(完整word版)第七章 缝隙流动

第7章 缝隙流动

一、 学习目的和任务

1．掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量泄漏和功率损失的影响 。

2．掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。 3．了解变间隙宽度缝隙流动.

二、 重点、难点

重点： 平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动 难点： 平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动

在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙,如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸筒间的缝隙、轴与轴

承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。这些缝隙流动对机械性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。液压泵、液动机、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动的问题.缝隙过小则增大了摩擦,缝隙过大又会增加泄漏，所以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题.

本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘间的缝隙流以及球

面缝隙流。由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情况下缝隙流动可看作是层流。

7.1 平行平板间的缝隙流

平行平板间流体运动微分方程导出方法有两种，一是由N－S方程简化而来，二是基于牛顿力学的动力平衡分析，并且因坐标系选择不同，得出速但结论在本质上无差异。

度分布方程也有所不同,

7。1.1 由N－S方程简化分析

平行平板间的缝隙流动是其他各种缝体两边的平面简化成水平放置的无限大设一平行平板缝隙流的平板长为L，宽为

图 7—1 平行平面缝隙流

隙流动的基础,通常把流平板。如图7—1所示；

B，缝隙高度为h。下面s

首先应用N－S方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位,故惯性力可不计，即

duxduyduz0；因缝隙甚小，质量力可不计fxfyfz0；假定流动为一维流，即dtdtdtuyuz0,uxu。在上述条件下，由N－S方程可得如下方程.

175

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1p2u2u2uuuyuzv(222)v()0xxxyzxyz1puuyuz (7。1-1) v()0yyxyz1puuyuzv()0zzxyzu2uuuyuz020，则上式进一步简化为 对于不可压缩流体0，又uyuz0，则xxxyz1p2u2uv(22)0yzxp (7.1-2） 0yp0zpdp；另外对于平行平面，单位长度上xdxdpp的压力损失是相同的,或者说压力减小服从线性分布规律，即(其中pp1p2）；再者，对于充dxLu0。根据上式条件和式（7.1—2)等价为 分宽的平行平面，任意宽度坐标z处的流动状态都是相同的,即z由式（7.1-2）知，压力p仅为x的函数,与y和z无关；即

d2up （7.1-3） 2Ldy7.1。2 牛顿力学分析法

同样取坐标系如图7－1所示, 在流体中任意取一边长为dx和dy的平行六面体微小系统，设六面体左右两个面的压强分别为p和ppdx，上下两个面上形心点上的切应力分别为dy和,考虑到流体流动xy是定常、连续，不可压缩的，所以沿x方向的力平衡方程为

pdzdy(p化简后则有

pdx)dzdydxdz(dy)dxdz0 (7.1—4) xyp （7.1-5） yxy方向同样可以得到

pg xy

(7.1-6）

176

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由于只是y的函数，则上式中的

0，并且缝隙中重力的影响可以忽略不计,所以 xp0 y可见在平面缝隙流动中，压强p只是x的函数，

（7.1—7)

pdppdpp可以写成,即，切应力只是y的函数，

xdxxdxLd可以写成，即式（7。1—5）可写成 ydydp dyL缝隙流动一般都是层流，切应力与速度之间满足牛顿内摩擦定律

（7。1-8）

du，代入上式则有 dyd2up （7。1-9） 2Ldy这就是平板中层流运动的常微分方程，这和N—S方程推导出的式(7.1-3）一致。对上式积分得

u积分常数C1和C2由边界条件决定。

1p2yC1yC2

2L (7。1-10)

7.1。2。1 在x方向压强作用下固定平板之间的缝隙流动

上下平面均固定不动，由于两端压力差pp1p2的作用使流体在x方向流动.由边界条件

y0,u0;yh，u0,可以得到积分常数

c1代入式(7.1-10）得到

h2Lp，c20

up(hyy2)（y0） 2L (7。1—11）

这就是平行平板间的速度分布规律，在压强差p的作间是二次抛物线规律.如图7-2所示,这种流动称为压差流，

最大速度发生在两平行平面中线处，把y

用下，速度u与x之也称为伯肃叶流。

图7-2 压差流 h

代入式(7。2

1—11)得

177

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umax缝隙宽度为B时，平行平面间的流量q为

p2h (7。1—12) 8LqudABAh0pBh32(hyy)dyp （7.1—13） 2L12L缝隙断面上的平均流速u为

u比较式(7。1—14）和式(7.1-12)则有

qqp2h （7.1-14) ABh12L2uumax (7。1-15）

3切应力分布为

hdudpp (hyy2)ydydy2LL2（7.1-16)

h

从上式可知，当在两平行平面中线处,即y时，

2

7-3所示。

7。1。2。2 零压强差情况下，上板均速运动带动得间隙流动

0。切应力分布图如

图7-3 切应力 在压力差pp1p20条件下，若下平面固定，上平面以速度u0在x向匀速运动，边界条件为y0，

u0;yh，uu0。可定c1u0,c20；由于p0，则代入式(7。1—10）得 huu0y（y0） h

(7.1—17） 为库埃特(Couette）

因平行平面间的相对运动产生的流动称剪切流，也称流(如图7-4）。

由式(7。1-17)可求剪切流条件下流量q

qdquBdyBAAh0u0uydy0Bh h2(7.1—18）

图7—4 剪切切应力分布为

dudu0dydyhuy0

h (7。1-19)

该情况下的切应力为常数。

7。1。2。3 在压强差和上板运动共同作用下的间隙

图7-5 压差－剪切流 流动

如图7—5所示，压差流和剪切流的叠加称压差剪切流（或剪切压差流）。其速度u和流量q可按线性叠

178

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加原理求出；式（7.1-11）和式（7.1-17)相加,确定速度u分布规律，进而求出流量q。则压差剪切流的速度和流量方程为

uup(hyy2)0y （0yh） (7.1-20） 2Lhhuh3qBudyB(p0h) （7。1-21）

012L2其切应力为前两种流动切应力的叠加

uduhp y0

dy2hL (7。1-22)

在上式公式中，当压差流和剪切流的方向相同时用“＋\"号，反则用“—”号。

例题

7。2 环形缝隙流

环形缝隙可以分为同心环形缝隙和偏心环形缝隙两种，现分别介绍如下：

7.2。1 同心环形缝隙流

rp1xp1L

图7—6 同心圆环缝隙 p1r0Rp10h

如图7—6所示为同心环形缝隙,其在平面上展开以后也就是平行平板缝隙流的问题，只需将平行平板缝隙中的宽度B用环形长度d来代替，即Bd2r0。则流量公式为

uh3qd(p0h)

12L2 （7。2—1）

但环形缝隙这一结论有很大局限性，其计算误差比较大，现根据同心环形缝隙流的基本方程重新导出结

论。

在上图7-6中，取oxr圆柱坐标系，引用圆柱坐标系中的N－S方程，在不计惯性力，质量力的条件下，假定液体不可压缩和x向一维流及轴流对称条件，可得环形缝隙中的流体运动微分方程（参看圆管层流内容）

d2u1du1dp0 (7。2-2） 2rdrdxdr

179

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因

dpp,积分上式则有 dxLuC1lnr根据边界条件：rr0，u0；rR0,u0可定

p2rC2 （7.2-2） 4Lp(R02r02)C14LlnR0r0  (7.2—3）

222Cp(R0r0lnR0R0lnr0)24LR0lnr0 将C1和C2代入式（5。4-2)，则有

2ln(r/r0)r02ln(r/R0)pR0u(r2) （7。2—4)

4Lln(R/r0)则通过环形缝隙流的流量为

qdqr0R0R0r0p44(R02r02)22rudr[(R0r0)] (7。2—5）

8Lln(R0/r0)引入平均半径r(R0r0)及间隙hR0r0,并对ln(R0/r0)作一阶线性近似，则有 2dh3qp (7.2-6)

16L式中 d——平均直径 dR0r02r 对于圆管层流r00，dd2R0，hR0则有

d4qp (7。2-7）

128Ldh3通过以上分析及结论可以看出，如果以qp作为同心环形缝隙流的公式，比引用平行平面缝隙

16Ldh3理论qp更准确，并且在理论上可将环

12L统一起来。 例题

形缝隙流与圆管层流

7。2。2 偏心环形缝隙流

180

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实际上，在机械和液压装置中，由于制造和安装等原因,更多碰到的是偏心环形缝隙.因此研究偏心环形缝隙流更有实际意义。

偏心环形缝隙如图7-7所示，偏心距OO1e，取O1AR0,图7-7偏心环形缝隙O1A与x轴成角为，过O作OC//O1A,则间隙h()为

h()BCOCOBecosR0r0h0ecosh0(1cos) （7.2-8)

图7—7 偏心环形缝隙

式中 h0――同心时间隙，h0R0r0 。 ――偏心率e/h0。

再作OD使DOCd，取微弧长rd；根据式(5。5-6)知，单位弧长上的流量为:

qh3()p (7。2—9) d16L再作OD使DOCd，取微弧长rd；则微弧长rd上的微流量为

p3dq＝h()rd (7.2—10)

16L则偏心环形缝隙流的流量为

q203dh0p323dqh0r(1cos)dp(11.52)

016L16L q0(11.52) （7。2—11）

式中 q0—-同心环形缝隙流量。

从上面可以看出，在压差p的情况下，偏心环形缝隙流比同心环形缝隙流的流量大11.52倍，相对偏心距越大，则偏心流量越大。如果偏心距0，则为同心流；当偏心距达到最大值1时，流量最大，为

qmax35dph0 216L （7。2—12）

上式表明在同样情况下，偏心流最大流量qmax为同心流的2.5倍.

7。3 变间隙宽度中的流动

前面的内容介绍了间隙不变的缝隙流动，都会造成间隙变化的流动,下面主要介绍倾斜

在实际中,很多原因平板间隙流动的情

181

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况。

如图7—8所示，两平板并不平行，而是倾斜成角，即它们之间的间隙成为楔形，即间隙h随着x而

变化，平板间的油液在平板两端有压差或平板间有相对移动时，都会出现倾斜平板间隙的流动，这种情况在液压技术中很常见。

在实际问题中，倾斜角一般都比较小。应用研究平行平板间缝隙流的方法同样可以得出

图7-8 倾斜平板间隙流动 1dpuhyy 2dx2 （7.3-1)

上式（7.3-1） 中的

dppdp不能写成,是因为在倾斜平板缝隙中沿流动方向的压强变化率不是常数,dxLdx即不能用p表示，这就是倾斜平板间隙流动和平行平板缝隙压差流速公式的区别。 L若平板宽度为B，则流过平板的体积流量为

1dphBh3dp2 qudyhyydy002dx12dxh （7.3-2)

即

dp12q dxBh3又hh1xtan，代入上式并整理得

（7。3—3)

dp积分上式得

12qBh1xtan3dx

（7。3-4）

p12qBh1xtan3dx6q1 C 2Btanh1xtan(7.3—5）

代入积分常数，x＝0（hh1）时，pp1得

Cp1将C以及h1xtanh代入，得

6q1Btanh12  （7。3—6)

6q11pp1

Btanh12h2

(7.3-7)

这就是倾斜缝隙中的压强分布规律，表明了压强p与间隙h的关系呈抛物线分布。 如图7-8可见,当x＝L时,hh2，pp2，并有h2h1Ltan或tanh2h1代入上式得 L182

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6q116qh2h1pp1p222Btanh12h2Bh12h2由此可求得流量q

 (7.3—8）

pp2Bh1h2pBh1h2q1 6Lh1h26Lh1h2以上就是倾斜平板间隙流的基本公式.

22 (7.3-9）

7。4 两平行圆盘间缝隙流

在实际工程中,经常能碰到两平行圆盘间缝隙的径向流动.如端面推力轴承、柱塞泵转子与配油盘边缘的密封层等处的缝隙流。因此很有必要讨论这种流动的一般特性.

7.4.1 两圆盘固定的情况

如图7—9所示，流体从两平行圆盘的间盘内径和外径分别为R1和R2，内外压强分别的距离为h.在任意半径r处取一个微小宽度得长度为dr、宽度为2r、高度为h得平行平行平板缝隙流量公式（7.1-13）可得

隙沿径向向外流动，设圆为p1和p2,两平行圆盘间为dr的环形缝隙，展开可平板缝隙。由前面介绍的

2rh3qp

12L式中

(7.4—1)

pdp，上式可改写成 Ldr2rh3dp q12dr图7—9 平行圆盘缝隙 （7.4—2）

即

dp12qdr 32hr (7.4—3）

两边积分得

p6qlnrC h3 （7。4—4）

把rR1代入上式，得

pp16qlnR1C h3 (7。4—5)

同理代入rR1，得

183

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pp2式(7.4-5)减去式（7。4-6)，得

p1p26qlnR2C h3 (7。4-6）

6q6qR2lnRlnRln21h3h3R1

  (7。4-7)

压强差pp1p2即为

p6qR2ln  （7。4-8）

h3R1上式就是圆盘内外的压强差公式.由此就可以求出圆盘缝隙流的流量公式为

3qhp

6lnR2R17。4。2 上圆盘固定,下圆盘等角速度旋转

如图7—8所示，上圆盘固定，下圆盘以等出流的压力为p1，圆盘出流口处的压力p20，

R1和R2。则流量qV、缝隙内径向压力分布p及

P分别为

qh3p3222 图7-8 旋转圆盘缝隙流

R1R2R16ln220R1pp6q1hlnRR32R2R231 120Pp1R22R213R22112R22lnR2R211 2lnR220p1RR1RR1

本 章 小 结

1．平行平板间缝隙流动

速度分布： up(hyy22L)u0hy （0yh）

流量： 33qBh0udyB(h12Lpu02h) qB(h12Lpu02h)

(7.4—9）

的情况

角速度旋转，设上圆盘上下圆盘的内径分别为作用于下圆盘的总压力

184

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uhp切应力:du0 ydy2Lh当p0时,为剪切流，当u00时,为压差流。 2．环形缝隙流动：

22Rln(r/r)rln(r/R0)p000速度分布： u(r2) 4Lln(R/r0)流量：

qdqr0R0R0r0p44(R02r02)2

2rudr[(R0r0)]8Lln(R0/r0)3．倾斜平板间缝隙流动

11 压强分布: pp16qBtanh12h2 流量：

pp2Bh1h2pBh1h2 q16Lh1h26Lh1h2224．平行圆盘缝隙流动:

压强公式: p6qlnR2

3hR1 流量:

qh3R6ln2R1p

思考与练习

7—1 两固定平行平板,其间隙为0。01mm其中充满运动粘度为0.01cm/s。的水流.若平板两端压降为一个大

气压，试求通过的流量和平均速度。已知平板宽度为5cm，长度为10cm。

7-2 两平行平板，长l10cm，宽度b10cm，间隙0.1cm.若上平板以U1m/s的速度沿x正向平移，

压差pp1p210bar，液体的动力粘度为1Ns/m2，试求通过的液体流量。

7—3 已知某工作油缸的活塞直径D125mm，长度l14cm，环行间隙0.08mm。当压差p为9.8106Pa

时，测得得泄漏流量为1.25l/min。其偏心值为何？（油的动力粘度为0.0784Pas）

2

题7—2图 题7-3图 题7-5图

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7-4 d20mm的活塞在F40N作用下下落，油液通过高h0.1mm，长l70mm的间隙从油缸中排出到周

围的空间。设活塞与油缸同心，试确定当活塞下降s0.1m时所需要的时间,油的动力粘度

0.078Pas

7—5 轴向柱塞泵滑履与斜盘间隙h0.1mm，D120mm，D246mm。p1160工程大气压，p21.5工业

大气压，油的动力粘度0.057Pas，若不计进口起始段影响，试确定斜盘与滑履间隙的流量和压强分布。

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