第３７卷第６期 ２０１６年１１月 ｖ０１．３７ Ｎｏ．６ Ｎｏｖ．２０１６ 井冈山大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０ 文章编号：１６７４—８０８５（２０１６）０６－００２０—０４ 氢原子能级的一级斯塔克效应 杨悦玲，孙俊峰 （河南师范大学粒子物理与核物理研究所，河南，新乡４５３００７） 摘要：从量子力学的定态简并微扰论理论出发，给出氢原子在外电场中ｎ＝３，４，５时一级斯塔克效应的能谱 情况。 关键词：氢原子：微扰论；斯塔克效应 中图分类号：Ｏ４１３．１ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１６．０６．００６ ＴＨＥ ＳＴＡＲＫ ＥＦＦＥＣＴ ｏＦ ＴＨＥ ＨＹＤＲｏＧＥＮ ＡＴｏＭ ’ＹＡＮＧＹｕｅ．１ｉｎｇ，ＳＵＮ Ｊｕｎ－ｆｅｎｇ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＰａｒｔｉｃｌｅ ａｎｄ Ｎｕｃｌｅａｒ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｘｉｎｇ，Ｈｅｎａｎ ａ４５３００７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｌｅｖｅｌｓ，ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ ｉｎ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ．Ｔｈｅ ｆｈ－ｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌｓ ｗｉｔｈ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｑｕａｎｔｕｍ ｎｕｍｂｅｒ ｎ＝３，４，５ ａｒｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｒｋ ｅｆｆｅｃｔ ｏｒ ｆｔｈｅ ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ；ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｈｅｏｒｔｙ；Ｓｔａｒｋ ｅｆｆｅｃｔ 要想知道微观体系的状态，需要求解薛定谔 方程，而薛定谔方程是一个多元偏微分方程，量 子力学中能够精确求解的问题是很少的，因此近 似方法就显得非常重要。很多量子力学教材【ｌ４ １ 相互作用哈密顿量及其本征函数 氢原子处于均匀外电场云： 一中时，电子 受到外电场力的作用 ： （一已），电场力做功 ： ．中给出了定态简并情况下微扰论计算方法，并 应用这种方法来解释氢原子ｎ＝２时的一级斯塔 克效应。 斯塔克效应是指原子或者分子在外电场中能 级发生的现象。氢原子是由一个电子和一个 质子组成，电子和质子之间是球对称的库仑相互 Ｆ会使体系的势能减小。由于原子内部电 场约为１０¨Ｖ／ｍ，外加电场的作用可以看作微扰， 因此体系哈密顿量算符疗可以写成两部分： 疗＝疗。＋疗 ，其中 是未加外电场时氢原子体 作用。当把氢原子放在外加电场中时，由于带电 粒子和电场之间的相互作用，会产生一个附加的 相互势能，破坏原来势能的球对称分布，从而造 系的哈密顿算符，是主要部分，而疗，是电子在外 加电场中的势能，是微扰部分，它们的表达式为： 三１ ’ ☆一ｐ‘ ｅ： ０一 成能级，简并被部分消除。本文用微扰理论 来研究氢原子处于第二、三、四激发态时能级的 一２ｍ ，． Ｈ ＝一 ＝Ｅ ｅ ｒ ＣＯＳ０ （１） 级斯塔克效应。 收稿日期：２０１６—０６—１８；修改日期：２０１６—０９—２６ 基金项目：国家自然科学基金项目（１１５４７０１４）；河南师范大学博士科研启动基金项ｔ￣１（ＱＤ１４２０５） 作者简介： 杨悦玲（１９７７一），女，山西永济人，副教授，主要从事重味物理现象学研究（ｙａｎｇｙｕｃｌｉｎｇ＠ｈｔｕ．ｃｎ】； 孙俊峰（１９７５一），男，河南偃师人，副教授，主要从事粒子物理唯象研究（ｓｕｎｊｕｎｆｅｎｇ＠ｈｔｕ．ｏｎ）． 井冈山大学学报（自然科学版） ２１ 为了书写方便，这里定义４嬲。Ｐ ＝Ｐ 。算符 ｄｅｔ Ｉ ，一 Ｉ＝０ （５） 疗。的本征值和本征函数是 ２ 为此先要计算微扰项的表示形式，它是一个９×９ 方矩阵，其中矩阵元的定义是 ＝Ｐ（ｏ） 一 一 ｌｆ， ， ＝Ｒｎｌ（ ） ， （ ，ｃｐ） ，（２） ，． （ ）： 却 （，一，０， ）ＥｅｒＣＯＳ０ （ｒ，０， ） 其中口： 是氢原子第一玻尔轨道半径， ｅ “： 是约化质量，主量子数 ，轨道角动 ’ ｍｐ＋ｍＰ 量量子数，，和磁量子数ｍ的取值分别是 ｎ＝１，２，３，…，，＝０，１，…ｎ一１；ｍ＝０，±１，…±， （３） 氢原子的能级仅仅和主量子数ｎ有关，对于一个 给定的ｎ，能级的简并度是ｎ 。当ｎ＝２时，即当 氢原子处于第一激发态时，原来四重简并的能级 将成三条，均匀分布在原来能级的两侧（如 图１），且原来的能级是二重简并的，相关的计算 在很多教材【Ｈ 中已经给出，这里就不再重复，只 讨论第二、三、四激发态的情况。 ）一一 ∞＋３Ｅｅａ ８Ⅱ 一 ！ 一３Ｅｅａ 图ｌ氢原子第一激发态一级斯塔克效应的能级情况 Ｆｉｇ．１ Ｅｎｅｒｇｙｌｅｖｅｌ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇｆｏｒｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｅｘｃｉｔｅｄ ｓｔａｔｅｄｕｅｔｏ ｔｈｅＳｔａｒｋｅｆｆｅｃｔｓｆｏｒｔｈｅｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ ２ ｎ＝３时氢原子能级的一级斯塔克 效应 当氢原子处于第二激发态时，即ｎ＝３时， 体系的能级是 ∞＝ （４） 此时的能级是９重简并的，相应的本征函数分别 记作 妒１＝Ｉｆ，３，０，０， 妒２：Ｉｆ，３，ｌ，ｌ， ３＝ ３Ｉｌ＇ｏ， ＝ｌｆ，３．１＇一ｌ， ５＝Ｉｆ，３，２，２， ６＝ｌｆ，３，２ 咖７＝ｌｆ，３，２，ｏ， ８＝Ｉｆ，３，２，一１， 妒９＝ｔｆ，３Ｉ２＇一２。 由定态简并微扰论的知识，想要知道一级能量修 正，需要求解久期方程 （６） 由于曰 是厄米算符，所以其表示是一个厄米矩 阵，即有 “＝Ｈ 。 在计算的过程中，利用球谐函数递推关系， ｃｏｓ０ ＝ ＿ｌ＿ ＋ ． （７） 可得到只有△，＝±１且Ａｍ＝０的矩阵元不为零。 经过计算，这些非零的矩阵元数值结果分别是 Ｈ ３：Ｈ ．．１＝一３４６Ｅｅａ， ７＝ ３＝一３４３Ｅｅａ， ．．０ ６＝１－１６２＝Ｉ－Ｉ＇，８＝ ４＝一Ｌ Ｅｅａ。 ，，，，求解久期方程（５）式，可得 ，）：ｏ，０，０，±昙 口，＋９Ｅｅａ，＋９Ｅｅ口 这个结果和文献［５．６］的结果是一致的，即氢原子 第二激发态的一条能级在外电场作用下成５ 条，它们均匀分布在原来能级的两侧（如图２）， 且原来的能级是三重简并的。 ——Ｅ 。 ＋９Ｅｅａ Ｅ ：蔓 ∞＋９ Ｅ１８ａ ｅａ ｌ Ｅ Ｅ 图２氢原子第二激发态一级斯塔克效应的能级情况 Ｆｉｇ．２ Ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｏｆｒ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｅｘｃｉｔｅｄ ｓｔａｔｅ ｄｕｅ ｔｏｔｈｅ Ｓｔａｒｋｅｆｆｅｃｔｓｆｏｒｔｈｅｈｙｄｒｏｇｅｎａｔｏｍ ３ ｎ＝４时氢原子能级的一级斯塔克 效应 当氢原子处于第三激发态时，即ｎ＝４时， 井冈山大学学报（自然科学版） 体系的能级是 （ｏ）一一 一 （８） 此时的能级是１６重简并的，相应的本征函数分别 记作 １：Ｉｇ４１０１０’妒２＝ｌｌｔ４，１，１， ３＝ｌｆ，４，ｌ，０’ ４＝ｌｆ，４，１．一ｌ， ５ Ｉｇ４，２，２， ６＝ｌｆ，４，２，ｌ， ７＝ｌ ４，２，ｏ’ ８＝ｌｉｔ４Ｉ２．一１， ９＝ ４，２，一２，妒１０＝ ４＇３’３， １ｌ＝ｌｆ，４’３，２＇ ｌ２＝ｌｆ，４．３＿１， ｌ３ ４，３，０， ４＝ｌｆ，４ 一ｌ， ｌ５： ４，３，一２， ６＝ｌｆ，４．３，一３。 类似ｎ＝３时的处理办法，通过计算可以得到 非零的微扰矩阵元结果分别是 ：日；． ＝－６ｆｆ５Ｅｅａ， Ｉ－Ｉ； ｉ－Ｉ￣＇ Ｉ－Ｉ＇， 一ｌ２ ％＝％＝一 ２４＆口， ．Ｊ】＝Ｉ－Ｉ；】Ｉ５＝Ⅳ；ＩＪ５＝Ｉ－Ｉ；￣，９＝－６Ｅｅａ ，１２ ，６＝ ．１４＝ ８＝一１ ．｜ｌ３＝ ＝一 ＆口。 ） 求解久期方程（５）式，可得 ”＝０，０，０，０，＋６Ｅｅａ，＋６Ｅｅａ，＋６Ｅｅａ， ＋１２Ｅｅａ，＋１２Ｅｅａ，±１８Ｅｅａ 这个结果和文献［７．８］的结果是一致的，即氢 原子第三激发态的一条能级在外电场作用下 成７条，它们均匀分布在原来能级的两侧（如图３）， 且原来的能级是四重简并的。 。 ＋１８Ｅｅ 。’＋１２ＥＥ Ｅ 。）：－ｅ； Ｅ 。’＋６Ｅｅ ３２ａ Ｅ ～６Ｅｅ， Ｅ 一１２Ｅｅａ 一１８Ｅｅａ 图３氢原子第三激发态一级斯塔克效应的能级情况 Ｆｉｇ．３ Ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｅｘｃｉｔｅｄ ｓｔａｔｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｔａｒｋ ｅｆｆｅｃｔｓｆｏｒｔｈｅｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ ４ ｎ＝５时氢原子能级的一级斯塔克 效应 当氢原子处于第三激发态时，即 ＝５时， 体系的能级是 ｏ）：羔 ５０ａ 此时的能级是２５重简并的，相应的本征函数分别 记作 １＝ｌｆ，５，０，０， ２＝ｌｆ，５Ｉｌ１１， ３＝ｇｔ ５．１．０， ４＝ｌｆ，５＿ｌ＿一１， ＝ｌｆ，５，２，２， ６＝ｌｆ；，５，２，ｌ，≯７＝Ｉｆ，５，２，ｏ， ＝Ｉｆ，５．２’一ｌ， ＝ｖ，５，２，－２， ｏ＝ ５＇３１３， Ｉ＝ ５３，２， ２＝ ５Ｉ３１Ｉ， ，１３＝ｌｆ，５，３，ｏ， １４＝ｌｆ，５’３，一ｌ， １５＝Ｉｆ，５．３ｆ ， １６＝ ５Ｉ３’一３， ｌ７＝ｌｌｔ５，４，４， ｌ８ ｌｆ，５，４，３， 妒ｌ９ ５，４，２’ ２０＝ ５，４，ｌ’妒２ｌ＝ ５．４．０， ２２＝ ５＿４＿一ｌ， ２３ ｌｉｔ５，４， ’ ２４：ｌｆ，５．４＇一３’ ２５＝ ５Ｉ４＇一４。 类似ｎ＝３时的处理办法，通过计算可以得到 非零的微扰矩阵元结果分别是 Ｈｌ３＝Ｈ３１＝＂１５ｘ／２－Ｅｅａ， ，，一Ｈ２６＝Ｈ６２＝Ｈ４８＝Ｈ８３ ４： ，，。．２ Ｈ３７＝ ７３＝一３４￣／ｒｅａ， ，，．】】＝ ＝ －Ｊ５ ５。９： ３＇２】＝ ‰一 ， ６，１２ Ｈ１２６ Ｈ８Ｈ１４８ 一１ ，，ｌ４ ，７，】３＝Ｈｌ３－７＝一１８ ａ’ ｌ。，ｌ８ …。 ｌ６， Ｈ２４１５Ｅｌ６ 一ｅ口， ，２１ １，ｌ９＝Ｈ１９Ｈｌ５，Ｉ１ ，２３ ２３，ｌ５ ／４，２，２０＝ ２２ｏ＝ ４ｌ２２＝ ４，２２ ，求解久期方程式（５），可得 井冈山大学学报（自然科学版） 。－ｏ，０，０，０，ｏ’＋萼 ±２ ±箜＆２口，± ４５Ｅｅ口，￣３０Ｅｅａ 堕，± ２ ，± ） ２ ‘ 。。。， 即氢原子第四激发态的一条能级在外电场作用下 成９条，它们均匀分布在原来能级的两侧（如 ￣１５Ｅｅａ，￣１５Ｅｅａ，￣１５Ｅｅａ， ∞＋３０Ｅｅａ 图４），且原来的能级是五重简并的。 Ｅ 。）＋ 正’ｅ。 Ｅ；。 ＋。５点Ｔｅ。 Ｅ ：蔓 ５０ａ ＋ ２ ～堕 口 ２ 们一１５Ｅｅａ 一占 。）一３０Ｅｅａ 萼 图４氢原子第四激发态一级斯塔克效应的能级情况 Ｆｉｇ．４ Ｅｎｅｒ￣ｌｅｖｅｌ ｓＮｉ￣ｎｇ矗）ｒ ｍｅ ｆｏｕｒｔｈ ｅｘｃｉｔｅｄ ｓｔａｔｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｔａｒｋ ｅ￣ｃｔｓ ｆ０ｒ ｔｈｅ ｈ￣ｏｇｅｎ ａｔｏｍ ５ 总结 通过计算，可以归纳如下：氢原子第ｋ激发 态一级斯塔克效应的能级为２尼＋１，它们均 匀分布在原来能级的两侧，从原来能级向外，能 ｌ９９８． ［３】 钱伯初．量子力学 】．北京：高等教育出版社，２００６． ［４】 苏汝铿．量子力学口 ．北京：高等教育出版社，２００２． 【５］ 王燕锋．氢原子ｎ＝３能级的一级斯塔克效应［Ｊ］．吕 梁学院学报，２０１ １，１（２）：５ １－５４． 【６］ 胡群，黄时中．氢原子ｎ＝３能级的斯塔克效应［Ｊ］．安 徽师范大学学报：自然科学版，２０ｏ２，２：１３０．１３３． ［７］ 薛丽丽．氢原子 ＝４能级的～级斯塔克效用［Ｊ］．吕 梁学院学报，２０１２，２（２）：５７—５９． 级的简并度依次是（ ＋１），ｋ，…，ｌ。 参考文献： ［１］ 周世勋，陈灏．量子力学基础口 ．２版．北京：高等教育 出版社，２０ｏ９． 【２】 曾谨言．量子力学导论【Ｍ】．北京：北京大学出版社， ［８】 麻金继．氢原子，ｌ：４能级的斯塔克效应［Ｊ］．安庆师 范学院学报：自然科学版，２ｏｏ３，１：ｌ１－１８．
