2011届高三数学复习领先卷—数列

数学复习领先卷—数列

数 学 2010.10

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的. （1）已知在等差数列{an}(nN)中，a1=1，an＝19，d=2，则n=

（A）12 （B）11 （C）10 （D）9

（2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是

（A）an＝n2－n＋1 （B）an＝

n(n－1)

2

n(n＋1)n(n＋2)

（C）an＝ （D）an＝ 22

（3）已知数列{an}(nN)满足a1=1，an＝an11(n1),则an的前2009项和为

2 （A）-1003 （B）-1004 （C）-1005 （D）-2009

S1＋S2＋…＋Sn（4）设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，

n

已知数列a1，a2，…，a501的“理想数”为2008，那么数列2，a1，a2…，a501的“理想数”为

A．2004 B．2006 C．2008 D．2010

（5）设数列{an}(nN)是公比为a(a1)， 首项为b的等比数列，Sn为其前n项和，对于任

意正整数n，点sn,sn1

A．在直线yaxb上 B．在直线ybxa上

C．在直线ybxa上 D．在直线yaxb上

（6）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于

A．9 B．8 C．7 D．6

ac

（7）已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则＋等于

mn

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A．4 B．3 C．2 D．1

sinA2cosC＋cosA

（8）在△ABC中，＝是角A、B、C成等差数列的

cosA2sinC－sinA

A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件

An7n＋45an（9）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的Bnn＋3bn

正整数n的个数是

A．2 B．3 C．4 D．5

（10）11212231223241222210的值是

A．2037 B．2035 C．4083 D．8181

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，

若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于________时，Sn取得最大值．

x212．记函数f(x)1x2;

111f(2010)f(2009)f(1)f(2010). . 3)f(2)f(2)f(200913．已知a，b，c的倒数成等差数列，则

abc

，，的倒数成__ _____数列．

b＋c－ac＋a－ba＋b－c

14． {an}是等差数列，若a1,a3,a4是等比数列bn的连续三项，则bn的公比为 . 15．运算符号：“

”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作

ni，

i1n(nN).记Tnai，其中ai为数列{an}(nN)中的第i项.若

i1Tnn2(nN),则an .

16．关于数列{an}有以下命题：

a：若n2,且an1an12an,则an是等差数列；b：若an是等差数列，且m，n，kN，mn2k,则aman2ak；c：若n2,且an1an1an,则an是等比数列；2

d：若an是等比数列，且m，n，kN，mn2k,则amanak

2其中正确的命题为 .（写出序号，写对但不全的给2分，有选错的不给分）

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17．一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一

定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n表示) .

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14 分）

11*

已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a2n＋an(n∈N)． 22(1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式；

121

(3) 若bn＝n()an，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．

216

19．（本题满分14 分）

11

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)的最小值是－.设数列{an}

28的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，Sn)在函数f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式；

Sn(2)通过bn＝构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列；

n＋cSn＋n

(3)令cn＝，设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn，求Tn.

n

第1件

第2件

第3件

第4件 第 3 页 共 11 页

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20．（本题满分14 分）

为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，

到2004年底库区的绿化率只有30%。计划从2005年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2004年绿化面积为a1面积为an1.

（1）试写出an1与an的关系式，并证明数列{an1}是等比数列； （2）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？

21．（本题满分15 分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*.令bn＝an＋1

－2an，且a1＝1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f′(1)的表达式，并比较f′(1)与8n2－4n的大小．

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3，经过一年绿化面积为a2，„，经过n年绿化1045龙文教育——教师1对1 金沙江校区 特约数学教师 刘须雷

22．（本题满分15分）

已知an是递增数列，其前n项和为Sn，a11，且10Sn(2an1)(an2)，nN．

*（1）求数列an的通项an；

（2）是否存在m, n, kN，使得2(aman)ak成立？若存在，写出一组符合条件的m,n,k的值；若不存在，请说明理由； （3）设bnan*2(n3)ann3*，cn，若对于任意的nN，不等式 25n15 m1恒成立， ≤0111cn1n131(1)(1)(1)b1b2bn

求正整数m的最大值．

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2011年高三年级高考数学复习领先卷—数列

数 学（理科） 参 2010.10

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

1-5 CCABD 6-10 BCADC

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．16 12．2009 13．等差

1　　　n1114． 1或 15．ann2 2()n2n116． a,b,d （写对但不全的给2分，有选错的不给分） 17．66，2n23n1（一个2分）

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14 分）

11

解：(1)由Sn＝a2＋an(n∈N*)可得 n

22

11

a1＝a2＋a，解得a1＝1；

2121

11

S2＝a1＋a2＝a2＋a，解得a2＝2；

2222同理，a3＝3，a4＝4. an12

(2)Sn＝＋an，①

22an－112

Sn－1＝＋an－1， ②

22

①－②即得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1， 故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 1n

(3) 由(2)知an＝n，则bn＝n()an＝n，

22111

故Tn＝＋2×()2＋…＋n()n， ①

222

1111＋

Tn＝()2＋2×()3＋…＋(n－1)()n＋n()n1， ②

2222

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2＋n11111＋

①－②得：Tn＝＋()2＋…＋()n－n()n1＝1－n＋1，

2222222＋n

故Tn＝2－n，

2n＋1

∴Tn＋1－Tn＝n＋1＞0，

2∴Tn随n的增大而增大．

1

当n＝1时，T1＝；当n＝2时，T2＝1；

2

11222121

当n＝3时，T3＝＝＞，所以n≥3时，Tn＞.

81616162121

综上，当n＝1,2时，Tn＜；当n≥3时，Tn＞. 1616

19．（本题满分14 分）

1

0＋

2111

解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是－，

2248

11

由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－)2－.

4811

又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－)2－＝2x2－x.

48

因为点(n，Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3(n＝1时也成立)， 所以an＝4n－3(n∈N*)．

1

2n(n－)

22n－nSn1

(2)因为bn＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得bn＝2n，此时数列{bn}为等差数列，

2n＋cn＋cn＋c

2

1

所以存在非零常数c＝－，使得{bn}为等差数列．

2Sn＋n2n2－n＋n＋

(3)cn＝＝＝2n，则cn·2cn＝2n×22n＝n×22n1.

nn所以Tn＝1×23＋2×25＋…＋(n－1)22n1＋n×22n1，

－

＋

4Tn＝1×25＋2×27＋…＋(n－1)22n1＋n×22n3，

＋

＋

两式相减得：－3Tn＝2＋2＋…＋2

＋

＋

352n＋1

－n×2

2n＋3

23(1－4n)＋

＝－n·22n3，

1－4

23(1－4n)n·22n3(3n－1)22n3＋8Tn＝＋＝. 939

20．（本题满分14 分）

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解：（1）设2004年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为

bn1,则anbn1.

故an196%an16%bn96%an16%(1an)80%a16%45a4 nn25.4分由a4n15a425,得a444nn155(an5). 所以数列{a4414n15}是以a152为首项,5为公比的等比数列.（2）由（I）可知a414nn152(5).

若41(4)n60%,则(45)n25255.因为4525,(4161024325)225255,(5)1255,(45)425662525062525,(45)510246252255555, 又y(4)x425是减函数,所以当n5时,(5)n5.14分故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。

21．（本题满分15 分）

解：(1)∵Sn＋1＝4(an＋2)－5，∴Sn＋1＝4an＋3，

∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)， ∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)， ∴

bnan＋1－2ab＝n

＝2(n≥2)． n－1an－2an－1

∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1， 而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6， ∴b1＝6－2＝4， ∴b－

n＝4×2n1＝2n＋

1.

(2)∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn， ∴f′(x)＝b1＋2b2x＋3b3x2＋…＋nb－

nxn1，

∴f′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn，

∴f′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋

1， ∴2f′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋

2， 第 8 页 共 11 页

①

②

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①－②得

－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n1－n·2n2

＋

＋

4(1－2n)＋＋＝－n·2n2＝－4(1－2n)－n·2n2，

1－2∴f′(1)＝4＋(n－1)·2n2，

＋

∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)·2n－4(2n2－n－1)＝4(n－1)[2n－(2n＋1)]． 当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；

当n＝2时，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4<0，f′(1)<8n2－4n； 当n＝3时，f′(1)－(8n2－4n)>0，

结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x＋1的图象知，当x>3时，总有2x>2x＋1， 故当n≥3时，总有f′(1)>8n2－4n. 综上：当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n； 当n＝2时，f′(1)<8n2－4n； 当n≥3时，f′(1)>8n2－4n. 22．（本小题满分15分）

解：（1）10a1(2a11)(a12)，得2a125a120，解得a12，或a1由于a11，所以a12．

因为10Sn(2an1)(an3)，所以10Sn2an25an2. 故10an110Sn110Sn2an125an122an25an2，

整理，得2(an12an2)5(an1an)0，即(an1an)[2(an1an)5]0． 因为an是递增数列，且a12，故an1an0，因此an1an则数列an是以2为首项，所以an21． 25． 25为公差的等差数列. 251(n1)(5n1).„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 22（2）满足条件的正整数m, n, k不存在，证明如下： 假设存在m, n, kN，使得2(aman)ak，

*1(5k1)． 23整理，得2m2nk， ①

5则5m15n1第 9 页 共 11 页

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显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数m, n, k不存在． „„„„8分

（3）bnann31n3(5n1)2n1， 2222(n3)an2(n3)5n1cnn3．

5n15n12不等式5 m1≤0可转化为

111cn1n131(1)(1)(1)b1b2bn5 m≤31(1111)(1)(1)b1b2bncn1n1 4682n21b11b21b31bn11． 2n12n3b1b2b3bncn1n13574682n21， 3572n12n3设f(n)4682n22n41f(n1)3572n12n32n5则 4682n21f(n)3572n12n32n42n32n4 2n32n5(2n3)(2n5)2n44n216n152n44n216n162n4(2n4)22n41.

2n4所以f(n1)f(n)，即当n增大时，f(n)也增大．

要使不等式5 m1*≤0对于任意的nN恒成立，

111cn1n131(1)(1)(1)b1b2bn只需5 m≤f(n)min即可． 315 m454145≤，所以， 31153515第 10 页 共 11 页

因为f(n)minf(1)龙文教育——教师1对1 金沙江校区 特约数学教师 刘须雷

即m≤43112448. 151515所以，正整数m的最大值为8． „„„„„„„„„„15分

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