多，因此变换过程要参照例2中的思路方法，变换过程中分解因式比较复杂，注意按照某个字母的降幂排列．

例4：设抛物线C:y2x上一定点为M(t2,t)，作射线MA、MB交抛物线C于A、B，

MAMB．求直线AB所过定点Q的坐标,并求出Q的轨迹方程． 解:显然直线AB斜率不是0，设直线AB的方程为xym，

联立y2x得：y2ym0，显然m0，24m0， 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1y2，y1y2m，

2(y1y2)22(y1y2)22m,x1x2(y1y2)2m2, 于是x1x2y12y2又MAMB，∴MAMB0， 即(x1t2)(x2t2)+(y1t)(y2t)0，

即x1x2t2(x1x2)t4y1y2t(y1y2)t20， 即m2t2(22m)t4mtt20

2

∴m2(2t21)mt22tt4t20， ∴m2(2t21)m(t)(t2t3t)0， ∴[m(tt2)][m(tt21)]0，

22解得mtt，或mtt1．

当mtt时,xytt2,即(xt2)(yt)0, 即直线AB过定点M(t2,t),不符合题意．

2当mtt1时,xytt21,即(xt21)(yt)0,

2即直线AB过定点Q(t21,t)．

xt21,设Q(x,y),则消去t得y2x1．

yt,即Q的轨迹方程为y2x1． 第六步：母子抛物线性质及其逆命题 1、母子抛物线及其性质:

如图3,在抛物线C:y2x上取点M(t2,t)，作射线MA、MB交抛物线C于A、B，则直线AB过的定点为Q(t21,t)．Q(t21,t)的轨迹方程为C:y2x1．我MAMB．

们把C:y2x与C:y2x1称为一对母子抛物线． 2、母子抛物线性质的逆命题:

在子抛物线C:y2x1上任取Q(t21,t),过Q(t21,t)作母抛物线C:y2x的弦

AB,那么在母抛物线C:y2x上一

定存在异于A、B一点M(t2,t),且点

M满足MAMB,在实际命题中经

常叙述为MAMB0,或者联系圆的性质, 叙述为“以弦AB为直径的圆过

定点”．

我们不难论证母子抛物线的性质的逆命题也是真命题，限于篇幅，在此从略．

二、母子椭圆

3

我们用研究母子抛物线类似的方法研究母子椭圆． 1、求特殊点:

x22M(0,1)是C的一个顶点，例5、已知椭圆C:y1，作射线MA、MB交椭圆C于A、B，

2MAMB．求直线AB所过定点的坐标．

解：显然直线AB有斜率，设直线AB的方程为ykxm，

x2y21得：(2k21)x24kmx2m220， 联立2当0时，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

4km2m22,x1x2, 则x1x222k12k21又MAMB，∴MAMB0， 即x1x2+(y1-1)(y2-1)0，

x1x2y1y2(y1y2)10，

又ykx1m，ykx2m，

∴(k21)x1x2k(m1)(x1x2)m22m10，

4km2m22,x1x2把x1x22代入上式得： 2k12k212m224km2(k1)2k(m1)2m22m10，注意到m1显然不合题意，

2k12k12(m1)4kmk(m1)0， 于是上式化为：(k21)2k212k211整理得3m10，∴m．

311即直线AB的方程为ykx，显然直线AB过定点Q1(0,)．

33把M的坐标改为顶点(2,0)，类似可以求得直线AB过定点Q2(2,0)． 3把M的坐标改为顶点(0,1)，类似可以求得直线AB过定点Q3(0,)． 把M的坐标改为顶点(2,0)，类似可以求得直线AB过定点Q4(2、猜想:

132,0)． 3221x21,0),,Q3(0,)Q4(,0)可以猜想,当M在椭圆C:y21上运动时,由Q1(0,),Q2(23333

4

x2y21，即相应Q的轨迹为以Q1、Q2、Q3、Q4为四个顶点的椭圆，其轨迹方程为C:21999C:x29y21．

23、检验:

x22一般的证明过程比较复杂,我们在此仅仅把M改为椭圆C:y1上的非顶点来进行

2检验．

2x22)是椭圆C上的一个定点，作射线MA、MB交椭例6、已知椭圆C:y1， M(1,22圆C于A、B，MAMB．求直线AB所过定点坐标．

解：如图4,显然直线AB有斜率，设直线AB的方程为ykxm，

x2y21得：(2k21)x24kmx2m220， 联立2当0时，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

yM(1,BOxA22)4km2m2,x1x2, 则x1x222k12k21又MAMB，∴MAMB0， 即(x11)(x21)+(y1-222)(y2-)0，

22图4 又ykx1m，ykx2m，

2∴(k1)x1x2(km123k)(x1x2)m22m0， 224km2m22122,x1x2k4km3m2m0， 把x1x22代入上式化简得2k12k212 解关于k的方程得：km22，或k3m． 222222x0,y)xm即(yx)m(x1)0,由此得当km时, y(m2222x10,22,y解得, 2即直线AB过定点(1,),不符合题意．

2x1, 5

当k3m222)xm即(yx)m(3x1)0, 时, y(3m2222x0,y由此得解得, 23x10,132y,6即直线AB过定点(1,2)． 36x1,32)． 6综上, 直线AB过定点Q5(,把 Q5(,132129)的坐标代入C:x29y21,左右两边相等,可以知道Q5(,)在63629C:x29y21上．

24、结论:

x22在椭圆C:y1上取定点M，作射线MA、MB交椭圆C于A、B，则MAMB．

2x22直线AB过的定点为Q．当M在C:y1上运动时，得到相应Q的轨迹方程为

2x29292C:x9y1．我们把C:y21与C:x29y21称为一对母子椭圆．

222显然,这个性质的逆命题也是真命题． 三、母子双曲线

1、双曲线的情况比较复杂，对于等轴双曲线满足类似条件的直线AB是一组平行线，不再过定点：

例7、已知等轴双曲线C:x2y21，M(1,0)是等轴双曲线C的一个顶点，作射线MA、MB交椭圆C于A、B，MAMB．证明直线AB平行于x轴．

证明：如图5,可以计算，当直线AB没有斜率时，AMB90，当直线AB有斜率时，设直线AB的方程为ykxm，

联立x2y21得：(1k2)x22kmxm210，

2当1k0，0时，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

2kmm21,x1x22, 则x1x22k1k1又MAMB，∴MAMB0， 即(x11)(x21)+y1y20， 又ykx1m，ykx2m，

6

yABx0M(1,0)∴(k21)x1x2(km1)(x1x2)m210，

2kmm1,x1x22,代入上式化简得把x1x22k1k12k2km0，

解关于k的方程得：k0，或km．

当k0时, 直线AB的方程为ym(m0),直线AB平行于x轴．

图5当km时,直线AB的方程为ymxm，显然直线AB过定点(1,0)，不合题意． 综上, AB平行于x轴．

换个异于顶点的点M，可以证明相应AB也是一组平行线． 2、非等轴双曲线

y21，M(1,0)是双曲线C的一个顶点，作射线MA、MB交椭 例8：已知双曲线C:x2圆C于A、B，MAMB．试探求直线AB是否过定点． 解：如图6, 当直线AB没有斜率时，AMB90，当y2直线AB有斜率时，设直线AB的方程为ykxm，联

B2立xy1得：(2k2)x22kmxm220， 222A0M(1,0)x当2k0，0时，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

2kmm22,x1x22, 则x1x22k2k2又MAMB，∴MAMB0， 即(x11)(x21)+y1y20， 又ykx1m，ykx2m，

∴(k21)x1x2(km1)(x1x2)m210，

图62kmm22,x1x22,代入上式化简得m22km3k20， 把x1x22k2k2 解关于k的方程得：mk，或m3k．

当mk时, 直线AB的方程为ykxk,直线AB过定点(1,0),不合题意．当m3k时,直线AB的方程为ykx3k，显然直线AB过定点(3,0)． 综上, 直线AB过定点(3,0)． 3、有兴趣的同学自己探求母子双曲线：

7

y21上取定点M，作射线MA、MB交椭圆C于A、B，MAMB．则在双曲线C:x2y221上运动时，得到相应Q的轨迹方程为直线AB过的定点为Q．当M在双曲线C:x2x2y2y2x2y221与C:C:1．我们把C:x1称为一对母子双曲线． 29118四、母子圆:

2显然,在圆C:x2y21上取定点M，作射线MA、MB交椭圆C于A、B，

MAMB．则直线AB过的圆心O．当M圆C:x2y21上运动时，得到相应Q仍然是圆

心O．

也就是本文中所谓的子圆已经退化为一个点——圆心．

当然,把MAMB改为AMB120,则很容易求得Q的轨迹方程为C:x2y2. 我们显然可以把C:x2y21与C:x2y2圆．

但是,如果我们把研究抛物线、椭圆、双曲线问题中的MAMB改为AMB120等非直角，则其情形怎样呢，这个问题显然十分复杂，期待着有兴趣的读者去研究、去探索． 规律总结:

在圆锥曲线C(不包括等轴双曲线和圆)上取定点M，作射线MA、MB交椭圆C于

141称为在AMB120时的一对母子4A、B，MAMB．则直线AB过定点Q．当M在C上运动时，得到相应Q的轨迹C仍然

是相应种类的圆锥曲线,我们把C与C叫做一对母子圆锥曲线．

对于母子抛物线, 子抛物线C由母抛物线C平移得到(平移长度恰好等于抛物线的通径),开口大小方向不变;

对于椭圆, 母子椭圆中心相同,离心率相同;

对于双曲线,母子双曲线中心相同,离心率相同,当然渐进线也相同．

本文所探究的问题涉及高考中经常考查的定值与定点问题,其变化的题目是高考的热点．

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