d}x=$$\set(n~* °°}{\\lim}\set{i=l}{\\overset{n}{\\sum}}\\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区 间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\\rm d}x$叫做被积式。(1) 定积分$\\int_{a}*{b}f(x) {\\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限 值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即
$\\int_{a}*{b}f(x){\\rm d}x=$S\\int_{a}*{b}f(t)(\\rm d}t=$$\\int_{a}*{b}f(u){\\rm d}u$o
(2) 定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。 2、 定积分的基本思想
定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列 的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
即：分割$-$近似代替$~$求和$~S取极限。 3、 定积分的性质
(1) $\\int_{a}*{b}1{\\rm d}x=b-a$；
(2) $\\int_{a} * (b}kf (x) {\\rm d}x=$$k\\int_{a}\" {b}f (x) {\\rm d}x$ (其中$k$是不 为0的常数)：
(3) $\\int_{a)*{b)[f_l(x)if_2(x)]{\\rm d}x二$$\\int_{a}\"{b}f_l(x){\\rm d}x土$$\\int_{a}\"{b}f_2(x){\\rm d}x$;
(4) $\\int_{a}*{b}f(x){\\rm d}x=$$\\int_{a}*{c}f(x){\\rm d}x+$$\\int_{c) *{b}f (x) {\\rm d}x$ (其中$a求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数的解析式，然后根据定积分的性 质4进行计算。4、 定积分的几何意义
如果在区间S[a,b]$上函数$f(x)$连续11恒有$f(X)\\geqslantO$,那么定积分 $\\int_{a} * {b}f (x) {\\rm <1&$表示由直线$x=a$, $x=b$, $y$=0 和曲线$y=f(x)$所围成的 曲边梯形的面积。
注：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0。
(1) 当对应的曲边梯形位于$x$轴上方时，定积分的值取正值，II等于曲边梯形的面 积。
(2) 当对应的曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分的值取负值，II等于曲边梯形的面 积的相反数。
(3) 当位于5$轴上方的曲边梯形的面积等于位于$x$轴下方的曲边梯形的面积时， 定积分的值为0, J1等于位于$x$轴上方的曲边梯形的面积减去位于$曲轴下方的曲边梯形 的面积。
5、 定积分的物理意义 (1) 变速直线运动
如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是 $v=v(t) (v(t)\\geqslantO)$»那么物体从时刻$七二8$到$七比$所经过的路程 $s=S$\\int_{a}*{b)v(t){\\rm d}x$;
如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是
$v=v(t) (v(t)\\leqslanto)$,那么物体从时刻$t=aS到St=b$所经过的路程$s=$$- \\int_{a} * {b}v(t) {\\rm d}x$;
(2) 变力做功
物体在变力SF(x)$的作用下做直线运动，并11物体沿着与力$F(x)$相同的方向从 $x=a$移动到$x=b(a二、定积分的概念的相关例题设$f(X)=\\begin{cases}\\sqrt {l~x\"2}, xG [T, 1), \\\\x*2-
1, xW [1, 2], \\end{cases} $则$\\九1:_{-1}\" {2} f (x) (\\rm d}x$的值为 _____
A. $\\frac{n}{2}+\\frac{4}{3}$ B・ $\\frac{n}{2}+3$ C. $\\frac{n}{4}+\\frac{4}{3}$ D. $\\frac{n}{4}+3$ 答案:A
解析：根据定积分性质可得 $\\int_{T}* {2}f (x) {\\rm d}x=$$\\int_{T}\"⑴ \\sqrt {1- x\"2} {\\rm d}x+$$\\int_{l}\" {2} ({x\"2T) \\rm d}x$,根据定积分的几何意义可知, $\\int_{-l} * {1} \\sqrt {l~x*2} {\\rm d}x$是以原点为圆心,以1为半径的圆面积的一半, /• $\\int_{-l}° {l}\\sqrt {l~x*2} {\\rm d} x=\\f rac {兀}⑵ $, :. $\\int_{\"l} ' {2} f (x) {\\rm d}x=$$\\frac{兀}(2}+\\left(\\frac{1}{3}x\"3- x\\right) \\Big \"2_l=$$\\frac { n } {2}+\\frac{4} {3}$» 故选 Ao
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
