高二导数及其应用期中复习(含参)

本章主要内容： 1、导数的概念：

（1）函数的平均变化率：对于函数𝑦=𝑓(𝑥)，定义∆𝑥=

∆𝑦

𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥2)𝑥2−𝑥1

为函数𝑦=𝑓(𝑥)从𝑥1到𝑥2的平均变化率。若记自

∆𝑦

𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥

变量在𝑥0处的增量为∆𝑥，函数值的增量相应为∆𝑦=𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)，则比值∆𝑥=从𝑥0到𝑥0+∆𝑥之间的平均变化率。

就叫函数𝑦=𝑓(𝑥)

（2）函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数（瞬时变化率）：函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处瞬时变化率是lim称为函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数。记作𝑓′(𝑥0)或𝑦′|𝑥=𝑥0，也即是𝑓′(𝑥0)=lim

∆𝑥

∆𝑦

∆𝑥→0

=lim∆𝑥。

𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥

∆𝑥→0

，

𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥→0

（3）函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数：当𝑥变化时，𝑓′(𝑥)是𝑥的一个函数，称之为函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数（简称导数），即𝑓′(𝑥)=

∆𝑥→0

lim

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥

。

2、导数的几何意义：函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处的切线的斜率。即𝑘=𝑓′(𝑥0)。

说明：求曲线切线方程的步骤：

（1）先判断所给点是否在曲线上，若在且是切点，则用定义求函数的导数，得出斜率，若不是切点，则先设出切点，再用定义求函数的导数，得出斜率；

（2）若在且是切点，则直接利用点斜式写出切线方程，否则，先由题意求出切点坐标，再得出方程。 注意切点的特征：函数𝑦=𝑓(𝑥)在切点处的导数值等于切线的斜率；切点在切线上；切点在函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像上。 3、基本初等函数的导数公式表：

（1）𝑦=𝐶，𝑦′=0（2）𝑦=𝑥𝑛，𝑦′=𝑛𝑥𝑛−1（𝑛为有理数，𝑥>0，𝑛≠0） （3）𝑦=𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)，𝑦′=𝑎𝑥ln𝑎𝑦=𝑒𝑥，𝑦′=𝑒𝑥 （4）𝑦=log𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1,𝑥>0)，𝑦′=

1𝑥ln𝑎

𝑦=ln𝑥，𝑦′= 𝑥

1

（5）𝑦=sin𝑥，𝑦′=cos𝑥（6）𝑦=cos𝑥，𝑦′=−sin𝑥 4、导数的运算法则：

（1）[𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)±𝑔′(𝑥)（2）[𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) （3）[

𝑓(𝑥)′𝑔(𝑥)

]=

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔2(𝑥)

（𝑔(𝑥)≠0）

′

（4）复合函数的求导法则：函数𝑦=𝑓(𝑢)，𝑢=𝑔(𝑥)，则𝑦𝑥=𝑦𝑢′∙𝑢𝑥′. 5、利用导数判断函数的单调性：

（1）函数的单调性与其导数的正负有如下关系：设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内可导，则

若∀𝑥∈(𝑎,𝑏)，都有𝑓′(𝑥)>0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内单调递增； 若∀𝑥∈(𝑎,𝑏)，都有𝑓′(𝑥)<0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内单调递减； 说明：①若函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内有𝑓′(𝑥)≥0（或𝑓′(𝑥)≤0），但𝑓′(𝑥)=0不在某区间上恒等于0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内仍是单调递增（或递减）；

②∀𝑥∈(𝑎,𝑏)，都有𝑓′(𝑥)=0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)是常数函数。

③∀𝑥∈(𝑎,𝑏)，都有𝑓′(𝑥)>0是函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内单调递增的充分条件，而非必要条件。反过来，若函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内单调递增，则对∀𝑥∈(𝑎,𝑏)，都有𝑓′(𝑥)≥0.（递减同理） （2）利用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域，求它的导数𝑓′(𝑥)；

②在定义域内解不等式𝑓′(𝑥)>0或𝑓′(𝑥)<0； ③根据结果确定𝑓(𝑥)的单调区间。 6、函数的极值： （1）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)，设𝑥0是其定义域内一点，如果对于𝑥0附近的所有点𝑥，都有𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥0)（或𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥0)），．．

则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处取得极大值（或极小值），记作𝑦极大值（或𝑦极小值）。并把𝑥0称为函数𝑦=𝑓(𝑥)的一个极大值点（或极小值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 （2）求可导函数极值的步骤： ①求导数𝑓′(𝑥)；

②求方程𝑓′(𝑥)=0的所有实数根；

③检验这些根是不是极值点。具体方法：在点𝑥0附近导数值，若左侧为正，右侧为负，则是极大值点；若左侧为负，右侧为正，则为极小值点。否则就不是极值点。 注意：

（1）对于可导函数而言，若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处取得极值，则𝑓′(𝑥0)=0。反之，则不一定。因而要注意检验。 ．．．．（2）对于一般函数，即使在𝑥=𝑥0处取得极值，在此点处导数值也未必等于0。 7、函数的最值：

（1）函数𝑦=𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上必有最值的条件：函数𝑦=𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上的图像是连续的。 （2）求函数𝑦=𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎,𝑏]上最值的步骤： ①求函数𝑓(𝑥)在开区间(𝑎,𝑏)内的所有极值；

②将函数𝑓(𝑥)的各极值与端点处的值𝑓(𝑎)、𝑓(𝑏)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 8、定积分

设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0In＝i∑f(ξi)Δxi ＝0

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把lim∑𝑛−1b]上的定积分，记作∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥．即𝑖=0𝑓(𝜉𝑖)∆𝑥𝑖叫做函数f(x)在区间[a，

𝜆→0𝑏

n－1

∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim∑𝑛−1𝑖=0𝑓(𝜉𝑖)∆𝑥𝑖，其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式．

𝜆→0

𝑏

9、定积分的几何意义：

𝑏

如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有𝑓(𝑥)≥0，那么定积分∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积． 10、微积分基本定理

𝑏

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥＝𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．求定积分主要是找到被积函数的原函数．

典型例题

4)(20)()，则f(f(0))2；，B，C的坐标分别为(0，，，，，1、如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中Ay A f(1x)f(1)C 4 lim−2．（用数字作答）

x03 x2 1 B O 1 2 3 4 5 6 x 𝑓(𝑥0−2∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

2、（1）若𝑓(𝑥)在𝑥0可导且𝑓′(𝑥0)=2，则lim=_−4_。

∆𝑥

∆𝑥→0

（2）若函数在𝑥0可导且𝑓′(𝑥0)=𝑚，则lim

𝑓(𝑥0+3∆𝑥)−𝑓(𝑥0−∆𝑥)

∆𝑥

∆𝑥→0

=_4𝑚_.

3、（1）求曲线𝑦=𝑥3−2𝑥在点(1,−1)处的切线方程； （2）求过点(1,−1)与曲线𝑦=𝑥3−2𝑥相切的直线方程。

解：（1）𝑦′=3𝑥2−2，所以曲线𝑦=𝑥3−2𝑥在点(1,−1)处的切线的斜率𝑘=𝑦′|𝑥=1=1， 在点(1,−1)的切线方程是：𝑦+1=1∙(𝑥−1)，即𝑦=𝑥−2.

（2）由于点(1,−1)在曲线上，所以(1,−1)可能是切点，也可能不是切点。 若切点是(1,−1)，则由（1）的解答过程可知切线方程为：𝑦=𝑥−2；

若切点不是(1,−1)，设切点为(𝑥0,𝑥03−2𝑥0)(𝑥0≠1)，曲线𝑦=𝑥3−2𝑥切线的斜率为𝑘=𝑦′|𝑥=𝑥0=3𝑥02−2，切点的方程：𝑦−(𝑥03−2𝑥0)=(3𝑥02−2)(𝑥−𝑥0)，又点(1,−1)在切线上，所以

−1−(𝑥03−2𝑥0)=(3𝑥02−2)(1−𝑥0) (𝑥0−1)(𝑥02+𝑥0−1)=(3𝑥02−2)(𝑥0−1)

因为𝑥0≠1，所以𝑥02+𝑥0−1=3𝑥02−2

化简2𝑥02−𝑥0−1=0，解得𝑥0=−2或𝑥0=1（舍）。 此时切线的方程为：𝑦+1=−(𝑥−1)，即𝑦=−𝑥+. 4

4

4

5

5

1

1

所以过点(1,−1)与曲线𝑦=𝑥3−2𝑥相切的直线方程为：𝑦=𝑥−2或𝑦=−𝑥−.

2

2

11

4、已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线. （1）求实数a、b、c的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间。 16+2𝑎=0𝑎=−8解：（1）𝑓𝑥)=6𝑥+𝑎，𝑔𝑥)=2𝑏𝑥，由题意可知：{4𝑏+𝑐=0，解得：{𝑏=4。

24+𝑎=4𝑏𝑐=−16

′(

2

′(

（2）𝐹(𝑥)=2𝑥3−8𝑥+4𝑥2−16=2𝑥3+4𝑥2−8𝑥−16，所以𝐹′(𝑥)=6𝑥2+8𝑥−8=2(3𝑥−2)(𝑥+2)，

令𝐹′(𝑥)=0得：𝑥1=−2，𝑥2=.

32

当𝑥变化时，𝐹′(𝑥)、𝐹(𝑥)变化情况如下表： (−∞,−2) 𝑥 −2 𝐹′(𝑥) 𝐹(𝑥) + ↗ 2

2(−2,) 3− ↘ 0 2 30 2(,+∞) 3+ ↗ 2

由上表可知：函数𝐹(𝑥)的单调递增区间是：(−∞,−2)，(,+∞)；单调递减区间是：(−2,)。

33

5、已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥在点x0处取得极大值5，其导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a，b，c的值.

解:(Ⅰ)由图中可见f'x3ax2bxc与x轴的交点为1,0,2,0,且知a0.

22则知方程f'x3ax2bxc0的两根x11,x22, 23a2bc0,3a12b1c0,则有即

212a4bc0.3a22b2c0.𝑦 𝑂 1 2 𝑥

9ba,由此可得2c6a,①②

当x1时,所取得的极大值是f1abc=

5a; 2当x2时,所取得的极小值是f28a4bc4a.

由于a0,则知当x1时,fx所取得的极大值是最大值.所以x01. (Ⅱ)由f1abc=

kx5a=5,所以a2.将此代入①②得b=－9,c=12. 26、设函数f(x)xe(k0)

（Ⅰ）求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

（Ⅲ）若函数𝑓(𝑥)在区间(−1,1)内单调递增，求k的取值范围. 解：（Ⅰ）f'x1kxekx,f'01,f00,曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为yx.

1k0， k'kx（Ⅱ）由fx1kxe0，得x若k0，则当x,1'时，fx0，函数fx单调递减， k当x1,,时，f'x0，函数fx单调递增， k1'时，fx0，函数fx单调递增， k若k0，则当x,1'x当,,时，fx0，函数fx单调递减，

k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，则当且仅当11，即k1时，函数fx1,1内单调递增， k若k0，则当且仅当11，即k1时，函数fx1,1内单调递增， k综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1.

7、如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S． （I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值．

解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），则点C的

D C 2𝑟 A 2𝑟 B x2y222横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程221(y≥0)，解得y2rx(0xr)

r4r1S(2x2r)2r2x2

2 2(xr)r2x2，其定义域为x0xr．

2220xr， （II）记f(x)4(xr)(rx)，2则f(x)8(xr)(r2x)．令f(x)0，得x1r． 21fr是f(x)的最大值． 2因为当0xrr时，f(x)0；当xr时，f(x)0，所以22因此，当x1r时，S也取得最大值，最大值为2332r． 221332frr． 22即梯形面积S的最大值为8、已知二次函数f(x)axbx,f(x1)为偶函数，函数f(x)的图象与直线y=x相切. （1）求f(x)的解析式；

（2）若函数g(x)[f(x)k]x在[1,1]上是单调增函数，求k的取值范围.

解：（1）𝑓(𝑥+1)=𝑎(𝑥+1)2+𝑏(𝑥+1)=𝑎𝑥2+(2𝑎+𝑏)𝑥+𝑎+𝑏，因为𝑓(𝑥+1)为偶函数，所以

2𝑎+𝑏=0①； 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥又由{，消去𝑦得：𝑎𝑥2+(𝑏−1)𝑥=0，因为函数𝑓(𝑥)的图象与𝑦=𝑥相切，所以

𝑦=𝑥

𝑏−1=0，②。

由①②得：𝑎=−，𝑏=1. 所以𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥。

2

2

1

1

（2）𝑔(𝑥)=[𝑓(𝑥)−𝑘]𝑥=−𝑥3+𝑥2−𝑘𝑥，𝑔’(𝑥)=−𝑥2+2𝑥−𝑘，因为𝑔(𝑥)在[−1，1]上是单调函数，所以

2

2

13

𝑔’(𝑥)≥0当𝑥∈[−1,1]时恒成立，所以𝑘≤−2𝑥2+2𝑥，

因为−𝑥2+2𝑥=−(𝑥−)+，当𝑥∈[−1,1]时，最大值为，最小值为−，

223332所以𝑘≤−.

273

3

22

2

2

7

3

9、设𝑓(𝑥)=

𝑒𝑥1+𝑎𝑥24

，其中𝑎为正实数.

（Ⅰ）当𝑎=3时，求𝑓(𝑥)的极值点；

（Ⅱ）若𝑓(𝑥)为R上的单调函数，求a的取值范围。

1ax2ax解：对f(x)求导得f(x)e.①

(1ax2)2x（I）当a

431，若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.综合①,可知， 322当𝑥上变化时，𝑓′(𝑥)、𝑓(𝑥)变化情况如下表：

𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) 1(−∞,) 2+ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,+∞) 2+ ↗ 所以，x131是极小值点，x2是极大值点。 22（II）若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax22ax10

在R上恒成立，因此4a4a4a(a1)0,，由此并结合a0，知0a1.

,其中

,曲线

在点

处的切线与

轴相交于点

.

210设

(1)确定的值; (2)求函数

的单调区间与极值.

6

解：（1）因为𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−5)2+6ln𝑥，故𝑓′(𝑥)=2𝑎(𝑥−5)+𝑥.

令𝑥=1，得𝑓(1)=16𝑎，𝑓′(1)=6−8𝑎，所以曲线在(1,𝑓(1))的切线方程为：𝑦−16𝑎=(6−8𝑎)(𝑥−1)，由点(0,6)在切线上可得：6−16𝑎=8𝑎−6，所以𝑎=。

21

（2）由（1）知𝑓(𝑥)=2(𝑥−5)2+6ln𝑥(𝑥>0)，𝑓′(𝑥)=𝑥−5+𝑥=令𝑓′(𝑥)=0，解得：𝑥1=2，𝑥2=3.

当𝑥∈(0,+∞)上变化时，𝑓′(𝑥)、𝑓(𝑥)变化情况如下表： 𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) (0,2) + ↗ 2 0 𝑓(2) 9

16(𝑥−2)(𝑥−3)

𝑥

。

(2,3) − ↘ 3 0 𝑓(3) (3,+∞) + ↗ 由上表可知：函数𝑓(𝑥)的单调递增区间是(0,2)，(3,+∞)；单调递减区间是(2,3)。 函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极大值𝑓(2)=2+6ln2；在𝑥=3处取得极小值𝑓(3)=2+6ln3. 11设函数𝑓(𝑥)=𝑎2ln𝑥−𝑥2+𝑎𝑥，a0 （Ⅰ）求𝑓(𝑥)的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数𝑎，使𝑒−1≤𝑓(𝑥)≤𝑒2对𝑥∈[1,𝑒]恒成立． 解：（Ⅰ）解：因为f(x)alnxxax.其中x0，

22a2(xa)(2xa)2xa 所以f(x)， xx 由于a0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,)，

（Ⅱ）证明：由题意得，𝑓(1)=𝑎−1≥𝑒−1，即𝑎≥𝑒，由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单调递增，

要使e1f(x)e对x[1,e]恒成立，

2

f(1)a1e1,只要 222f(e)aeaee解得ae.

12、设𝑙为曲线𝐶:𝑦=

ln𝑥𝑥

在点(1，0)处的切线.

(I)求𝑙的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方。 解: （I）设f(x)lnx1lnx，则f(x).所以f(1)1.所以L的方程为yx1. 2xx(II)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0,x1).

x21lnx. g(x)的定义域是(0,+∞)，且满足g(1)0，且g(x)1f(x)2x容易看出：𝑔′(1)=0. 当0x1时，所以g(x)0，；当x1时，x210，x210，lnx0，lnx0，所以g(x)0，.

当𝑥在(0,+∞)内变化时，𝑔′(𝑥)、𝑔(𝑥)变化情况如下表： (0,1) 𝑥 1 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) − ↘ 0 0 (1,+∞) + ↗ 由上表可知，𝑔(1)是函数𝑔(𝑥)的最小值。 所以，g(x)g(1)0（x0,x1）. 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方. 又解：g(x)0即x12lnx0变形为x2xlnx0， x12x2x1(2x1)(x1)记h(x)xxlnx，则h(x)2x1，

xxx所以当0x1时，h(x)0，h(x)在（0,1）上单调递减； 当x1时，h(x)0，h(x)在（1，+∞）上单调递增。 所以h(x)h(1)0.

练习

1、曲线𝑦=

12

sin𝑥sin𝑥+cos𝑥

−在点𝑀(,0)处的切线的斜率为（）

2

412

√2 2

1𝜋

A．− B． C．−【答案】B

D． √22

2、已知函数yx3xc的图像与x轴恰有两个公共点,则c A．2或2 【答案】A 3、若S1B．9或3

23（ ） D．3或1

（ ）

C．1或1

1x2dx,S22121dx,S3exdx,则S1S2S3的大小关系为

1xA．S1S2S3 B．S2S1S3 C．S2S3S1 D．S3S2S1 【答案】B

exe24、设函数fx满足xfx2xfx,f2,则x0,时，fx

x82（ ）

A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值

C．既有极大值又有极小值 【答案】D

xD．既无极大值也无极小值

k5、已知e为自然对数的底数,设函数f(x)(e1)(x1)(k1,2),则 A．当k1时,f(x)在x1处取得极小值 C．当k2时,f(x)在x1处取得极小值 【答案】C

B．当k1时,f(x)在x1处取得极大值 D．当k2时,f(x)在x1处取得极大值

（ ）

6、设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数yxf(x)的图象可能是（）

yyyy-2-2OxOx-2Ox-2OxABCD

【答案】C

7、𝑓′(𝑥)是f(x)的导函数，𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( ) B C D A 【答案】D

8、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A

9、设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所

示，则yf(x)的图象最有可能的是（）

【答案】C

10、已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )

11

A．当x＝时f(x)取最大值 B．当x＝时f(x)取最小值

ln2ln211

C．当x＝－时f(x)取最大值 D．当x＝－时f(x)取最小值

ln2ln2【答案】D

11、直线𝑙过抛物线C:𝑥2=4𝑦的焦点且与𝑦轴垂直,则𝑙与C所围成的图形的面积等于（ ） A．3 4

B．2 C．3 D．

T816√23

【答案】C 12、若

0x2dx9,则常数T的值为_________.

【答案】3

13、若曲线𝑦=𝑘𝑥+ln𝑥在点(1,𝑘)处的切线平行于x轴,则𝑘= ______. 【答案】−1

14、设函数f(x)在(0,)内可导,且f(e)xe,则𝑓′(1)=______________。 【答案】2

15、设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,f(1))处的切线的斜率为_________. 【答案】1

22𝜋𝜋

16、已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−cos𝑥，对于[−,]上的任意𝑥1,𝑥2，有如下条件：①x1x2；②x1x2；③x1x2．

xx22

其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是．

【答案】② 17、如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________. 【答案】3；-1

18、已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(12,5)，C(1,0).函数yxf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为_______ . 【答案】 41

19、设a0.若曲线yx与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,则a______.

【答案】由已知得Sa02224axx2|0a2a2,所以a2,所以a.

333933120、计算定积分【答案】

111(x2sinx)dx___________.

2【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 32x3111112(xsinx)dxcosx|cos1cos11. 133333321、曲线yx3x3在点1,3处的切线方程为___________________.

【答案】2xy10. 解析:y|x131212,所以切线方程为y32x1,即2xy10. 22、已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是___________． 【答案】(,2ln22]

23、函数f(x)x3x1在x处取得极小值. 【答案】2

24、f(x)是一次函数，且∫0𝑓(𝑥)𝑑𝑥＝5，∫0𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥＝【答案】𝑦=4𝑥+3

25、∫−2√4−𝑥2𝑑𝑥=.（利用定积分的几何意义） 【答案】2π.

[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，

2

∴有∫−2√4−𝜋2

3211

17

，那么f(x)的解析式是_______________。 6

2

𝑥2𝑑𝑥＝

π·22

＝2π. 2

26、∫0(sin2+cos2)𝑑𝑥的值是_____________。 π

【答案】＋1

2

27、已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 28、设f(x)alnx(Ⅰ) 求a的值;

(Ⅱ) 求函数f(x)的极值. 解:(1)因fxalnx𝑥

𝑥2

13x1,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. 2x213a13x1,故fx2 2x2x2x2由于曲线yfx在点1,f1处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f10, 从而a130,解得a1 22(2)由(1)知fxlnx13x1x0, 2x21133x22x1fx2 2x2x22xfx(3x1)(x1) 22x11(因x2不在定义域内,舍去),

33令fx0,解得x11,x2当x0,1时,fx0,故fx在0,1上为减函数; 当x1,时,fx0,故fx在1,上为增函数; 故fx在x1处取得极小值f13. 29、已知函数(1)当(2)求函数

时,求曲线

的极值.

,f(x)1在点

处的切线方程;

解:函数的定义域为

a. x2(x0), x(Ⅰ)当a2时,f(x)x2lnx,f(x)1f(1)1,f(1)1,

yf(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y1(x1),

即xy20.

(Ⅱ)由f(x)1axa,x0可知: xx①当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a0时,由f(x)0,解得xa;

x(0,a)时,f(x)0,x(a,)时,f(x)0

f(x)在xa处取得极小值,且极小值为f(a)aalna,无极大值.

综上:当a0时,函数f(x)无极值

当a0时,函数f(x)在xa处取得极小值aalna,无极大值.

30、已知函数f(x)131a2xxaxa(a0,xR) 32（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

2解：（I）f(x)x(1a)xa(x1)(xa),由f(x)0,得x11,x2a0，

当𝑥上变化时，𝑓′(𝑥)、𝑓(𝑥)变化情况如下表： (−∞,−1) (−1,𝑎) 𝑥 −1 𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥) + ↗ 0 − 𝑎 0 (𝑎,+∞) + 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数𝑓(𝑥)的单调递增区间是(−∞,−1)，(𝑎,+∞)；单调递减区间是(−1,𝑎).

（II）由（I）知𝑓(𝑥)在(−2,−1)内单调递增，在(−1,0)内单调递减，从而函数在区间(−2,0)内恰有两个零点当且仅

𝑓(−2)<0

1

当{𝑓(−1)>0，解得0<𝑎<。

3

𝑓(0)<0所以，a的取值范围是(0,3).

31、已知函数f(x)xxsinxcosx.

(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(a,f(a)))处与直线yb相切,求a与b的值. (Ⅱ)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点,求b的取值范围. 解:由f(x)xxsinxcosx,得f(x)x(2cosx).

(I)因为曲线yf(x)在点(a,f(a))处与直线yb相切,所以f(a)a(2cosa)0bf(a),解得a0,

221

bf(0)1.

(II)令f(x)0,得x0. f(x)与f(x)的情况如下:

x(,0)0(0,) f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增,f(0)1是f(x)的最小值.

当b1时,曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点;

当b1时,f(2b)f(2b)4b2b1>4b2b1b, f(0)1b,

所以存在x1(2b,0),x2(0,2b),使得f(x1)f(x2)b. 由于函数f(x)在区间(,0)和(0,)上均单调,所以当b1时曲线yf(x)与直线yb有且只有两个不同交点.

2综上可知,如果曲线yf(x)与直线yb有且只有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,). 32、已知函数f(x)ex(axb)x24x,曲线yf(x)在点(0,f(0))处切线方程为y4x4. (Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

解：(Ⅰ)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑎𝑥+𝑎+𝑏)−2𝑥−4，由已知得𝑓′(0)=4，𝑓(0)=4,故{

x2𝑎+𝑏=8

，从而𝑎=𝑏=4。

𝑏=4

fx)4e(x1)x4x,f1(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex). (II) 由(I)知,（令𝑓′(𝑥)=0，解得𝑥=−ln2或𝑥=−2，从而当𝑥∈(−∞,−2)∪(−ln2,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0；当𝑥∈(−2,−ln2)

时，𝑓′(𝑥)<0.

故𝑓(𝑥)在(−∞,−2)，(−ln2,+∞)上单调递增，在(−2,−ln2)上单调递减.

当𝑥=−2时，函数𝑓(𝑥)取得极大值，极大值为𝑓(−2)=4(1−𝑒−2). 33、设函数f(x)tx2txt1(xR，t0)。 （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

22122)恒成立，求实数m的取值范围． （Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，解：（Ⅰ）𝑓(𝑥)=𝑡(𝑥−𝑡)2−𝑡3+𝑡−1，因为𝑡>0，所以f(x)的最小值ℎ(𝑡)=−𝑡3+𝑡−1； （Ⅱ）若ℎ(𝑡)<−2𝑡+𝑚对𝑡∈(0,2)成立，则−𝑡3+𝑡−1<−2𝑡+𝑚对𝑡∈(0,2)成立，于是

𝑚>−𝑡3+3𝑡−1对𝑡∈(0,2)成立，

令𝑔(𝑡)=−𝑡3+3𝑡−1，则𝑔′(𝑡)=−3𝑡2+3，令𝑔′(𝑡)=0解得：𝑡1=−1(舍)，𝑡2=1， 当𝑡∈(0,2)变化时，𝑔′(𝑡)、𝑔(𝑡)变化如下表： 𝑡 𝑔′(𝑡) 𝑔(𝑡) (0，1) + ↗ 1 0 (1，2) − 最大值 ↘ 由上表可知，当𝑡=1时，函数𝑔(𝑡)在(0,2)取得最大值𝑔(1)=1，所以𝑚>1.

34、已知a，b是实数，函数f(x)xax,g(x)xbx,f(x)和g(x)是f(x),g(x)的导函数，若

32f(x)g(x)0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致.

（1）设a0，若函数f(x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a0,且ab，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值. 解析：（1）因为函数f(x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致，所以，x[1,),f(x)g(x)0,

''（3x+a）(2x+b)0,即x[1,),即

2a0,x[1,),2x+b0,

a0,x[1,),b2x,b2;

（2）当ba时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，

（3x+a）(2x+b)0, 所以，x(b,a),f(x)g(x)0,x(b,a),ba0,x(b,a),2xb0，x(b,a),a3x2,ba3b2,

设zab，考虑点(b,a)的可行域，函数y3x的斜率为1的切线的切点设为(x0,y0)则

2''2111116x01,x0,y0,zmax()；

6121266当ab0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，x(a,b),f(x)g(x)0,即

''x(a,b),（3x2+a）(2x+b)0,b0,x(a,b),2xb0，x(a,b),a3x2,

11a3a2,a0,(ba)max;

33当a0b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，x(a,b),f(x)g(x)0,即

''x(a,b),(2x+b)（3x2+a）0,（3x2+a）(2x+b)=ab<0,不符合题意， b0,而x=0时，

2220,x(a,0),3x+a0,3aa0, 当a0b时，由题意：x(a,0),2x（3x+a）综上可知，abmax11a0,ba

331。 3x35、设函数f(x)lnxax,g(x)eax,其中a为实数.

(1)若f(x)在(1,)上是单调减函数,且g(x)在(1,)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(1,)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)由f'(x)'x

1111a0即a对x(1,)恒成立,∴amax，而由x(1,)知<1，∴a1； xxxx'''由g(x)ea令g(x)0则xlna，当xlna时g(x)>0, 所以𝑥=ln𝑎时，函数g(x)有最小值。

∵g(x)在(1,)上有最小值 ∴lna>1 ∴a>e 综上所述:a的取值范围为(e,)

(2)证明:∵g(x)在(1,)上是单调增函数

∴g(x)ea0即aex对x(1,)恒成立, ∴ae'xxx；而当时,>ex(1,)min11∴a ee分三种情况:

(Ⅰ)当a0时, f'(x)1>0 ∴f(x)在x(0,)上为单调增函数 x∵f(1)0∴f(x)存在唯一零点 (Ⅱ)当a<0时,f'(x)a1a>0 ∴f(x)在x(0,)上为单调增函数 xaa∵f(e)aaea(1e)<0且f(1)a>0 ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅲ)当00;x>1时,f'(x)a<0 ∵当0aaaa11①当lna10时,lna10,a,f(x)有唯一零点xe

ea1②当lna1>0时,0e1111a111实际上,对于00

eeeeeaaa且函数在,1111上的图像不间断∴函数f(x)在,上有存在零点。 eaea另外,当x0,11'11,>0,故在上单调增,∴在f(x)f(x)f(x)a0,0,只有一个零点

xaaa1a1a1a11a12a1下面考虑f(x)在,的情况,先证f(e)lneaealneaea(ae)<0

a为此我们要证明:当x>e时,ex>x2,设h(x)ex ,则h(x)e2x,再设l(x)e2x ∴l(x)e2

当x>1时,l(x)e2>e-2>0,l(x)e2x在1,上是单调增函数

'xx'xx2'xx故当x>2时,h(x)e2x>h(2)e4>0

从而h(x)ex在2,上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)ex>h(e)ee>0

x2x2e2'x'2即当x>e时,ex>x2,

1a1a1a11a12a11当0e时,f(e)lneaealneaea(ae)<0

e1111a1又f()lnalna1>0 且函数f(x)在a,e上的图像不间断,

aaa∴函数f(x)在a,e1a11a(x)1a<0故f(x)在a1,上是单调减上有存在零点,又当x>时,f'(x)xa函数∴函数f(x)在a,只有一个零点

综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当a0时,f(x)的零点个数为1;当011时,f(x)的零点个数为。 e