课后强化训练41 探索型问题
基础训练
1．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是(D)
,(第1题图))
A. 38 B. 52 C. 66 D. 74
解：除右下方格外，其余三个方格中数字的排列规律比较明显：左上方格中数字是0，2，4，6；左下方格中的数字应是2，4，6，8；右上方格中的数字应是4，6，8，10.根据前3个正方形中四个数字间的关系可知，6＋m＝8×10，m＝74.
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点1
C的坐标为2，0，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为(B)
(第2题图)
A.B.13 231 2
3＋19C.
2D．2 7
(第3题图)
3．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为(C)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题． (1)使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如解图①；
,(第3题图解))
(2)使得CD与DA重合，即可构成等腰梯形，如解图②；
(3)使得CD与AD重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如解图③. 故选C.
4．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有_5n＋1根小棒．
(第4题图)
解：第1个图有6根小棒，第2个图有6＋5＝11根小棒，第3个图有6＋5＋5＝16(根)小棒，第4个图有6＋5＋5＋5＝21(根)小棒……第n个图有6＋5＋5＋…＋5(n－1)＝5n＋1根小棒．故答案为5n＋1.
5．观察数表：
根据表中数的排列规律，则★处所表示的数是－10_．
6．有一组数：2，－3，2，－3，2，－3，2，－3，…，根据这个规律，那么第2016个数是__－3__． 解：数列中2和－3成对出现，又2016＝2×1008，因此，第2016个数是－3. 故答案为－3.
7．已知正数a和b，有下列命题：
3
①若a＋b＝2，则ab≤1；②若a＋b＝3，则ab≤；③若a＋b＝6，则ab≤3.
29根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a＋b＝9，则ab≤____．
2并就此规律写出其一般表达式ab≤a＋b． 2a＋b26
解：考虑到1＝；3＝.可得一般规律：ab≤. 222
8．已知点P的坐标为(m，0)，在x轴上存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点2
M落在反比例函数y ＝－的图象上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的
x正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限．
,(第8题图))
2
(1)如图所示，若反比例函数表达式为y＝－，P点坐标为(1，0)，图中已画出一个符合条件的正方形
xPQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标：点M1的坐标是__(－1，2)__．
(2)请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的表达式y＝kx＋b进行探究可得 k＝__－1__，若点P的坐标为(m，0)时，则b＝__m__．
(3)依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点M1和点M的坐标． 解：(1)如解图；点M1的坐标为(－1，2)．
,(第8题图解))
(2)k＝－1，b＝m.
(3)由(2)知，直线M1 M的表达式为y＝－x＋6， 则点M(x，y)满足x·(－x＋6)＝－2.
解得x1＝3＋11，x2＝3－11， ∴y1＝3－11，y2＝3＋11，
∴点M1，M的坐标分别为(3－11，3＋11)，(3＋11，3－11)． 9．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：
如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E.
(第9题图)
求证：△BPO≌△PDE. (1)理清思路，完成解答：
本题证明的思路可以用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． (2)特殊位置，证明结论：
若BP平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD. (3)知识迁移，探索新知：
若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系(不必写解答过程)．
解：(1)证明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2. ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°. ∵BO⊥AC于点O，∴∠1＝45°. ∴∠1＝∠C＝45°.
∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C， ∴∠3＝∠4.
又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP＝∠PED＝90°.
∠3＝∠4，
在△BPO和△PDE中，∵∠BOP＝∠PED，
BP＝PD，∴△BPO≌△PDE.
(2)由(1)可得∠3＝∠4，
∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠3. ∴∠ABP＝∠4.
又∵∠A＝∠C，PB＝PD， ∴△ABP≌△CPD.∴AP＝CD. (3)CD′与AP′的数量关系是：CD′＝
2
AP′. 3
拓展提高
10．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第__18__行第__45__列. 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 … 第一列 1 4 5 16 17 第二列 2 3 6 15 … 第三列 9 8 7 14 第四列 10 11 12 13 … … … … … 解：观察表格可得：奇数的平方数都在第一行，偶数的平方数都在第一列；由于2008＝452－17，因此，2008在第18行，第45列．
故答案为18，45.
11．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数
f，
(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
,(第11题图)) m 1 1 2 2 3 n 2 3 3 5 4 m＋n 3 4 5 7 7 f 2 3 4 猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是__f＝m＋n－1__(不需要证明)．
(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．
解：(1)通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×4网格的对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m，n的关系式．
(2)根据题意，画出当m，n不互质时，结论不成立的反例即可，如2×4.
12．已知在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
(第12题图)
(1)如图①，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°.
(2)如图②，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．
(3)如图③，当b＜2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：(1)证明：∵b＝2a，点M是AD的中点， ∴AB＝AM＝MD＝DC＝a.
又∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴∠BMC＝90°. (2)存在．理由如下：
若∠BMC＝90°，则∠AMB＋∠DMC＝90°. 又∵∠AMB＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DMC. 又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABM∽△DMC.
∴
AMAB＝. CDDM
xa
设AM＝x，则＝，整理，得x2－bx＋a2＝0.
ab－x
∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴Δ＝b2－4a2＞0.
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意． ∴当b＞2a时，存在∠BMC＝90°.
(3)不成立．理由如下： 若∠BMC＝90°，
由(2)可知x2－bx＋a2＝0，∵b＜2a，a＞0，b＞0， ∴Δ＝b2－4a2＜0.∴方程没有实数根．
∴当b＜2a时，不存在∠BMC＝90°，即(2)中的结论不成立．
13．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形(如图②)，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
(第13题图)
1
(1)抛物线y＝x2对应的碟宽为________；抛物线y＝4x2对应的碟宽为________；抛物线y＝ax2(a>0)
2对应的碟宽为________；抛物线y＝a(x－2)2＋3(a>0)对应的碟宽________．
5
(2)若抛物线y＝ax2－4ax－(a>0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．
3
(3)将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…，Fn为1
相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，
2现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式．
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…，Fn的碟高为hn，则hn＝________，Fn的碟宽右端点横坐标为________；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．
122
解：(1)4；；；.
2aa
(第13题图解)
∵a＞0，∴y＝ax2的图象大致如解图，其必经过原点O.
记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连结OA，OB. ∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB， 11
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×90°＝45°，
22
即△AOC和△BOC亦为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝BC.
∴xA＝yA，xB＝yB，即A，B两点x轴和y轴坐标绝对值相同． 1
代入y＝ax2，得方程x＝ax2，解得x＝. a
11111－，，B，，C0，， ∴由图象可知，点Aaaaaa1112
即AC＝OC＝BC＝，∴AB＝＋＝，
aaaa2
即y＝ax2的碟宽为AB＝.
a
112
∴①抛物线y＝x2对应的a＝，得碟宽＝4；
22a21
②抛物线y＝4x2对应的a＝4，得碟宽＝；
a22
③抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为；
a
④抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)可看成y＝ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)的准碟形≌抛物线y＝ax2的准碟形．
2
∵抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为，
a2
∴抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)的碟宽为. a55
(2)∵y＝ax2－4ax－＝a(x－2)2－(4a＋)，
332
∴同(1)得其碟宽为.
a
5
∵y＝ax2－4ax－的碟宽为6，
321∴＝6，解得a＝. a31
∴y＝(x－2)2－3.
3
(3) ①∵F1的碟宽∶F2的碟宽＝2∶1， 22
∴∶＝2∶1. a1a212∵a1＝，∴a2＝.
33
1
∵y1＝(x－2)2－3的碟宽AB在x轴上(点A在点B左边)，
3∴点A(－1，0)，B(5，0)，∴F2的碟顶坐标为(2，0)， 2
∴y2＝(x－2)2.
3
②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形， ∴Fn的碟宽为2hn. ∵
2hn1
＝， 2hn－12
12131n－11∴hn＝hn－1＝2hn－2＝2hn－3＝…＝2h1.
21
∵h1＝3，∴hn＝2
n－1
·3.
∵hn∥hn－1，且都过Fn－1的碟宽中点，
∴h1，h2，h3，…，hn－1，hn都在同一条直线上， ∵h1在直线x＝2上．
∴h1，h2，h3…，hn－1，hn都在直线x＝2上， 1
∴Fn的碟宽右端点的横坐标为2＋2
n－1
·3.
F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是在一条直线上，该直线的表达为y＝－x＋5.
14．如图①②是两个相似比为1∶2的等腰直角三角形，将两个三角形如图③放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．
(1)在图③中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC，BC交于点E，F，如图④. 求证：AE2＋BF2＝EF2.
(2)若在图③中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E，F，如图⑤，此时结论AE2＋BF2＝EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图⑥，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE，AF分别与对角线BD交于M，N，试问线段BM，MN，DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
,(第14题图))
解：(1) 在解图①中，由于AD＝BD，将△AED绕点D旋转180°，得△BE′D，
,(第14题图解①))
AE＝BE′，ED＝E′D.连结E′F.
∵∠FBE′＝∠ABC＋∠ABE′＝∠ABC＋∠CAB＝90°. ∴在Rt△FBE′中有E′B2＋BF2＝E′F2. 又∵FD垂直平分EE′，∴EF＝FE′， ∴代换，得AE2＋BF2＝EF2.
(2)在解图②中，由AC＝BC，将△AEC绕点C旋转90°，得△BE′C，则AE＝BE′，CE＝CE′，连结E′F.
,(第14题图解②))
∵∠FBE′＝∠ABC＋∠CBE′＝∠ABC＋∠CAB＝90°， ∴在Rt△BE′F中有E′B2＋BF2＝E′F2. 又可证△CEF≌△CE′F，得EF＝FE′， ∴代换，得AE2＋BF2＝EF2.
(3)将△ADF绕点A瞬时针旋转90°，得△ABG，且FD＝GB，AF＝AG.
,(第14题图解③))
∵△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半， ∴CE＋EF＋CF＝CD＋CB＝CF＋FD＋CE＋BE， 化简，得EF＝EG，从而可得△AEG≌△AEF， 推出∠EAF＝∠EAG＝45°.
此时该问题就转化为图⑤中的问题了． 由前面的结论知：
MN2＝BM2＋DN2，再由勾股定理的逆定理知： 线段BM，MN，DN可构成直角三角形．
