教学研究）教学技巧 数学教学通讯（初等教育） 投稿自８箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ ｔ６３．ＣＯｒｎ 年的努力；陈景润对哥德猜想的苦 苦追求，都是追求“数学完美”的典型事 例．在解题训练中，我和学生们也学习 了数学家的执着精神，努力追求数学的 完美：用待定系数法求二次函数解析式 时，根据不同的条件采用不同的设法， 使解题过程简捷；在参数问题中对一元 二次方程的解、函数类型进行分类讨论 时，引导学生认真思考、缜密思维，做到 不重不漏…… 生们对我的解法展开了激烈的讨论，与 我解法相同的学生表示赞同，而持反对 最后，在教师的启发下，他们自然而然 地诵出了“ｎ只青蛙ｎ张嘴，２ｎ只眼睛４ｎ 意见的学生则提出质疑．我先请持反对 意见的学生说明理由，学生先从解的结 条腿”的结论．用字母表示数的意义也 就被学生愉快地接受了．我还用游戏的 果质疑，他们所求出的解有两个，而我 形式加以强化：请同学们事先想好一个 所求出的解只有一个．接着，我们一起 探讨了为什么会出现同题不同解的原 因——方程（ 一３）一３＝０与原方程（ 一３）ｚ一 ３（ 一３）＝Ｏ不是同解方程，理由是方程两 数，然后按照我的要求做一些简单的算 术运算，最后我来给出答数．学生们都 跃跃欲试，他们在下面偷偷地商量了一 个数，然后按我的要求开始计算：先在 边同时除以（ 一３）不符合方程同解的原 理．找出问题的症结之后，我虚心地接 这个数上加上２５，再加上１２５，减去３７， 再减去刚刚想的那个数，差再乘５并除 运用数学的美学教育功能，能使学 生的思想得到升华，思维品质得到提 受了错解的意见，表扬了帮我指出错误 高，持续激发学生学习数学的兴趣． 的学生，表达了对产生错解的理解，并 表示了杜绝这种错误解法的决心．鼓励 圆培养师生良好的情感，持续激发 的力量、同理心的作用，使学生们较好 学生学习数学的兴趣 地掌握了此种类型的一元二次方程的 学校的教育活动是教师和学生共 解法．同时，教师的谦逊及勇于认错的 同参与的双边活动，教师和学生都是能 态度，与学生形成和谐、默契的关系，促 动的主体，师生相互影响、相互作用，共 进良好师生关系的构建，帮助学生培养 同形成变化和发展的师生关系．由于人 了学习数学的积极情感，激发了学生学 的一切活动都是在一定的心理背景中 习数学的兴趣． 发生的，所以，师生之间的心理关系、情 好的情感使人愉快，能激发学生的 感关系在师生关系体系中处于核心地 心理活动和行为动机，对持续激发学生 位．一方面，心理关系、情感关系是师生 学习数学的兴趣有着重要的作用． 交往的结果；另一方面，心理关系、情 感关系又在很大程度上影响着师生的 竺ｃ》发挥快乐教学的情感动力，持续 交往，影响着教育效果，影响着学生的 激发学生学习数学的兴趣 身心发展．如果学生对教师产生积极 教学是教与学的双边活动，必须创 情感，则一定可以迁移到教师所教的 造一个和谐、热烈、融洽、紧张、愉快于 学科中，转化成一股教育力量．这对于 一体的课堂气氛．在这个过程中，情感 低年级的学生的影响更为显著．德国 因素发挥着重要的作用，这对提高四十 教育家第斯多惠曾明确指出：教学的 五分钟的课堂效率益处非浅，这是一门 艺术在于激励、唤醒和鼓舞，教师兴奋 艺术．教育学家斯宾塞提出，教育应尽 的情绪、热情的关注、勃勃的生气、殷 量使学生于快乐之中掌握知识．因此， 切的期望都会转化为学生进步和发展 培养学生积极的参与意识，改变被动接 的动力．在教学过程中，我会尽量通过 受的学习方式，才能真正发挥师为主 各种途径加强师生交流，让学生从老 导、学生为主体的作用．兴趣是最好的 师的期待、信任、关怀中得到鼓励和勇 老师，只要有了兴趣，就有了热情，有了 气，培养师生间的积极情感，激发学生 积极性，就有了信心和力量，学生就会 学习数学的兴趣． 主动参与数学学习，进而在兴趣中体验 学习一元二次方程的解法时，常常 快乐，在快乐中提高兴趣． 会遇到学生将方程左右两边都除以含 讲授“用字母表示数”这一节时，我 有未知数的整式，从而出现漏解的错误 用一首儿歌引入新课：“一只青蛙一张 解法，如（ 一３）２－３（ｘ一３）＝０，方程两边同 嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴， 时除以（ 一３）得（ 一３）一３＝０，解得 ＝６．巡 四只眼睛腿；三只青蛙三张嘴，六 视完学生的做法后，我发现有一些学生 只眼睛十二条腿……”熟悉的儿歌一下 的做法正如我的预计．我将错解写在黑 子吸引了学生的注意力，他们大声而且 板上，还吹嘘了我的解法又快又好．学 开心地朗诵着，仿佛回到了孩提时候． 以２．学生们很快算出了答案，并要求我 １ 报出答案．当我说出答案是２８２—１时， ２ 学生们都惊叫起来，理所当然地也会去 探究我成功的秘密．经过讨论，他们很 快发现我成功的秘密还是字母表示数 的妙用：此游戏成功的秘密从下式可以 看出——［（ ＋２５＋１２５—３７ ）ｘ５］÷２＝ ２８２ ． ２ 营造快乐教学的课堂氛围，激发新 的求知欲望，促使学生的情感动力产生 更多的正价值，持续激发学生学习数学 的兴趣． 利用学生自我超越，持续激发学 生学习数学的兴趣 巴甫洛夫认为：情感是大脑皮层上 “动力定型”的维持和破坏．若外界的刺 激使原有的一些活动得到维持和发展， 人就会产生积极的情绪和情感．所以 当学生从自己的劳动中发现自己的成 功，就会产生一种满足感，恢复自尊， 增强自信，从而升华情感并转化为动 力运用于学习，形成良性循环．教师应 给学生创造一些这样的“机会”，比如 在课堂上应面向全体学生，作业中的题 目配置应有一定的梯度，使每个学生都 能从中有所得；课堂提问应有针对性 地尽可能给后进生提供表现的机会， 并及时给予赞赏和鼓励．这样，他们每 攻克一道题、克服一个困难，都会体会 到成功的喜悦，能激发学习兴趣．由于 不断的赞赏和鼓励，学生的学习兴趣 便会持续激发． 讲解“二次函数的性质”时，有这么 （下转第５７页） 投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｒｎ一………………… 数学教学通讯（初等教育）……一…………………一～试题研究＞试题探究 定后看得分高低来决定胜负．设随机变 量 为小刚在ｎ次游戏中的总得分，随 机变量ｌ，为小明在Ｆ，ｉ次游戏中的总得分． 由于游戏中掷骰子是多次重复，小 刚和小明得分次数服从二项分布，即 对于解答二中出现的这种通过修 弈过程中的成本不同，每次博弈，甲的 成本为２元，而乙的成本为１元．（３）甲、 改得分规则，只通过数学期望的值相 同，就认定游戏公平的方法，是不正确 的．游戏的公平性应该从参与游戏双方 乙承担的风险不同，每次试验甲的损失 风险为 ，而乙的损失风险为 ．综合 ０ ｏ 的各方面人手．只有两人获胜的概率相 同，得分也相同，才能认为游戏公平．解 吾胡（ｎ，｛），ｙ坷（ｎ，寻）．小刚和小明 答二的这种方法实质上是对“公平”一 得分的数学期望都为 ．但通过简单 计算可以发现，ｎ取不同值时，小刚和 小明获胜的概率并不相同．如只进行 上面几个因素可以发现，这种期望为０ 的博弈，对双方并不公平．要成为一个 词的一种误解．在概率论中，经常将期 望值为０的博弈称为公平博弈．其实期 望为０的博弈，对博弈双方来说只知期 望相同，未必对双方是真正的公平．如 真正公平的博弈，只有让博弈双方的 成本和风险都相同，才是对双方完全 公平． 通过对上面两个问题的计算和分 一次游戏时，ｄ＇．ＮｔＪ和小明获胜的概率分 下例： 析可知，一个真正公平的游戏，应该是 别为： 甲、乙两人掷一枚均匀骰子，规则 游戏双方在每次游戏中获胜的可能性 Ｐ｛Ｘ＞Ｙ｝－Ｐ｛Ｘ＝３，Ｙ＝Ｏ｝＿｛，Ｐ｛ｙ＞ 如下：掷得ｌ点或２点，甲输给乙２元，掷 相同，如果还有其他相关量，比如“得 得其他点数，乙输给甲１元． 分”等都应该相同，才能说游戏对双方 ｝－Ｐ｛Ｙ＝ｌ， ＝０｝＿｛． 每次博弈过程中乙获利２元的概率 是公平的．公平性应该体现在游戏双方 进行两次游戏时，小刚和小明获胜 为 ，损失１元，即获利一１元的概率为 在各个方面都处于同等地位．因此，对 的概率分别为： 。 于一个公平的游戏来说，游戏双方得分 Ｐ｛Ｘ＞Ｙ｝＿Ｐ｛Ｘ＝６，Ｙ＝Ｏ｝十Ｐ｛Ｘ＝３，ｙ＝ ．所以，每次博弈中，乙的平均获利 的数学期望肯定是相等的．反之，当游 ０ １ ，Ｐ｛ｙ ｝＿Ｐ｛ｌ，＝２，ｘ＝ｏ ｌ： ． 戏双方得分的数学期望不等时，肯定是 为２× ＋（一１）×了４－－－ｏ￣．类似地，每次博 ０ ｏ 不公平的游戏．这个判定方法其实在日 类似的，可以得到进行三次游戏 常生活和概率理论中被经常用到．例 时，获胜的概率分别为 弈过程中甲获利１元的概率为 ，损失 ０ 如，赌场在制定规则时是不公平 Ｐ｛ ｝＿ ，Ｐ｛ｙ ｝＿ ． ２元，即获利一２元的概率为 ，所以 每 的，肯定对赌场有利，即通过赌场规则 ０ 依次计算，虽然游戏次数变化时， 计算得到赌客的预期收益低于赌客的 次博弈中，甲的平均获利为１× ＋（一２）ｘ ０ 投入成本．再如，保险公司和彩票销售 小刚和小明得分的数学期望都为孕， 中都有其不公平性，这些不公平性，都 ＝但是小刚和小明获胜的概率并不相同． ０元．从获利的角度看，我们发现 ０ 是可以通过投入与期望收益不等来判 从前３次游戏看，进行一次或者两次游 甲、乙两人平均获利都为０元．这在概率 定的． 戏时小明获胜的可能性高于小刚，进 中被大家称为“公平博弈”． 总而言之，我们可以通过期望不等 行三次游戏时，小刚获胜的可能性高 但是，这里的公平博弈对甲、乙两 来判定游戏或者其他问题规则的不公 于小明．所以在规则上，小刚和小明得 人除期望值外，并不公平．体现在以下 平性．但是当双方期望相等时，是不能 分的数学期望相同，但是两人获胜的可 几个方面：（１）每次博弈中，甲、乙两 直接得出规则对双方是公平的，还需要 能性并不相同． 人获胜的概率不同．（２）甲、乙两人在博 做进一步分析． （上接第４０页） 个点距离抛物线顶点的远近，由点位置 学中的主观能动性，持续激发学习数学 一道题：“已知二次函数的解析式为ｙ＝ 的高低得对应函数值的大小，解法三简 的兴趣． 一（ 一１）２＋４， ｆ、 一旱，４ ）， （一１，ｙ２）， 化了数的计算，体会到掌握数形结合的 思想方法后得到的自由，从而充分地调 情感是一种特殊的主观意识，必定 ＼ ｃ（÷，Ｙ，）为该二次函数图象上的点，动了学生学习数学的兴趣．学生们在交 对应着某种特殊的客观存在．在数学教 ’ｊ ／ 比 较ｙ ，ｙ：，ｙ 的大小．”解法一，求出三个函 流解法时，通过思维碰撞加深了对二次 学过程中重视情感教育，积极创造这种 函数性质的理解，给学习数学注入了活 特殊的客观存在，调动学生的情感和意 数值Ｙ。，Ｙ２，）， ，比大小；解法二，通过二 力，提高了学习数学的兴趣． 志等精神需要，对于激发学生学习数学 次函数的增减性，先比较ｙ ，Ｙ２的大小， 用数学劳动成果促进学生对高层 的兴趣的效果是持久而巨大的，对于持 再求两个函数值Ｙ２，Ｙ，进行比较，这么一 次情感的追求，使学生在学习中获得多 续激发学生学习数学的兴趣的意义是 来，少算了一个函数值；解法三，比较三 次成功体验，能更好地发挥学生学习数 深远的． ５７
