第４ ４卷 第２期 湖南大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．４４，Ｎｏ．２ ２ Ｏ １ ７ 年２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｆｅｂ．２ ０ １ ７ 文章编号：１６７４—２９７４（２０１７ Ｊ０２—００５３～０７ ＤＯＩ：１０．１６３３９／ｊ．ｃｎｋｉ．ｈｄｘｂｚｋｂ．２０１７．０２．００８ 基－Ｔ＂Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与模型减缩技术的 虚拟迭代载荷反求 张邦基，周守玉，谢庆喜 ，张农 （湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，湖南长沙４１００８２） 摘 要：将模型减缩技术应用于动态响应的求解，基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化载荷反求方 法，在迭代过程逐步修正载荷信号，使系统的响应逼近期望响应信号，最终精确反求出栽荷 信号．算例表明，该方法相对于传统Ｔｉｋｈｏｎｏｖ方法，既保留了良好抗噪特点，同时又提高了 峰值栽荷处的反求精度，从而使得整体反求精度更高． 关键词：栽荷反求；正则化；虚拟减缩；迭代方法 中图分类号：ＴＰ３９１．９ 文献标志码：Ａ Ｌｏａｄ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｉｒｔｕａ１ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ Ｒｅｇｕ１ａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍｏｄｅｌ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ＺＨＡＮＧ Ｂａｎｇｊｉ，ＺＨＯＵ Ｓｈｏｕｙｕ，ＸＩＥ Ｑｉｎｇｘｉ’，ＺＨＡＮＧ Ｎｏｎｇ （Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ ｆｏｒ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｂｏｄｙ。Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ。Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８２。Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｓｐｏｎｓｅ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｓｉｇｎａｌｓ，ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｗａｓ ｔｈｅｎ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍｏｄｉｆｙ ｔｈｅ ｌｏａｄ ｓｉｇｎａｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏａｄ ｓｉｇｎａｌｓ ｗａｓ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｍｅｔｈｏｄ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｒｅｔａｉｎ ａ ｇｏｏｄ ａｎｔｉ—ｎｏｉｓｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ，ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉ— ｓｉｏｎ ｏｆ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｍｕｃｈ ｈｉｇｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａ１ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ；ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ；ｖｉｒｔｕａｌ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ 工程振动问题备受关注，结构动态载荷的精确 意义． 获取可为工程结构的振动分析、疲劳分析等提供基 载荷反求是通过系统响应和振动特性来反求结 础，然而因经济性或技术条件的，许多情况下载 构所受载荷，是动力学第二类反问题＿】］．国内外学者 荷难以通过直接测量的方式获取，如汽车车身所受 针对动态载荷反求的理论和技术研究做了很多工 的激振力、轮船行驶时受到的波浪式冲击载荷等．因 作＿２ ］．传统的反求方法有时域法与频域法两大 此利用载荷反求方法间接获取激振载荷具有重要 类 ］，随着计算机技术的发展，遗传算法 一、神经网 ＊ 收稿日期：２Ｏ１６－０２－２２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１６７５１５２）．Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（５１６７５ｌ５２） 作者简介：张邦基ｆｌ９６７一），男，湖南益阳人，湖南大学教授，博士 十通讯联系人，Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｅｑｉｎｇｘｉ０００＠ｅｓｃｉｅｎｃｅ．ｃｎ ５４ 湖南大学学报（自然科学版） 络【 等新方法被应用于载荷反求领域．Ｋｉｍ等人跚 利用结构动力学关系构建载荷反求动力学方程，通 过频响函数求逆法进行载荷反求，用奇异值分解法 （ＳＶＤ）改善频响函数求逆过程中的矩阵病态问题； Ｃｈｏｉ等人［９ 。。运用最小二乘的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化 方法解决矩阵的病态问题，在提高载荷反求结果稳 定性与抗干扰性方面效果良好，并对比分析了不同 正则化参数选择方法对载荷反求精度的影响．国内 在正则化反求法方面做了很多研究＿＿】 ¨］，其中应用 较广的是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化反求法．郭荣等 综合 运用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与奇异值分解的反求方法， 有效提高了结构载荷反求精度． 然而Ｔｉｋｈｏｎｏｖ等正则化反求法存在其自身的 缺陷，由于该方法对反求载荷有平滑的作用，导致在 响应测试噪声水平较高，或者系统线性程度不高的 情况下，在反求信号的峰值处将很难得到较好结 果［ ］．对此，结合文献［１５］中室内试验台架驱动文 件生成方法，提出新的载荷反求方法．其基本流程 是，将Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化所反求的载荷重新激励系 统，将获得的响应与真实期望响应对比，通过误差反 馈补偿来逐步修正Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化反求法所得到 的载荷信号，以提高在载荷峰值处的反求精度．考虑 到在实际工程中，所研究的对象往往是复杂结构仿 真模型，迭代中频繁的正向求解过程相当耗时，甚至 导致反求过程难以实现．对此，本文结合模型减缩技 术，对大型有限元结构进行降阶处理，得到规模较小 的等价模型，在保证响应计算精度的同时，极大缩短 正问题的求解时间，提高计算效率． １虚拟迭代载荷反求原理 １．１ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化理论 对于线性系统，在待反求载荷＿厂（￡）的作用下， 系统的响应可以由单位脉冲响应函数与动态载荷的 卷积分形式表示为： ｒ Ｙ（ ，ｔ）一Ｉ Ｇ（ ，ｔ一 ．厂（ ）ｄｔ （１） Ｊ ０ 式中：ｙ（ｘ，ｔ）为结构测点－ｚ处的响应，可以是位移、 速度、加速度等；Ｌ厂（ ）为载荷的时间历程；Ｇ（ｘ，￡） 是相应的载荷作用点到响应点的Ｇｒｅｅｎ函数，即单 位脉冲响应． 考虑零初始条件系统，可将式（１）中的卷积分在 时域内进行 ｚ个等间隔时间点离散，可化为一组线 性方程组： Ｇ Ｇ２ Ｇ１ 』 Ｇ Ｇ一１ 简记为： Ｙ—ＧＦ （３） 式中：Ｙ ，Ｇ ， ｆ 分别为在时刻ｔ—ｉＡｔ的响应、 Ｇｒｅｅｎ函数和待反求的载荷；Ｇ为下三角矩阵． 对于多源载荷，采用单源载荷相同的方法，将其 离散为线性方程组的形式，根据线性叠加原理，将多 源载荷问题表示为矩阵形式 ｆ Ｉｙｌ １Ｉ ｌｒＧ１ １ Ｇ１２ １；Ｊ ｙ ２｛ ｆ Ｇｅ， ｊ 。 【ｙ Ｊ ＿Ｇ Ｇ 式中： 为载荷源的个数；Ｇ 为载荷源Ｆ，到测点Ｙ 之间响应Ｇｒｅｅｎ函数．为了表述方便，也可将其简记 为式（３）的形式．通常情况下，当矩阵Ｇ是秩亏或者 病态时，对式（３）进行简单的矩阵求逆操作所得到的 ● ● 结果往往是不适定性的．正则化方法是解决此类病 态问题的有效途径，Ｔｉ： ｋｈｏｎｏｖ正则化因其不用进行 奇异系的计算，计算量小，而得到较多的关注．其实 质是通过增加约束信息，增强求解的适定性，从而保 证结果的准确稳定． 实际测试中，测量误差不可避免．记带有测量误 差的响应为Ｙ （下标 表示含有测量误差）．建立目 标函数： ｏｂｊ（ａ）一ｍｉｎ｛１ｌ ＧＦ—ｙ １１；十０ｔ ｌ ｌＦ １｛；）（５） 式中：ａ为正则化参数．这种处理使得反求过程包含 残值的模 ＧＦ— ｌｌ与解的模ＩＩ Ｆ Ｉｌ两类约束， 从而同时保证解的精确性和稳定性．显然，所谓的正 则化方法其实质是一种带约束的最小二乘法．式（５） 的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化解为： 一（Ｇ Ｇ＋ａ／） Ｇ Ｙ （６） 不同的参数ａ可调节残差的模１ｊ ＧＦ—Ｙ １ｌ与解的 模Ｉｌ Ｆ Ｉｌ的相对大小：ａ越大则解的稳定性越好，解 的逼近性越差；ａ越小则情形正好相反。因此需要选 择合适的正则化参数ａ来平衡这一矛盾，达到最佳 反求效果．本文采用应用广、适应性强的Ｌ曲线法 来确定最佳的正则化参数 ． ● 第２期 张邦基等：基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与模型减缩技术的虚拟迭代载荷反求 ５５ １．２迭代反求算法 于有限元模型，通常网格越密仿真精度越高，但密集 当线性时不变系统响应噪声水平不高时，采用 最优正则化参数的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ方法可较精确地反求 激励载荷，但是当系统响应噪声水平较高时，即使是 最优的正则化参数，也难以平衡解的逼近性与稳定 性这对矛盾；且在工程实际中，系统的各个环节，如 汽车的衬垫等连接部件，在一定程度上都存在非线 的网格会导致响应求解时间增长，尤其在反复迭代 计算过程中，正问题的求解时间过长是影响迭代的 重要因素．对此，采用模型减缩技术，对原始有限元 模型进行降阶等效，再对降阶模型进行迭代响应计 算，从而解决计算精度与计算效率之间的矛盾．本文 采用的减缩方法是ＩＲＳ＿】 方法． 性因素，导致反求难度增大．对此，采用迭代的方法， 根据响应误差反馈补偿，逐步修正所求载荷信号，使 其达到要求［１ ． 首先，对一个已知系统，其响应信号 ，由上述 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法反求，计算出初始载荷信 号为： Ｆｄｏ（￡）一（Ｇ Ｇ＋ａ１） Ｇ ｙａ（ ） （７） 下一步用初始载荷信号 （ ）重新激励系统，同时 采集此时激励所得响应信号Ｙ （ ），计算Ｙ （￡）与原 始期望响应信号 （￡）的误差： ８１（ｒ）一ｌ，ｌ（ ）～ （ｆ） （８） 由迭代误差的收敛准则来判断此次时间历程响应误 差是否满足收敛条件，若满足，则此次反求迭代结 束；若不满足则进行反馈修正，设第ｉ次迭代采集到 的系统响应为ｙ （￡），那么响应误差为： ＆（￡）：Ｙ （￡）～Ｙａ（ ） （９） 则本次迭代反求载荷的修正信号为： △ （￡）一（Ｇ Ｇ＋ ） Ｇ ８ （￡） （１０） 由正则化特性可知，式（１０）的计算可对所求载 荷修正信号进行一定的降噪和平滑作用，且不会增 加原信号的噪声干扰，优于传统的迭代方法 ”］．把 修正信号△ （￡）加到上一次迭代的反求载荷 ｃＨ （￡）上去，就得到本次修正后新的载荷信号， 再用新得到的载荷信号激励系统，反复迭代，直到响 应误差满足收敛条件为止．为了防止过载，控制迭代 不发散，应当对式（１０）计算出的修正信号加以适当 衰减： ｊ （￡）一Ｆｎ（Ｈ）（ ）＋ ｄｉａｇ（２ｌ， ２，…， ）△ｊ （￡） （１１） 式中： ， ｚ，…， 为衰减系数，迭代初期，误差较 大时，应当选取较小衰减系数，随着迭代次数增加， 趋近于迭代收敛时，衰减系数应当接近于１．０Ｅ ］． １．３减缩技术 载荷的迭代反求过程，需要反复计算仿真系统 的动响应，仿真系统通常用有限元的方式表达．但对 ＩＲＳ减缩方法是一种基于Ｇｕｙａｎ静力减缩法 并考虑惯性力影响的改进方法．系统的运动方程可 以表示为： ＋Ｋｘ—Ｆ （１２） 式中：Ｍ为系统的质量矩阵；Ｋ为系统的刚度矩阵； Ｆ为系统的载荷向量； 为系统的位移向量．对矩阵 进行分块处理，并且假定没有载荷作用在从自由度 上时，可以将运动方程写为： 厂Ｍ Ｍ ］ｆ １ 厂Ｋｒ ＫＩ ］ｆ ］ ＬＭ ＿Ｊ【 Ｊ Ｌ Ｋｓ Ｋｓ ．Ｊ ｃ ｊ （１３） 式中：下标ｍ和Ｓ分别代表主自由和从自由度， Ｇｕｙａｎ减缩后可得质量矩阵与刚度矩阵分别为： ＭＲ— ＭＴ （１４） ＫＲ一 ＫＴ （１５） 式中： 为Ｇｕｙａｎ转换矩阵．将Ｇｕｙａｎ法得到的减 缩后质量矩阵ＭＲ和刚度矩阵ＫＲ代人动力学方 程得： Ｊ 一ＫＲ （１６） 考虑动力模型减缩方法，用动刚度表示的平衡 方程为： ｒＫｍｆｍ一叫 Ｍ Ｋｍ 一∞ Ｍｍ ］ｆ ］ ｆＦ ］ ＬＫ 一 。Ｍ Ｋ 。一叫 Ｍ ｌＩ＜ ＞ Ｊ ＝：：‘ｌ Ｆ。Ｊ ＞ （１７） 从自由度的选取应满足没有系统外部载荷输 入，即Ｆ 一０，可得下述方程： ［Ｋ。 一∞ ＾ ］ ＋［Ｋ 。一 。＾ ］ 一０（１８） 此时，将方程（１７）进行变形处理，用主自由度将从自 由度表示出来，从而解得 和 之间的关系： ＝ 厂 Ｊ ］ －Ｉ＿ ＋ （旭 ～Ｍｓ Ｋ 。） ＫＲ ｊ‰ ５６ 湖南大学学报（自然科学版） 可得ＩＲＳ法转换矩阵为： Ｔ１Ｒｓ＝＝＝一Ｋ－ Ｋ ＋ 值之比，反应了响应信号中是否存在奇异点．由此可 以看出，该迭代误差定义为相对值，不受响应幅值影 （２０） Ｋ：： （Ｍｓ 一Ｍ。。Ｋ： Ｋｓ ）螈 ＫＲ 响，能比较科学地体现计算响应与原始期望响应的 逼近程度，是一较好的收敛准则． 在计算得到转换矩阵 ＭＩＲｓ一１ ｓ』ⅥＴ Ｋｍｓ一 ｓＫＴＩＲｓ 后，很容易计算得到 （２１） （２２） 减缩后系统的质量矩阵和刚度矩阵： ２数值算例 式中：矩阵Ｍ－ ｓ，ＫＩ ｓ分别为ＩＲＳ法减缩后的质量 矩阵和刚度矩阵．以此减缩后的模型数据来进行上 述迭代响应计算． １．４迭代收敛条件 为了验证上述迭代法对Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化反求 结果的优化作用，以及模型减缩技术对迭代效率改 善的正确性与有效性，下面给出几种不同载荷形式 一～一一一会一 的算例进行仿真对比分析．选用一块带约束的平板， 在ＡＢＡＱＵＳ中建立如图２所示的有限元模型，平 板一边两端用螺栓夹紧固定，模型中平板的弹性模 量为２１０ ＧＰａ，密度为７．８５ ｇ／ｃｍ。，厚度为４ ｍｍ，边 长为５００ ｍｉｌ１． 上述Ｔｉｋｈｏｎｏｖ迭代正则化算法可用流程框图 表示，如图１所示． 开始 修正载荷 — 。ｒ ’一 响应误差 计算修正系数 ’ —ｒ＿ 一 图２平板有限元模型 Ｆｉｇ．２ ＦＥＭ ｏｆ ｔｈｅ ｐｌａｔｅ Ｎ ｌ ２．１模型减缩应用及结果分析 为提高响应计算速度以及迭代效率，对该模型 结束 进行减缩降阶，在确保模型精度不受影响的情况下， 用近似的低阶模型代替原来复杂的高阶系统模型来 进行迭代反求．对该有限元模型，质量矩阵和刚度矩 阵通过ＡＢＡＱｕｓ被直接导出，在模型上选取包括 激振点与拾振点在内共１７６个节点，用ＩＲＳ减缩法 图１ 迭代算法流程图 Ｆｉｇ．１ Ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ 其中如何制定迭代误差判断迭代是否终止尤为 重要．作为收敛准则，既要科学地体现响应对比的逼 近程度，又要简单易收敛，显然收敛准则选择得好与 在ＭＡＴＩ ＡＢ中对平板模型进行模型减缩，并用模 态置信度（ＭＡＣ值）分析减缩前后模型模态振型吻 合程度，验证该减缩模型的精度 ． ２．１．１ 减缩前后振型对比 坏，将直接影响到算法是否收敛以及收敛得快与慢． 本文用一种加权误差来定义收敛准则ｎ ，如下： Ｅ－。．８ ＋ 模态置信度（ｍｏｄａｌ ａｓｓｕｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ＭＡＣ） 表达式如下： （２３） ∑ｙ （￡） Ｏ．２ ａｘ Ｌｕ１ Ｉ Ｍ ＡＣｉＪ一 （２４） 表 Ｌ ｝式中：第１项为响应误差与原始期望响应信号均方 值的比值，反应了响应误差在整个时问段上的相对 大小；第２项为响应最大偏差与原始期望信号最大 式中： 表示减缩后模型的第ｉ阶模态振型； 示减缩后模型的第 阶模态振型； 表示原模型第ｉ 阶模态振型； 表示原模型第Ｊ阶模态振型；Ｔ表示 第２期 张邦基等：基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与模型减缩技术的虚拟迭代载荷反求 ５７ 共轭转置．ＭＡＣ是一个元素值介于０～１之间的方 阵，当其对角元素接近ｌ，非对角元素接近０时，则 可认为模型减缩前后的各阶模态振型对应良好． 数据如表１所示． 表１ 减缩前后模型动响应计算时间 Ｔａｂ．１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＣＰＵ－ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌＪ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ｓ 应用ＭＡＣ矩阵，对比了模型减缩前后的前４０ 阶振型模态向量，如图３所示，对角线上除个别点 外，其余值为１；非对角值基本为０．可以认为减缩模 型能够较好保留原模型的柔性特征． １．４ １ ２ ■■■■－ Ｕ 萋 图３模型减缩前后ＭＡＣ值 Ｆｉｇ。３ ＭＡＣ ｖＭｕｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ２．１．２动响应计算效率分析 在载荷反求过程中往往需要反复多次求取系统 响应，因此动响应计算效率是衡量反求实际效果的 重要标准．分别对算例原模型、ＩＲＳ减缩模型求动态 响应，比较相同时间历程的动态响应所消耗实际 ＣＰＵ时间，结果如图４所示． 响应时间／ｓ 图４模型减缩前后动响应计算时间对比 Ｆｉｇ．４ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＣＰＵ ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌＩ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍｏｄｅｌｓ 图４中，横坐标表示不同响应时间历程，纵坐标 表示计算相应时间历程的响应实际所需时间．具体 由此可见，相比于原模型，ＩＲＳ减缩模型大大减 少了动响应计算时间，因此，模型减缩很大程度上提 ■■—■Ｉ＿ 高了计算效率，所需计算响应时间历程越长，效果越 明显．在本文数十次迭代计算动态响应过程中，ＩＲＳ 模型减缩技术的应用将极大地提高迭代计算响应 效率． ２．２载荷反求对比分析 在板面节点３０８ 施加垂直于板面的单位载荷， 选取响应节点６２ 垂直板面方向速度作为响应（如 图２所示）．首先计算载荷点到响应节点对应的 Ｇｒｅｅｎ函数；再以不同形式载荷下的响应，进行载荷 反求；最后对仿真得到的响应数据加入一定水平的 随机噪声来模拟测试误差．此时带噪声的速度响应 可用下式来表示： （ ）一ｌ，（ｆ）＋Ｚ 。ｉ。。ｓｔｄ（Ｙ（ｆ））ｒａｎｄ（～１，１） （２５） 式中：ｌ，（ ）为仿真得到的速度响应；ｓｔｄ（Ｙ（ｔ））为速 度响应ｙ（ ）的标准差；ｚ 。 为噪声水平的百分数； ｒａｎｄ（一１，１）是区间ｒ一１，１］的随机数口 ． 在速度响应中加入１５ 的模拟噪声，首先用传统 的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法进行载荷反求，以Ｌ曲线法确 定最优正则化参数，得到待求载荷，计算反求精度；再 以此反求载荷，作为初始激励载荷，用上述虚拟迭代方 法修正载荷信号，进行反求优化，以达到精度要求；最 后对比优化前后载荷反求精度． 选用不同频率、不同幅值周期正弦、正弦扫频（１０ ～１Ｏ０ Ｈｚ）、三角波以及随机激励等形式的激振力激振 进行载荷反求，反求结果如图５一图９所示． 由图５一图９可以看出，对不同形式的激励，在 一定噪声水平情况下，传统的Ｌ曲线法确定最优参 数的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法能够很好地抑制噪声对 反求结果的干扰，具有很强的稳健性．但在载荷峰值 处，反求误差较大，反求整体精度受影响，这主要是 由于正则化方法对反求载荷有平滑的作用，使得该 方法在载荷峰值难以得到准确的反求结果．Ｔｉｋ一 ５８ 湖南大学学报（自然科学版） ｈｏｎｏｖ正则化方法对这几种载荷反求的加权误差为 ８．０ 左右．而本文提出的迭代ＴｉｋｈｏｎＯＶ正则化方 法不仅能够继承传统正则化方法反求结果稳健性的 优点，同时还可以改善其在载荷峰值处反求结果，提 高反求精度，反求结果加权误差最低可降至２．０％． 时间／ｓ 图５ 正弦波激励反求结果对比 Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｅ ｗａｖｅ １ｏａｄ 时间／ｓ 图６三角波激励反求结果对比 Ｆｉｇｒｅｓｕｌ・６ Ｃｏｔｓ ｏｆｍｐａ ｔｈｅ ｔｒｉｒｉｓｏｎａｎｇｕｌａｒ ｗａｖｅ ｌ ０ｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｏａｄ ｃａｔｉ０“ 时间／ｓ 图７ 正弦三角混合波激励反求结果对比 Ｆｉｇ．７ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｅ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｗａｖｅ １ｏａｄ 时间／ｓ 图８随机激励反求结果对比 Ｆｉｇ．８ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｌｏａｄ 时间／Ｓ 图９ 正弦扫频（１０～１００ Ｈｚ）激励反求对比 Ｆｉｇ．９ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｅ ｓｗｅｅｐ ｌｏａｄ 迭代Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法无论对确定信号还是随 机载荷激励都有很好的反求精度，且对如图９所示 中的高频载荷段迭代反求也有很高的精度． ３ 结 论 本文在传统Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化反求方法的基础 上，提出了一种新的迭代改进方案．结合有限元算例 和模型减缩技术，分别采用传统Ｔｉｋｈｏｎｏｖ方法和 本文迭代方法对三角、正弦以及随机载荷等激励进 行载荷反求．结果表明： １）本文提出的基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化迭代反求 方法不仅能够继承传统Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化反求法有 效抑制噪声的特点，同时还可以提高其在峰值载荷 处的反求精度，整体反求精度高； ２）应用模型减缩技术可以提高动响应求解效 率，有助于载荷反求迭代过程的开展，最终又快又好 的求得激励载荷． 第２期 张邦基等：基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化与模型减缩技术的虚拟迭代载荷反求 ５９ ＺＨＡＮＧ Ｌｅｉ，ＣＡＯ Ｙｕｅｙｕｎ．Ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ＣＧ—ＴＬＳ 参考文献 ｒ１］ ＭＡＲＣＨＵＫ Ｇ Ｉ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ［Ｍ］ Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９７５：１６—１８． ｒｅｇｕｌａｒｉｚｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１４，３３（９）：１５９—１６４．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１２３韩旭，刘杰，时域内多源动态载荷的一种计算反求技术［Ｊ］。力 学学报，２００９，４１（４）：５９５—６０２． ＨＡＮ Ｘｕ．Ｉ，ＩＵ Ｊｉｅ．Ａ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｒｅｖｅｒｓｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ［２］ 孙兴盛，刘杰，丁飞，等．基于矩阵摄动的随机结构动态载荷识 别技术ＥＪ］．机械工程学报，２０１４，５０（１３）：１４８—１５６． ＳＵＮ Ｘｉｎｇｃｈｅｎｇ，ＬＩＵ Ｊｉｅ，ＤＩＮＧ Ｆｅｉ，ｅｔ ａ１．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ ｓｏｕｒｃｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄｓ ｉｎ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ［刀．ＡＣＴＡ Ｍｅ— ｃｈａｎｉｃａ，２００９．４１（４）：５９５—６０２．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ｍａｔｒｉｘ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉ ［１３］常晓通，阎云聚．基于Ｇｒｅｅｎ函数和正则化的动态载荷识别方 ｎｅｅｒｉｎｇ，２０１４，５０（１３）：１４８—１５６．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［３］ 彭凡，马庆镇，肖健，等．整体平动自由结构载荷时域识别技术 研究［刀．振动与冲击，２０１６，３５（６）：９１—９５． ＰＥＮＧ Ｆａｎ，ＭＡ Ｑｉｎｇｚｈｅｎ，ＸＩＡＯ Ｊｉａｎ，ｅｔ ａ１．Ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａ— ｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒａｌｌ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２０１６，３５（６）： ９１～９５．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］ ＳＡＮＣＨＥＺ Ｊ，ＢＥＮＡＲＯＹＡ Ｈ．Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｆｏｒｃｅ ｒｅｃ０ｎｓｔｒｕｃｔｉ０ｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１４，３３３ （１４）：２９９９—３０１８． ［５］ 胡寅寅，率志君，李玩幽，等．设备载荷识别与激励源特性的研 究现状［Ｊ］．噪声与振动控制，２０１１（４）：ｌ一５． ＨＵ Ｙｉｎｙｉｎ．ＬＶ Ｚｈｉｊｕｎ，ＬＩ Ｗａｎｙｏｕ，ｅｔ ａ１．Ｓｔａｔｕｓ ＱＵＯ ｏｆ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｍａｃｈｉｎｅ・ｓ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ［Ｊ］．Ｎｏｉｓｅ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１１（４）：１—５．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［６］ 刘杰，许灿，李凡，等．基于 —ＰＤＦ和一次二阶矩的不确定性 反求方法［Ｊ］．机械工程学报，２０１５，５１（２０）：１３５～１４３． ＬＩＵ Ｊｉｅ，ＸＵ Ｃａｎ，ＬＩ Ｆａｎ，ｅｔ ａ１．Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｋ－－ＰＤＦ ａｎｄ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｓｅｃｏｎｄ ｍｏｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１５，５１（２０）：１ ３５—１４３．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［７］ 奠旭辉，韩旭，钟志华．基于渐近神经网络的汽车前轮定位参数 反求［Ｊ］．湖南大学学报：自然科学版，２００８，３５（６）：１８—２２． Ｍ０ Ｘｕｈｕｉ，ＨＡＮ Ｘｕ，ＺＨ０ＮＧ Ｚｈｉｈｕａ．Ｉｄｅｎｔｍｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｏｎｔ ｗｈｅｅｌ ａｌｉｇｎｍｅｎｔ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ ｎｅｕｔｒａｌ ＮＥＴＷ ＯＲＫ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａ￣Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２００８，３５（６）：１８～２２．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［８］ ＫＩＭ Ｙ Ｃ，ＮＥＩ ＳＯＮ Ｐ Ａ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｓａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｓｏｕｒｃｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｂｙ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００４，２７５（３）：４６３—４８７． ［９］ ＣＨＯＩ Ｈ Ｇ，ＴＨＩＴＥ Ａ Ｎ，ＴＨＯＭＰＳＯＮ Ｄ Ｊ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒｃｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００７，３０４（３／５）：８９４—９１７． ［１Ｏ］ ＣＨＯ１ Ｈ Ｇ，ＴＨＩＴＥ Ａ Ｎ，ＴＨ０ＭＰＳＯＮ Ｄ Ｊ．Ａ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｆｏｒｅｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａ— ｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，２００６，６７（７）：７００—７１９． ［１１］ 张磊，曹越云．总体最小二乘正则化算法的载荷识别［Ｊ］．振动 与冲击，２０１４，３３（９）：１５９—１６４． 法［Ｊ］．振动、测试与诊断，２０１４，３４（１）：１２４—１２９． ＣＨＡＮＧ Ｘｉａｏｔｏｎｇ，ＹＡＮ Ｙｕｎｊｕ．Ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｒｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉ０ｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒ— ｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ＆Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ，２０１４，３４（１）： １２４—１２９．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１４］郭荣，房怀庆．基于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化及奇异值分解的载荷识别 方法ｒＪ］．振动与冲击，２０１４，３３（６）：５３—５８． ＧＵＯ Ｒｏｎｇ，ＦＡＮＧ Ｈｕａｉｑｉｎｇ．Ｎｏｖｅｌ ｌｏａｄ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈ— ｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｊ ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ，２０１４，３３（６）：５３—５８．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１Ｓ］ＨＡＹ Ｎ Ｃ，ＲＯＢＥＲＴＳ Ｄ Ｅ．Ｒｏａｄ ｓｉｍｕｌａｔｏｒｓ：ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌ— ｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｄｒｉｖｅ ｆｉｌｅ ｃｒｅａｔｉｏｎ［Ｃ］／／２００６ ＳＡＥ Ｗｏｒｌｄ Ｃｏｎ— ｇｒｅｓｓ．Ｄｅｔｒｏｉｔ，Ｍｉｃｈｉｇａｎ，２００６：２００６—２０１１． ［１６］陈栋华，靳晓雄，周铉．汽车室内道路模拟试验系统控制算法的 研究［Ｊ］．噪声与振动控制，２００６（Ｉ）：３１—３５． ＣＨＥＮ Ｄｏｎｇｈｕａ，ＪＩＮ Ｘｉａｏｘｉｏｎｇ，ＺＨ（）Ｕ Ｈｏｎｇ．Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｃｏｎ ｔｏｒｌ ａｌｇｏｉｒｔｈｍ ｆｏｒ ｖｅｈｉｃｌｅ ｒｏａｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｅｓｔ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｎｏｉｓｅ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００６（１）：３１—３５．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１７］杜永昌．车辆道路模拟试验迭代算法研究［Ｊ］．农业机械学报， ２００２，３３（２）ｉ５—７． ＤＵ Ｙｏｎｇｃｈａｎｇ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｖｅｈｉ— ｃｌｅ ｒｏａｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ。２００２，３３（２）：５—７．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１ ８］汪斌，过学迅，李孟良．基于迭代学习控制的道路模拟算法［Ｊ］． 汽车工程，２０１０，３２（８）：６８６—６８９． ＷＡＮＧ Ｂｉｎ，ＧＵＯ Ｘｕｅｘｕｎ，ＬＩ Ｍｅｎｇｌｉａｎｇ．Ｒｏａｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１０，３２（８）：６８６—６８９．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１９］ＯＣＡＩ Ｉ ＡＨＡＮ Ｊ Ｃ．Ａ ｐｒｏｅｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｒｅｄｕｅｅｄ ｓｙｓ— ｔｅｒｎ（ＩＲＳ）ｍｏｄｅｌ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ７ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｍｏｄａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｌａｓ Ｖｅｇａｓ：Ｕｎｉｏｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｐｒｅｓｓ，１ ９８９：１ ７— ２１． ［２ｏ］褚志刚，夏金风，王光建．循环对称结构重根模态振型相关性修 正［Ｊ］．机械工程学报，２０１４，５０（２３）：６０—６４． ＣＨＵ Ｚｈｉｇａｎｇ，ＸＩＡ Ｊｉｎｆｅｎｇ，ＷＡＮＧ ＧｕａｎｇＪｉａｎ．Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｄｏｕｂｌｅｔ ｍｏｄｅ ｓｈａｐｅｓ ｏｆ ｃｙｃｌｉｃ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｓｔｒｕｃ— ｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１４，５０（２３）： ６Ｏ一６４．（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
