第三讲 角平分线和全等三角形的应用
【知识回顾】角平分线
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 【例题精讲】
例1.如图1，在△ABC中，C90，AD平分CAB，BC8cm，BD5cm，求D点到直线AB的距离。
C A D 图1
B
例2．如图2，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.
(1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数.
ADPBC图2
例3.已知：如图3，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
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图3
【课堂随练】
1、如图4，在△ABC中，D是BC的中点, DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
A 求证：AD是△ABC的角平分线.
EFDC
B图4
2、如图5，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。
CDB21A图53、如图6，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。
ABDC
图6
4、如图7，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
5、如图8，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAF=180°。求证：DE=DF。
EFCA图7
BD图8
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【知识回顾】常见的全等三角形的基本类型 （1）平移全等型（如图）；
（2）对称全等型（如图）；
（3）旋转全等型（如图）．
找对应元素的常用方法:
a．全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． b．全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．c．两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边． d．两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角． e．两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角．
f．两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）
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【例题精讲】
例4、如图9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE.垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证：AE=CD.
解析：AE和CD分别是△ACE和△CBD的边，如果能证明△ACE≌△CBD.就能证明AE=CD，由已知条件可以证明△ACE≌△CBD.
图9
例5、如图10，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证；AC⊥CE.
图10
例6.如图11，已知A，F，C，D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE. 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）∠CBF=∠FEC.
图11
4
例7 如图12，△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC
E D M A C 图12 N B
【课堂随练】
1、下列结论错误的是（ ）
A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．三边分别对应相等的两个三角形全等
C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．边长相等的等边三角形全等
2、如图，AD⊥BC于D，BD=DC，E在AD上，则图中全等三角形共（ ）
第2题图
第4题图
第5题图
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．AC=A′C′，BC= B′C′，∠C=∠C′．B．∠A=∠A′，BC= B′C′，AC= A′C′ C．∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC= B′C′．D. AB= A′C′，BC= C′B′，AC= A′B
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
5
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5、如图，已知∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，且AC、BD交于点O，则下列说法正确的有（ ）
①AD=BC ②∠DBC=∠CAD ③AO=BO ④AB∥CD ⑤△DOC为等腰三角形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6、完成下列填空：
（1）把“等角的补角相等”改写成“如果____________，那么____________”. （2）把“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果____________，那么____________”.
（3）“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果____________，那么____________”.
7.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。
8.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE
BCGFHDEAD A B 图1
C 图2
E
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【家庭作业】
1、如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空： (1)利用“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，已知 ＝ ， 可得 ＝ ；
CAO12B(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ； 2、如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE. 求证：△ACD≌△CBE.
CBEDA
3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________ 求证：_________
【课堂小结】
B E
G
D
C
F
A
7
