线性代数练习题及答案

线性代数练习题及答案

线性代数期中练习 一、单项选择题。 1．

k122k10的充分必要条件是( )。

(A) k1 (B) k3 (C) k1 且k3 (D) k1或k3 2．若AB＝AC，当（ ）时，有B＝C。

(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵 (C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵

a113．若三阶行列式a21a12a22a32a13a332a112a312a122a222a322a13。 2a23（ ）

a23M，则2a21a312a33(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M

ax1x2x304．齐次线性方程组x1ax2x30有非零解，则a应满足（ ）。

xxx0123(A) a0； (B) a0； (C) a1； (D) a1．

5．设1,2是Axb的两个不同的解，1,2是Ax0的基础解系，则Axb 的通解是（ ）。

(A)

1c11c2(12)(12)2

(B)

1c11c2(12)(12)2 (C)

11c11c2(12)(12) (D) c11c2(12)(12)

22二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 。

。

7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = | ( AB )-1 |= 。

2 / 9

BO118. 在分块矩阵A=中，已知、存在，而O是零矩阵，则 CBOCA1 。

19．设D=111345437,则A41A42A43A44 。

25272312310．设矩阵A=235，则A的秩R(A)= 。

471三．计算题（要求写清计算过程）

11112311. 设A111，B124，求3AB2A。

111051

x12L1x2L12．计算行列式 D12xLMMMO123L

nnn。 Mx x1x2 5x3 x4013．解齐次线性方程组 x1 x22x33x40。

3x x8x x02341

3 / 9

0101114．解矩阵方程AXBX，其中A111,B20。

10153

x1x2x3a15．a取何值时，线性方程组ax1x2x31有解, 并求其解。

xxax1312

四．证明题（每题5分，共10分）

16. 设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关： 112 ，223，313。

17．设n阶矩阵A满足A22A4IO.证明：A可逆并求A1。

4 / 9

线性代数参

一、单项选择题。 1．

k122k10的充分必要条件是( C )。

(A) k1 (B) k3 (C) k1 且k3 (D) k1或k3 2．若AB＝AC，当（ B ）时，有B＝C。

(A) A为n阶方阵 (B) A为可逆矩阵 (C) A为任意矩阵 (D) A为对称矩阵

a113．若三阶行列式a21a12a22a32a13a332a112a312a122a222a322a13。 2a23（ D ）

a23M，则2a21a312a33(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M

ax1x2x304．齐次线性方程组x1ax2x30有非零解，则a应满足（ D ）。

xxx0123(A) a0； (B) a0； (C) a1； (D) a1．

5．设1,2是Axb的两个不同的解，1,2是Ax0的基础解系，则Axb的通解是（ A ）。

(A)

1c11c2(12)(12)2

(B)

1c11c2(12)(12)2 (C)

11c11c2(12)(12) (D) c11c2(12)(12)

22二．填空题。

6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A·BT = 28 。

。

7．已知A、B为4阶方阵，且A＝－2，B＝3，则| 5AB | = -3750 | ( AB )-1 |= -1/6

。(答对其中一空给2分)

5 / 9

BO118. 在分块矩阵A=中，已知、存在，而O是零矩阵，则 CBOCB1O 。 A 1OC119．设D=111345437,则A41A42A43A44 0 。

25272312310．设矩阵A=235，则A的秩R(A)= 2 。

471三．计算题（要求写清计算过程）

11112311. 设A111，B124，求3AB2A。

11105111112301524解：3AB311112401518

1110516270015242223AB2A01518222

627022221322=21720。 4292x12L1x2L12．计算行列式 D12xLMMMO123Lnnn。 Mx 6 / 9

x1n(n1)12Ln12Ln2x2Lnx12n(n1)x2Ln2xLnMMOMx12n(n1)2xLn

23LxMMMOMx12n(n1)23Lx112Ln11x2Ln[x2n(n1)]12xLn

MMMOM123Lx112L0x1L[x102n(n1)]01x2LMMMO011L=[x12n(n1)](x1)(x2)L(xn)。

 x1x2 5x3 x413．解齐次线性方程组0 x1 x22x33x40

3x1 x28x3 x40解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换

13021A11517112301

3181220000得出原方程组的同解方程组

x1  3x3 x402

 x272x32x40 7 / 9

n00Mxnx1解：D1M1

设x3c1,x4c2,c1,c2为任意常数.得到方程组的全部解为

37(x1,x2,x3,x4)Tc1(,,1,0)Tc2(1,2,0,1)T,c1,c2为任意常数。

220101114．解矩阵方程AXBX，其中A111,B20。

10153解：由AXBX得(IA)XB。

因为IA0所以X(IA)1B。

11002/31/3(IA)110112/31/3

10201/31/31因而

02/31/311X(IA)1B12/31/32001/31/353=

3120 11x1x2x3a15．a取何值时，线性方程组ax1x2x31有解, 并求其解。

xxax1312111a111a解：(Ab)a11101a1a1a211a100a11a1

2当a1时，r(A)r(A|b)3,有唯一解：x1,x当a1时，

a2,x31;

1111(A|b)0000即原方程组与下面方程

0000x11x2x3同解,其中x2,x3是自由变量. (x2,x3)T取(0,0)T得到一个特解为(1,0,0)T.

原方程组的导出组与方程x1x2x3同解.

(x2,x3)T分别取(1,0)T,(0,1)T得到一个基础解系为:

8 / 9

(1,1,0)T,(1,0,1)T

因此,当a1时，方程组的通解为:

(1,0,0)Tc1(1,1,0)Tc2(1,0,1)T，c1,c2为任意常数.

四．证明题（每题5分，共10分）

16. 设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关： 112 ，223，313。 证明:

设k11k22k330，所以

，

k1k30k1k20kk023(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)30因为,12,3线性无关，所以

，系数行列式

k2k301011100011，所以方程只有零解，即k1，故

1,2,3无关。

17．设n阶矩阵A满足A22A4IO.证明：A可逆并求A1。 证明:由A22A4IO可得 A22A4I，进一步

A(A2I)/4I，

因此, A可逆且A1(A2I)/4。

9 / 9