第３５卷第５期 ２０１５年９月 海洋测 绘 Ｖｏ１．３５．Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．，２０１５ ＨＹＤＲＯＧＲＡＰＨＩＣ ＳＵＲＶＥＹＩＮＧ ＡＮＤ ＣＨＡＲＴＩＮＧ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１—３０４４．２０１５．０５．００９ 基于广义延拓逼近法的Ｇ ＰＳ高程拟合 林国钻，邱斌 ４１００８３） （中南大学地球科学与信息物理学院，湖南长沙摘要：将广义延拓逼近法用于ＧＰＳ高程拟合中，解析了该方法的基本原理与算法。通过实例验证分析此方法 用于ＧＰＳ高程拟合的适用性与精度，重点将该方法与其他几种常见的ＧＰＳ高程拟合方法在同等条件下的计算结 果进行对比分析。实例证实，该算法用于ＧＰＳ高程拟合相对于其他方法，精度较高，计算简单，且所得函数曲面光 滑性更好。 关键词：广义延拓逼近；ＧＰＳ高程拟合；高程异常；曲面逼近 中图分类号：Ｐ２２８．４ 文献标志码：Ｂ 文章编号：１６７１—３０４４（２０１５）一０５．００３５—０３ １ 引 言 方法进行对比，分析其适应性与精度。 ２广义延拓逼近方法 ＧＰＳ测量可以得到高精度的相对于ＷＧＳ ８４ 椭球面的大地高，我国采用的高程系统是正常高 系统，要将所测大地高用于我国工程实际中要进 行高程转换。高程转换的关键是求出各ＧＰＳ点的 高程异常（ ）。目前，工程应用中普遍采用ＧＰＳ／ 水准法．即通过对分布较均匀的部分ＧＰＳ点进行 广义延拓逼近法吸取了插值法和拟合法的优 点，基于延拓逼近算法的二次曲面分区拟合模型，能 够对复杂的似大地水准面进行统一描述。 将区域ｎ划分为ｍ个互不重迭的单元域 水准联测得到这些点的正常高（ｈ ），直接求出其 高程异常，获取区域高程异常曲面ｆ（ ，Ｙ ），未知 点的高程异常可通过给定的平面坐标（ ，Ｙ ）在曲 面上内插得到 Ｑ （ｅ＝１，２，…， ），为了使单元域上的逼近函数与 周围单元域上的逼近函数既连续又光滑。将定义域 适当能扩展到邻近的单元域上，记为延拓域Ｑ ，且 Ｑ ｃｎ ，并令边界结点的函数值相等，使其满足插 实际上，给定的ＧＰＳ／水准点往往较多，若进行 整域曲面逼近，则必将使用高次曲面进行插值，但 值条件。 构造二次曲面广义延拓逼近模型算法如下： 设第ｅ个子区域Ｑ 中包含ｒ个插值结点。将 与ｎ 邻近几个子区域结合起来形成延拓域ｎ ，其 中含ｓ（ｓ＞ｒ）个结点，于是有： Ｑ ３ Ｑ ，ｅ：１，２，…，ｍ （１） 数值稳定性较差：若采用整域拟合的办法，又会滤 掉高阶变化量。如何能吸取现有插值法和拟合法 的长处与特点．弥补各自的局限性与不足，是一个 值得探索的课题。ＧＰＳ水准拟合方法已经有了大 量的研究，常见的方法有二次曲面法、加权平均 在单元域ｎ 上，取 （ ，Ｙ）＝００＋ａ１ ＋ｎ２ｙ＋ ａ３ｘ ＋ａ４ｘｙ＋ａｓｙ 为插值函数（ ，Ｙ）∈Ｑ ，其中 法、多面函数法、移动曲面法等，其中以二次曲面 拟合最为常用。对于范围较大区域，要在全域内 找到严格符合全域的函数有困难，可以尝试使用 采用分区模拟局部似大地水准面［１－２］。但是此时 又存在曲面拼接的问题，即在交界处可能会产生 台阶性突变。 口 （ｉ＝０，１，２，３，４，５）为待定系数，可由下述问题 解出，即： ｒ Ｊ ｍｉｎ Ｉ（ａ。， …，ｎ ）＝∑（：１ Ｙｉ）一 … ｚ ｌ ｓ． ． ，Ｙ ）＝ ，ｋ＝１，２，…，ｒ 现具体构造二次插值多项式的计算公式，最常 为解决这个问题，可以将广义延拓法＿３ 应用到 ＧＰＳ高程拟合当中，在同等条件下将它与其他常用 收稿日期：２０１４．１０．３１；修回日期：２０１５—０４・２１ 采用的是将整域Ｑ作三角剖分，每个三角形子域Ｑ 简 ：林国钻（１９８９ －），男，福建龙岩人，硕士研究生，主要从事ＧＰＳ数据处理、大地水准面精化研究。 ３６ 海洋测 绘 第３５卷 上的结点编号为１、２、３，其延拓域 上有ｓ（ｓ＞３） 义延拓方法所得的检核点误差要明显好于直接对全 个结点，见图１。 ９ 图１三角剖分示意图 引入拉格朗日乘子Ａ 、Ａ，、Ａ ，应用拉格朗日乘 子法求解问题式（２）可求得方程系数系数ａ，代入插 值函数便得到单元ｎ 上的分片光滑逼近函数 。 把各单元子域的逼近函数一个个拼合起来。便可以 得到全域上的高精度逼近函数为： （３） ３应用实例与方法对比分析 某地在原有一、二、三等水准点的基础上，建立 了由５２个点组成的ＧＰＳ水准网．其平均间距约 １０ｋｉｎ，按二等水准测量的要求与原有一、二等水准 点进行了联测。各点高程精度优于２ｃｍ。为检验 ＧＰＳ水准精度．在区域内施测了１１个点作为检核 点，对水准点进行三角剖分＿４］，结果见图２。 图２点位分布示意图 实际工程应用中最常用的方法是二次曲面拟 合，故先将该测区整个区域按二次曲面方法进行水 准拟合ｌ５］，所得结果与基于三角剖分的广义延拓 法＿６ 所得结果的比较，考虑计算的方便性。同时又 能顾及精度，按与检核点的距离进行搜索，统一将延 拓域结点取为６个，计算结果见表１。其中，广义延 拓插值中误差：１７．９６ｍｍ，全域二次曲面拟合中误 差：２５．７７ｒａｍ。 从计算结果可以看出，基于三角剖分算法的广 域进行二次曲面拟合所得的结果。 表１广义延拓插值结果 为了进一步探讨广义延拓方法的优劣性．现将 单元域与延拓域中参与计算的这些点分别用移动曲 面法、多面函数法以及加权平均法进行水准拟 合｜７ ］，在取点相同、条件一样的情况下，将这些常 用方法与广义延拓逼近法进行对比。拟合结果见表 ２。移动曲面法、多面函数法、加权平均法的拟合中 误差分别为１７．３６ｍｍ、２０．８３ｍｍ、４２．５３ｍｍ。 对比以上方法结果可以得出．除加权平均法¨０ｌ 外，在对相同结点用移动曲面法和多面函数法的拟 合结果精度均优于直接对全域进行二次曲面按拟合 的结果。 在计算过程中，多面函数法要注意核函数和光 滑因子的选取问题¨ ，在此实验中核函数用的是正 双曲函数，光滑因子需要通过不断实验以使计算结 果达到相对最优。其中移动曲面法采用的是按距离 平方的倒数的加权综合模型 第５期 林国钻，等：基于广义延拓逼近法的ＧＰＳ高程拟合 表２检核点残差 单位：ｍ ３７ 提高大范围或地形复杂地区的转换精度。 （５）通过比较，广义延拓法精度较高，计算简 单，且拟合函数的光滑性更好，在用此方法进行高程 转换时，具有一定的优势。 参考文献： ［１］高伟，徐绍铨．ＧＰＳ高程分区拟合转换正常高的研 究［Ｊ］．武汉大学学报：信息科学版，２００４（１０）： ９０８．９１１． ［２］ 赵红星．分区法在ＧＰＳ＋水准网建立区域（似）大地水 准面中的应用［Ｊ］．测绘科学，２００９（ＳＩ）：９２．９３． ［３］ 施浒立，颜毅华，徐国华．工程科学中的广义延拓逼近 法［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５． ［４］徐淑春，吉长东，冯磊．广义延拓法在似大地水准面 在参与拟合的点相同的情况下．移动曲面法和广 义延拓法的精度相当分别为１７．３６ｍｍ和１７．９６ｒａｍ， 略优于多面函数法的２０．８３ｍｍ。移动曲面法与广义 模型精化中的应用『Ｊ］．辽宁工程技术大学学报：自然 科学版，２０１１（２）：２０９—２１１． 延拓法，因广义延拓法附加了条件。以保证相邻 分区间的平滑过渡，所以牺牲了一点精度，但在曲面 拼接¨ ］时更有优势，并且计算方法更为简单．按照纯 数学模型的方法即可。无需进行加权。 ４结束语 ［５］ 胡菊菊，李继尚，陈国良．ＧＰＳ高程曲面拟合的Ｍａｔｌａｂ 算法实现［Ｊ］．全球定位系统，２０１２（５）：８８—９０． ［６］ 陈鹏，陈正阳．广义延拓在ＧＰＳ高程转换中的应用 ［Ｊ］．大地测量与地球动力学，２０１０（２）：１２５—１２８． ［７］ 黄征凯，任超，陈淋．几种确定似大地水准面方法 比较［Ｊ］．全球定位系统，２０１１（５）：５７—６０． ［８］ 陈兰伟，独知行，张忠良，等．ＧＰＳ高程似合的应用［Ｊ］． 全球定位系统，２０１２（３）：４９．５２． （１）广义延拓方法与最常用的对全域进行二次 曲面拟合的方法相比，精度有明显的提高。 ［９］ 陈安平，李红伟．ＧＰＳ高程拟合方法的比较研究［Ｊ］．测 绘地理信息，２０１３（３）：３２．３５． （２）在参与拟合的点相同的条件下，用广义延 拓方法进行高程转换的精度远优于加权平均法，略 优于多面函数法，与移动曲面法所得精度基本相当。 （３）广义延拓法用的也是二次曲面拟合，与多 面函数法相比，无核函数与光滑因子的选取问题，计 算简单．易于实现。 （４）在同样用分区方法进行拟合时，广义延拓 ［１０］张小红，程世荣，许晓东．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ统计的ＧＰＳ高 程拟合方法研究『Ｊ］．大地测量学与地球动力学，２００７ （２）：４９—５１． ［ＩＩ］管真，石风淼，唐秀蓉．多面函数法在丘陵区ＧＰＳ水准 拟合中的应用研究［Ｊ］．测绘与空间地理信息，２０１２（１）： １２４－１２６． ［１２］张冰，王小东，王帅都．ＧＰＳ高程测量中的分区拟合 法相比其它方法，与邻域能更好地平滑过渡，能有效 研究［Ｊ］．人民黄河，２００９（２）：１１—１２． ＧＰＳ Ｅｌｅｖａｔｉｏｎ Ｆｉｔｔｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ＬＩＮ Ｇｕｏｚｕａｎ，ＱｉＵ Ｂｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｃｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｘ￣ｎｄｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ＧＰＳ ｅｌｅｖａｔｉｏｎ ｆｉｔｔｉｎｇ．Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ａｎａｌｙｓｅｓ ｉｔｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｍｐａｒｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｃＯｍｍＯｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｎ￣ｆｉｏｎ．Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｆｕ＇ｍｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ．ｅａｓｉｅｒ ｃａｌｃｕ１ａｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｅｔｔｅｒ ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；ＧＰＳ ｅｌｅｖａｔｉｏｎ ｆｉｔｉｎｇ；ｈｅｉｇｈｔ ａｂｎｏｒｍａｌｉｔｙ；ｓｕ】 ａｃｅ ａｐｐ∞ Ⅱｎａｔｌ。“
