高等数学B(2)练习题

高等数学B（2）练习题

一、选择题

1. 设f(x)是连续函数，a,b为常数，则下列说法不正确的是 ( ). A. f(x)dx是常数 B. xf(t)dt是x的函数

aabbC. xaf(t)dt是x的函数 D. xf(t)dt是x与t的函数

axax2．设函数f(x)连续，则f(t)dt为 （ ）. A.f(t)的一个原函数 B.f(t)的所有原函数 C.f(x)的一个原函数 D.f(x)的所有原函数 3. 下列积分可直接使用牛顿-莱布尼茨公式的是( ).

4x11dx15x3dxdx C. 03A. 2 D. 1 dx B. 1220x1xlnx21xe(x5)4. 下列等式正确的是( ).

df(x)dxf(x)C dxdxdbf(t)dtf(x)C. a D. af(x)dxf(x) dxdx5. 下列等式正确的是( ).

dA. f(x)dxf(x) B. f(x)dxf(x)C

dxdbdbC. af(x)dxf(x) D. af(x)dx0

dxdxA. f(x)dxf(x) B.

6．设函数(x)(xt)dt，则(x)= ( ).

0xA.3x B.2x C.0 D.(xt)dt

0x7．极限limx0tan2tdtx3x0 （ ）.

A．- B.

11 C. 0 D. 63 （ ）.

8．设limx0x20tantdtx4A．0 B.

1 C. 1 D. 2 2 1

9．定积分xxdx（ ）.

-11A．0 B.

1242 C. D.  3331210.设I1x2dx，I2exdx，则（ ）.

00A．I1I2 B. I1I2 C. I1I2 D. I1I2 11．函数yx2在区间[1,3]上的平均值为（ ）. A．

2613 B. C. 8 D. 4 331112. 如果f(x)在[1,1]上连续，且平均值为2，则f(x)dx ( ). A. -1 B. 1 C. -4 D. 4 13．若定积分kdx2ln2，则常数k （ ）. 01x1A.2 B.

1 C. ln2 D. ln22 214．曲线fxsinx在0,上与x轴所围的平面图形面积为 （ ） . A．1 B．2 C．2 D．

15. 由曲线yx与直线x0，y1所围成的平面图形，绕y旋转一周所形成的旋转体体积等于 ( ) .

4A. B. C. D.

255+116.广义积分dx收敛的充分必要条件为 ( ) .

1xpA.p1 B.p1 C.p1 D.p1

17. 下列广义积分收敛的是 ( ). A. +1+dx+dx+dxdx B. C. D. 3111xxxxx18．下列哪个是广义积分 （ ）. A.e2e11311dx3dx D.dx B.(x1)dx C.1310(x5)2xlnxx19．下列广义积分中收敛的有 （ ）． A.

+1x1dx B.

+cosxdx

2

C.

+21dx D . x0exdx

20．下列广义积分收敛的是 ( ) . A. +1+dx+dx+dxdx B.  C.  D. 3 111xxxxx21．下列广义积分发散的是 ( ) . A. +1+dx+dx+dxdx B. C. D. 23111xxxxx22．下列广义积分收敛的是 ( ) . +++dx+dxA. lnxdx B.  C.  D. exdx x010eexlnx23．下列广义积分收敛的是（ ）. A．1xx1dx B.1111dx C.dx D.dx

11xlnxx24．下列广义积分收敛的是 ( ) . A. 1dx1dx1dxdx B.  C. 2 D. 3

00x0x0xx125．下列广义积分发散的是 ( ) .

1dx1dx1dxdxA.  B.  C.  D. 4 203000xxxx126．下列广义积分收敛的是（ ）. A．1lnx11xdx B.  C. D. dxdxdx 231111xxxx27.下列广义积分发散的是( ). A. 28.11111dx D. dx C. dx B. dx

111xx2x2xxx21dx收敛，则k满足（ ）. kx(lnx)A．k1 B. k1 C. k0 D. ke

29．下列反常积分收敛的是 （ ）．

1A. dx B. cosxdx

01x2 C. 1011dx D. dx21xx 3

30．下列无穷限积分收敛的是 （ ）． A．  1 1 1 11dxdx C． D．dx B．dx23 1 1 1xxxx31.当x0时,F(x)t2f(t)dt的导数与x2为等价无穷小，则f(0)( ).

0xA. 0 B. 1 C. 2 D. 3

32．设级数un的前n项部分和为Sn ，如果级数un收敛，那么（ ）.

n1n1A．limSn0 B．limuk0 C．limSn存在 D．limun0

nnk1nnn33.关于级数(1)n1n11收敛性的下列结论，中正确的是（ ）. npA.0p1时条件收敛 B. 0p1时绝对收敛 C. p1时条件收敛 D. 0p1时发散

1（-1)n1，下列说法正确的是 ( ) . 34.关于级数nn1A.此级数是发散的 B.此级数的通项极限不为零

C.此级数是收敛的 D.此级数的敛散性无法判断 35. 若级数un收敛，则下列结论中不正确的是（ ）.

n1（u2n1u2n）A.收敛 B. kun,(k0)收敛

n1n1un0 C. un收敛 D. limnn136. 若级数在un收敛，则下列级数中发散的是（ ）.

n1（un+100）A.100un B.  C. 100un D. un+100

n1n1n1n137.设正项级数un收敛，下列级数一定收敛的是（ ）.

n1 4

A．nun B. n1n112 un C.  D. unn1unn138．下列级数中条件收敛的是（ ）.

11n1n1A．sin2 B. (1)2 C. (1) D. (1)nn

n2nnn1n1n1n139.下列级数中绝对收敛的是 ( ) .

3(1)nn1nA.  B. (1)n

2nn1n1C. (1)n1n1n1 D. (1)n1 2n1nn140．下列级数发散的是（ ）.

1n3n1n1A．sin B. (1) C.() D.()3

n12n1n1n14n1n41．下列级数中绝对收敛的有 （ ）.

(1)n11nA．(1)() B．

3nn1n1n1nn D． 2n2n1n1C．(1)n1n142．下列级数收敛的是 （ ）．

A.

1n B.

n1n111 C. D. 5n13n1n15n1n

43.下列级数中发散的是（ ）.

1nnn1A.(1) B. (1)n C.  D. n

n3n1n1n13n1n13n44．下列级数收敛的是（ ）. A．n12n2n141 B. n C.  D. [2()n]

3nnn1n13n1n45.下列级数中绝对收敛的是 （ ）．

(1)n1(1)n1(1)n(1)n C. D.  A. 3 B. 1nnnn1n1n1n1n3xn46．幂级数的收敛域是 （ ）．

nn0 5

A. [1,1] B. [1,1) C. (1,1) D. (1,1] 47.幂级数anxn在x2处条件收敛，则该级数在x1处 （ ）.

n1A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 敛散性不定 48.若annnx的收敛半径为R，则anx3的收敛区间为（ ）

n1n1A. (R,R) B. (R3,R3) C. (3R,3R) D. (R,R) 49．将函数ex3展开成x的幂级数，其中x3项的系数为 （ ）．

A. 13!33 B. 12!32 C. 113!32 D. 2!33 50.点(1,1,1)关于xy平面的对称点是( ) .

A. (1,1,1) B. (1,1,1) C. (1,1,1) D. (1,1,1) 51．函数z1ln(1xy)的定义域是 （ ）．A. {(x,y)|xy0} B. {(x,y)|xy0} C. {(x,y)|xy1} D. {(x,y)|xy1,xy0} 52. 设函数f(x,y)=x2y2xy，则f(tx,ty)= ( ) . A. tf(x,y) B.t2f(x,y) C. t3f(x,y) D. 以上都不对 53. 设f(x,y)xyxy，则f(xy,xy)（ ）. A. 2x2xx2yy2x2 B. x2y2 C. x2y2 D. x2y2

54．函数f(x,y)x2y2在点(0,0)的两个偏导数fx(0,0)和fy(0,0) （ A．都等于0 B．分别等于0和1 C．分别等于1和0 D．不存在

55．设函数zf(x,y)，则fx(x0,y0)＝ （ ）. A．f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(limx0x B．limx0,y0)x0x 6

.

）

C．limx0f(x0x,y)f(x0,y0)f(x0x,y)f(x,y) D．lim

x0xx56．设函数f(x,y)xy，则下列结论正确的是 （ ）． A. 点(0,0)不是驻点 B. 点(0,0)极小值点 C. 点(0,0)极大值点

D. 点(0,0)是驻点但非极值点

57. 点(x0,y0)使fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0成立，则（ ）. A. (x0,y0)是f(x,y)的极值点 B.(x0,y0)是f(x,y)的最小值点 C. (x0,y0)是f(x,y)的最大值点 D. (x0,y0)是f(x,y)的驻点 58. 若f(xy,xy)x2y2，则

(x,y)(x,y)（ ）. xy A. 2x2y B. xy C. 2x2y D. xy

59.二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在是在该点连续的（ ）.

A．既非充分又非必要条件 B.充分条件 C．必要条件 D.充分必要条件。

（x0，y0）60.函数zf(x,y)在处偏导数

zz,存在是它在该点可微的（ ）. xyA．充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 61.函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在两个连续偏导数是在该点可微的（ ）.

A．既非充分又非必要条件 B.充分条件 C．必要条件 D.充分必要条件。

62. 若f(x,y)在区域D内有二阶偏导数，则下列结论正确的是（ ）.

2f2f A. 必有 B. f(x,y)在D内可微 xyyx C. f(x,y)在D内连续 D. 以上都不对

63.设(x)2(y)2，zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是( ) . A. zf(x,y)在(x0,y0)处连续.

7

B. zf(x,y)在(x0,y0)处存在偏导数. C. lim[zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y]0.

0D. lim[0zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y]0.

．已知ydxxdy为某一个二元函数的全微分，则这个二元函数为（ ）．

A. x2y2 B.x2y2 C.

2y D. xy x65.设zexy2，则

zz （ ）. xyA. 2x2y B. 2z(xy)

C. 2z(xy) D. 2x2y 66.设zex2y2，则

zz （ ）. xyA. 2x2y B. 2z(xy)

C. 2z(xy) D. 2x2y 67.设xlnzz，则 （ ）. yxA. 1 B. ex

C. yex D. y

68.函数f(x,y)x2xyy2xy1的驻点是（ ）. A．(1,1) B. (1,1) C. (1,1) D. (1,1) 69.设zx22xy2，则它的驻点是（ ）. A．(1,0) B. (1,1) C. (1,0) D. (1,1) 70.设f(x,y)(x4)2y2，则点(4,0) （ ）.

A．不是驻点 B. 是驻点但非极值点 C. 极大值点 D. 极小值点 71.二元函数zx3y33x23y29x的极小值点是（ ）.

8

A.(1,0) B. (1,2) C. (3,0) D. (3,2) 72.设f(x,y)ddxD111x20f(x,y)dy，则D可表示为（ ）.

22A. xy1 B. xy1,x0

22C. x2y2x,y0 D. x2y21,y0

73. 设区域D(x,y)x2y2a2，若a2x2y2dxdy，则a（ ）.

D A．1 B．3331 C．3 D．3 24274．设D是由(x,y)1x2y24所围成的闭区域，则dxdy （ ）.

DA．9 B．4 C．3 D． 2 75.设 D:xyR,R0 ，且222DR2x2y2d2，则R （ ）. 3A. 3331 B. 3 C. 3 D. 1 242276．设D:x2y21，I1xexDy2dxdy，I2exD2y2． dxdy，则 （ ）

A. I1I2 B.I1I2 C.I1I2 D. 以上都不对 77. 设f(x,y)连续，且f(x,y)xyf(u,v)dudv，其中D是由

D． y0,yx,x1围成的区域，则f(x,y) （ ）A．xyB．2xyC．xy1 D．xy1 4

78．设区域D由yx，yx2所围成，则f(x,y)d （ ）．

D A. C.

2101dxx2xf(x,y)dy B.

y010dyxxyyf(x,y)dx

0dy2f(x,y)dx D.

xx1dx2f(x,y)dy

79. 交换积分次序0dxxf(x,y)dy（ ）.

A. 0dyyf(x,y)dx B. dyf(x,y)dx

002222 9

C. dyf(x,y)dx D. dyf(x,y)dx

0x02222x80．微分方程xy2(y)4x2y0阶数为 （ ）.

A.4 B.3 C.2 D.1 81.下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ ）.

A. (yxy)2x2yy B. (y)25(y)4y5x70 C. (x2y2)dx(x2y2)dy D. xyyy0 82．下列方程中为线性的是（ ）.

A．yexy B. yy2sinx C. x2dx(y22xy)dy D. xyye2x0 83．某二阶方程的下列解中为通解的是（ ）.

A．yCsinx B. yC1sinxC2cosx C. ysinxcosx D. y(C1C2)cosx

d2ydy84.关于微分方程22yex，下列结论正确的是( ) .

dxdx(1)该方程是齐次微分方程. (2)该方程是线性微分方程.

(3)该方程是常系数微分方程. (4)该方程是二阶微分方程. A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D. (2)(3)(4) 85．方程yy的通解为 （ ）. A．yCex B．ysinxC C．ylnxC D．yxC 86. 微分方程ysinx的通解为 （ ）.

A. ycosxC B. ysinxCx C. ysinxC1xC2 D. ycosxC1xC2 87.微分方程ycosx的通解为 （ ）.

A. ycosxC B. ysinxCx C. ycosxC1xC2 D. ycosxC1xC2 88. 微分方程yxy的通解是（ ）.

10

A. yCex22 B. yCex2 C. yCe D. yCe

x22x2. 微分方程sinxcosydycosxsinydx0的通解为 （ ）．

A. sinxcosyC B. tanxsinyC

C. sinxsinyC D. cosxcosyC 90. 微分方程yy的通解是（ ）. xC1A. yCx B. y C. y4x D. y

xx91．方程y2yy0的通解为 （ ）． A. y(C1C2x)e B. y(C1C2x)e C. yC1C2xe D. yC1C2xe 92. 微分方程xlnxyy的通解是（ ）.

A. yC1xlnxC2 B. yC1x(lnx1)C2 C. yxlnx D. yC1x(lnx1)2 93．方程y4y0的通解为 （ ）.

A．yC1e2xC2e2x B. y(C1C2x)e2x C. yC1C2e4x D. yC1cos2xC2sin2x

94．yf(x)满足方程yye2x且f(x0)0，则f(x)在x0处 （ ）. A．有极小值 B. 有极大值 C.无极值 D. 无法判定 95．设非齐次线性微分方程yp(x)yq(x)有两个无关的解y1(x)、y2(x)，C为任意常数，则方程yp(x)y0的通解是 （ ）. A．Cy1(x)y2(x) B．Cy1(x) C．Cy1(x)y2(x) D．Cy2(x)

11

xxxx

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1.11x2dx . 2.

1xcosx2x21dx _________.

22xdx__ _________. 3. 定积分-2(1x2)24.

a13xsin2xcosx4x2___ __.

1dx5.x[f(x)f(x)]dx____ _. a6.(x2sin3x)dx . -7．积分

11(xsinx3x522xx12)dx ．

8. 已知kx(1x2)2dx32，则k=__ __________.

029.如果f(x)在(1,1)上连续，且平均值为2，则

11f(x)dx1 .

10. 若函数f(x)在[1,1]上连续，且平均值为4，则1f(x)dx_________. 11．设函数

fx2ln1t2dtxx20，则导数f1 ．

12. 设f(x)etdt，则f(x)=__ _.

a13. 设f(x)0sinxtdt，则f(x)= .

14. 设f(x)atdt，则f(x)=__ ______.

15．设函数f(x)sint2dt，则f(x) .

xx2x216．设函数

F(x)1xtedtt2，则导数F(x) ．

1sinxt17.极限limedt .

x0x0

x218.已知f(x)在R上连续，且，则F(0)_ ___.

F(x)2tdtsinx 12

19. 由yx23与直线x0，x1及x轴所围成的平面图形，其面积等于 . 20．若广义积分

11x1p20dx收敛，则参数p满足的条件为 ．

21.广义积分0xexdx________.

22．若级数(10un)收敛，则limun . n1n23. 设级数un的部分和Snn13n，则级数的通项un . n124. 级数2nsinn13n的敛散性为 （填写收敛或发散）．

25.级数a(常数a0)收敛的充分条件是 . nqn126．几何级数aqn(a0)，当 时收敛.

n02n27．级数n的收敛和S .

n1328.幂级数n1xn的收敛区间为___ ______. n29.若幂级数an(x1)n在x0处收敛，则其收敛半径必不小于_________. n130．幂级数12n1x的收敛半径为 ． n2n1131.级数n _________.

n03n!11n!n032.已知数项级数收敛，则级数n0n!的和为 .



33.函数f(x)ex的幂级数展开式为 . 34. 将函数e展开成x的幂级数为 .

13

x3

35. 将函数e3x展开成x的幂级数为 . 36.将函数f(x)1x13展开成关于x的幂级数为 .

37. 将函数38.将

1展开成x的幂级数为 . 2x1展开成x的幂级数为 . 1x39. 将函数ln(1x)展开成x的幂级数为 .

1展开为x的幂级数为 . 3x1x41.函数关于的幂级数展f(x)1x式 .

40．函数f(x)开

42.函数f(x)e2x关于x的幂级数展开式为___ __. 43. 将函数ex展开成x的幂级数为 . 44．将函数xex展开成x的幂级数后，其中x4的系数等于 . 45．函数zln(4x2y2)x2y21的定义域为 . 46．函数zln(xy)1的定义域为 . xy47. 二元函数zln(1x2y2)定义域为 48.函数zx2y21ln(2x2y2)的定义域为 ． 49.设f(xy,xy)x2y2(xy),f(x,0)x,，则f(x,y) . 50.球面方程x2y2z22x4y20的球心为 ． 51．极限52．极限

sin(xy) . (x,y)(0,5)xlim(x,y)(0,4)lim1xy1 . 2x53．极限

ln(1xy) .

(x,y)(0,10)2xylim 14

54. 极限

xy11limx0xyy0 .

sin(x2y)55．极限lim . 2(x,y)(0,1)2x56.limx0y0sinx2y2(x2y)122 ．

57.设uln(xyz)，则ux(1,2,0)___________. 58.设zx2y3sinx，则zx(0,1)___________. 59.设zey(x2y2)，则zx(0,1)__________. 60.设f(x,y)2ycosxlnx，则fx(,1) . 61．设函数f(x,y)xy2x，则fx(2,1) . y62. 设函数f(x,y)exy，则fxy(1,1) . 63．函数f(x)ex2y2的全微分d(ex2y2) .

．函数zx2y3在点(1,2)处的全微分dz|(1,1)等于 . 65.设zf(x,y)是由方程F(x,y,z)0确定的函数，已知

zzc，则 .

yxFFb，a，yx66. 若D为yx2,yx3围成的区域，则二重积分

dD .

67. 若D(x,y)|x2y21,xy0,xy0，则d .

D68．设区域D：x2y22，则二重积分d .

D69.设D是x2y2a2(a0)所围区域，当a 时，d.

D70.设D是有0x1,0y所围区域，则xcosyd__________. D 15

71. 交换积分次序dxf(x,y)dy .

0x2272. 交换积分次序dx2f(x,y)dy .

0x1173.交换二次积分顺序，则dxf(x,y)dy_____ ____ . 001x74.交换二次积分顺序，则75.交换二重积分次序

dx022x2211x0f(x,y)dy_ ___.

Idxf(x,y)dy00x__ ___________．

76.交换二重积分次序Idxf(x,y)dy_ ____________． 77.交换二重积分次序Idx011x20f(x,y)dy__ ___．

78．积分dy01y0f(x,y)dx交换积分次序后为 .

1x0x79．交换累次积分的次序dxf(x,y)dy ．

dy80．交换累次积分

022y1yyfx,ydx的积分次序 .

81.二重积分0dyy2f(x,y)dx交换积分次序后为 . 82.xy2x2y2xyx1是_____阶微分方程. 83.y2ysinx1是_____阶微分方程.

84．设有一通过坐标的原点的曲线,其上任意一点的切线斜率等于方程为 .

85. 设曲线过原点O(0,0)，且曲线上任意一点的切线斜率等于x(1y),该曲线方程为 .

86．方程xyy0满足y(1)1的解是y ．

87.以ye2x,ye3x为特解的二阶常系数线性齐次微分方程是 .

1288. 微分方程y2yy0的通解为 . . 微分方程y2yy0的通解为 . 90. 微分方程y4y4y0的通解为 . 91．微分方程yy6y0的通解是 .

16

2y,该曲线1x

92. 微分方程y4y3y0的通解为 . 93. 微分方程y2y-3y0的通解为 . 94. 微分方程y\"6y'13y0的通解为__ _____. 95. 微分方程y2y2y0的通解为 . 96.通解为yC1exC2e3x（C1,C2为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程是___ ________.

97.以2和5为特征根的二阶常系数齐次微分方程为 . 三、计算题

2x,x011. 计算定积分f(x)dx，其中f(x)1.

1,x012x

22x,x1,2．求定积分f(x)dx，其中f(x)2．

1xx1

23x1,x0,3. 设函数f(x)x，计算定积分f(x2)dx.

1e,x0,

2x32x1dx. 4. 求定积分0x211

5. 求定积分x1x2dx.

01 6. 计算

7. 计算定积分0ex(1ex)2dx.

8. 计算定积分50sin2xsin4xdx.

ln21x1dx. x 17

9.计算3x01xdx.

10. 计算1x154xdx．

11．计算81113xdx.

12．计算定积分81013xdx．

13．计算定积分4x202x1dx.

14.计算定积分ln20ex1dx.

15.设f(x)xet211dt，求0f(x)dx.

16.计算定积分20xcosxdx.

17.求定积分10xexdx.

18.计算定积分10xe2xdx.

19.计算定积分51lnxdx.

20. 计算e2lnx1xdx.

21. 计算定积分e1(lnx)2dx.

18

22. 设设(x)(2t3t2)dt，试问当x为何值时，(x)取最大值？

0x

23. 讨论函数F(x)t(t4)dt在[1,5]上的增减性、极值.

0x

1sinxt24. 计算定积分lim0edt.

x0x

1xlim(cost1)dt. 25. 计算定积分

x0x30

26．计算极限limh0xhxhcost2dth(h0)．

27．计算极限limx0x01u2e1du. 3x

28. 求极限lim0x0xcostdxx2sinx3．

29. 若f(x)为可导函数，且满足f(x)13t2f(t)dt，求f(x)．

0x

30. 若f(x)为可导函数，f(x)>0，且满足f(x)4tf(t)dt，求f(x).

0x

31. 判断n1nsin22n3的敛散性. n

(n!)232. 判断的敛散性.

n1(2n)!

2n133. 判断的敛散性.

357(2n1)n1

19

34．判断级数(1)n1n1n5n1的收敛性，并说明是绝对收敛还是条件收敛.

35.判断级数

36．判断级数(1)n1n1sinn2的敛散性，若收敛，是绝对收敛？还是条件收敛？ (n1)n11的敛散性．若收敛，判断是条件收敛，还是绝对收敛． n!

(1)n137. 判断2n的敛散性，若收敛判断是绝对收敛还是条件收敛.

n1n2

(1)n138. 判断的敛散性，若收敛判断是绝对收敛还是条件收敛..

n1ln(n1)

(2x1)n39.求级数的收敛域.

nn1

5n(3)nnx的收敛半径和收敛域. 40. 求幂级数nn1

xn41．求幂级数的收敛半径和收敛域. nn1n5

42. 求幂级数nxn1的收敛域和和函数.

n1

43. 求幂级数 n1x2n的收敛域及和函数. 2n

x2n144．设幂级数(1)，求（1）收敛域；（2）和函数．

2n1n1n 20

xn145. 求幂级数n1的收敛半径和收敛域．

nn13

xn46. 求级数n的收敛半径与收敛域.

n13n

47. 求级数(1)n1n1xn5nn的收敛半径与收敛域.

48. 求幂级数nxn的收敛域及和函数．

n1

49．求幂级数(1)n1n1xn1的和函数． n

xn50. 求幂级数的收敛域和和函数.

n1n

xn151.求的收敛域及和函数.

n1n0

52. 求幂级数(1)n1n1xn的收敛域及和函数S(x)． n

53. 将f(x)

54. 将函数f(x)

55. 将f(x)

1展开为x1的幂级数，并求收敛域． 3x1展开为x的幂级数. 2xx21展开为x2的幂级数，并写出其收敛域．

x(x3)2z56．已知zxln(xy)，求

xy

(1,2).

21

2z2z57．设函数zcos(xy)，求2，．

xxy2

2z2z58. 设函数zsin(xy)2x3y，求2和.

xxy

3u59. 已知ue，求.

xyzxyz

60．设函数zexycos(x22y)，求偏导数

61. 求z(3x2y2)4x2y的偏导数.

2z2z62．已知函数zysin(x)，求二阶偏导数2，.

xxy2zz，． yx

63. 求函数zln(xlny)的全微分.

. 已知zx2y3xy2y2，求全微分dz.

65.求函数zesinxcosy的全微分dz.

66.求函数ze

67. 设函数zzx,y由方程xyzx2y2z22确定，求其在点1,0,1处的全微分dz|1,0,1．

68. 已知函数ze

(x2y2)lnxx2y22ycosx的全微分.

，求全微分dz.

22

69.设zexysin(xy)，求

zz,. xy70. 已知zx2yexy，求全微分dz.

71. 已知uln(x2y2z2)，求全微分du.

72.设zexyx2y，求dz.

73.设函数yf(x)由方程sinyexxy20确定，求

74.二元函数 yf(x)由方程xylnylnx0确定，求

75.设zu2lnv，其中u

76.设二元函数zf(x,y)由方程x3y3z3xyz6确定，求

77.设函数zz(x,y)由方程x2zyez所确定，求全微分dz．

78. 已知ezxyz3确定了函数zz(x,y)，求全微分dz.

79．设方程zezxy确定了函数zz(x,y)，求全微分dz.

80.二元函数zf(x,y)由方程ezxyz确定，求

81．方程ezxyz确定了函数zf(x,y)，求全微分dz．

zz,. xyzz,. xyxzz,v3x2y，求,. yxydy. dxdy. dx 23

82.二元函数 zf(x,y)由方程xyzxezyx确定，求

83.二元函数zf(x,y)由方程xyzxexyz确定，求

84.二元函数 zf(x,y)由方程

85.二元函数 zf(x,y)由方程ezxyz确定，求

86. 求函数z4(xy)x2y2的极值．

87. 求二重积分Idxsiny2dy．

1x132zz,. xyzz,. xyxzzzln确定，求,. zyxyzz,. xy

88. 计算x2ydxdy，其中D是由x0,y0,x2y21围成的位于第一象限的图

D形.

．计算二重积分xydxdy，其中D为抛物线yx2及y2x所围成的闭区域.

D

90. 计算xydxdy，其中D是由直线yx与曲线yx2围成的区域.

D

291. 求二重积分yd，其中D是由y2x与x1所围成的闭区域．

D

92. 计算(x2y2)d，其中D是由yx,yxa,ya,y3a (a0)围成的区

D域.

93.计算x2ydxdy，其中D是由yx，y

Dx

和x2所围成的区域． 2

24

94. 计算xydxdy，其中D是由x0,y0,xy1围成的区域.

D

95. 计算二重积分(2xy)dxdy，其中D是由直线y1,2xy30,与

Dxy30围成.

96. 计算I2xydxdy，其中D{(x,y)|x2y22x,y0}.

D

97．求二重积分xydxdy，其中D是由yx，x3，y1所围的闭区域．

D

98. 计算I2xydxdy，其中D{(x,y)|x2y24,x0,y0}.

D

99. 计算(x6y)dxdy，其中D是由yx,y5x,x1围成.

D

100. 计算Dsinxdxdy，其中D是由yx,yx2围成的区域. x

101.计算二重积分xexyd，D{(x,y)0x1,0y1}.

D

102.求微分方程(12y)xdx(1x2)dy0的通解.

103．求方程

104. 求微分方程yyex满足初始条件y|x01的特解.

105.求微分方程y

106.求方程求微分方程xyyex的通解.

2yx2ex的通解. xdy1ylnx满足y|x10的特解． dxx 25

107.求方程yyex的通解.

108.求微分方程y2xyxex的通解.

109. 已知f(1)1，若f(x)满足方程xf(x)f(x)0，求f(2).

110. 求微分方程y2y3y0的通解.

111．求微分方程yy2y0满足初始条件y|x03,y|x00的特解．

112.求微分方程y

113.求微分方程y

114.求微分方程x

115. 求微分方程y

116.求微分方程y

117.求微分方程xyy0的通解.

118. 求解微分方程y\"

119．求微分方程(1x2)yxy0的通解.

120．设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)x3xf(t)dt，试求f(x).

02122y(x1)3的通解. x12y(x1)2的通解. x1dy2yx3ex的通解. dxyex满足初始条件y10的特解. x1y的通解. x1y'xex. x

26

四、综合题

1.一平面图形由曲线yx3与直线x1,y0所围成，求 (1)该平面图形的面积;

(2)该图形x绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

2.一平面图形由曲线yx3与直线x0,y1所围成，求 (1)该平面图形的面积;

(2)该图形x绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

3.由抛物线yx2与y2x2围成一平面图形，试求： （1）此平面图形面积；

（2）此平面图形x绕轴旋转一周所得旋转体体积.

4.一平面图形由曲线yx与直线x1，x4，y0所围成，求 (1)该平面图形的面积;

(2)该图形x绕轴旋转一周所得旋转体的体积.

5．设平面图形由yx，x1，x4，y0所围成，求 （1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕y轴旋转一周形成的旋转体体积.

6. 一平面图形由yx3,yx围成，求

（1）该平面图形的面积；

（2）该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积.

7. 一平面图形由xy1,yx,x2围成，求 （1）该平面图形的面积；

（2）该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积.

27

8. 平面图形D由抛物线yx2与直线yx所围成 （1）求平面图形D的面积

（2）求该平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

9. 设平面图形D由曲线yex,yxe1及直线x0所围成。求： (1)平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.

10. 一平面图形由yx2,xy2围成，求 （1）该平面图形的面积；

（2）该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积.

11. 平面图形由抛物线y4x2与直线y3x及y轴围成的第一象限内部分，求：

（1）平面图形的面积；

（2）该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

12. 平面图形D由曲线yx3与直线y4x所围成的第一象限部分，求： （1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

13. 一平面图形由yex,yex,x1围成，求 （1）该平面图形的面积；

（2）该图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积.

14. 设平面图形D由曲线yex,yex及直线x2所围成. 求：(1)平面图形D的面积；

28

(2)平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.

15. 已知某产品总产量的变化率是时间t（单位：年））的函数f(t)2t5，求第一个五年和你二个五年的总产量各为多少？

16. 求幂级数nxn1n1的收敛域和和函数，并求n的和. n1n12

17. 设幂级数（1)nxn1n1n1，求（1）和函数S(x)；（2）（1)n1n1n的和. n2

18. 某服装企业计划生产甲、乙两种服装，甲服装的需求函数为x26p1，乙服装的需求函数为y101p2，生产甲、乙这两种服装所需要的总成本为4C(x,y)x22xyy2100，求取得最大利润时的甲、乙两种服装的产量。

19. 某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为

C4002x3y0.01(3x2xy3y2)（万元），又已知两种产品的总产量为100

件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润.

20. 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的甲和y单位的乙的总费用是4002x3y0.01(3x2xy3y2)（元），求两种产品各生产多少，工厂可取得最大利润？

29

21. 某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产

x件甲产品和

y件乙产品的总成本为

C4002x3y0.01(3x2xy3y2)（万元），试建立这一问题的数学模型，并

分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润.

22.某公司甲乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x,y（千件），甲乙两厂的月生产成本分别是C1x22x5，C2y22y3（千元），若要求该产品的每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲乙两厂的最优产量和相应的最小成本.

23. 生产某种产品的数量与所用两种原料A和B的数量x、y间由关系式

P(x,y)0.005x2y，欲用150元购料，已知A和B原料的单价分别为1元、2元，

求两种原料各购进多少，可生产的产品数量最多？

24.某工厂生产某产品需要两种原料A和B，且产品的产量z与所需A原料数x及

B原料数y的关系式为：zx8xy7y22。已知A原料的单价为1万元每吨，B原料的单价为2万元每吨。现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？

25. 某企业在两个的市场上出售同一商品，两个市场的需求函数分别为

P1182Q1，P2142Q2，其中，P1和P2分别为两个市场的价格，Q1和Q2分别

表示该产品在两个市场的销售量，并且该企业生产这种产品的总成本函数为C2Q5，其中Q表示该产品在两个市场的销售量之和，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使得利润最大．

30

26. 某服装企业计划生产甲、乙两种服装，甲服装的需求函数为x26p1，乙服装的需求函数为y101p2，生产甲乙这两种服装所需要的总成本为4C(x,y)x22xyy2100，求取得最大利润时的甲乙两种服装的产量．

27. 某厂家生产的一种产品分别在两个市场销售，销售量分别是x和y，边际收益分别为R1(x)12010x和R2(y)20040y，总成本为C(x,y)3540(xy).（1）问厂家如何确定两个市场的销售量，能使其获得的总利润最大？（2）此时两个市场上产品的的销售价格是多少？

28．工厂生产洗衣机，每台洗衣机成本为C0，每台洗衣机的售价为p，假设销售量为x，且生产量等于销售量。由市场预测xMeap (M0,a0)其中M为市场最大需求量,a为价格系数，且M,a为已知数据。根据以上条件，如何控制p,x，才能使该厂获得最大的利润？

29. 要造一个容量为V的长方体箱子，问怎样选择尺寸才能使所用的材料最省？

30. 要制造一个容积为1立方米的长方体带盖的箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？

31. 欲围一个面积为60平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，问长、宽各为多少米时，造价最低？

32.要造一个无盖的长方体水池，其容积为V，问怎样设计才能使它的表面积最小？

33．已知可导函数f(x)满足10x1f(tx)dt[3f(x)f(t)dt]，求f(x)．

0x 31