人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 已知 𝑎=2，𝑏=log25，𝑐=log15，则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系为 ( )
2−
1511
A． 𝑎>𝑏>𝑐
2
B． 𝑎>𝑐>𝑏 C． 𝑐>𝑎>𝑏 D． 𝑐>𝑏>𝑎
2. 若函数 𝑓(𝑥)=2𝑥−−𝑎 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 𝑎 的取值范围是 ( )
𝑥
A．(1,3)
2
B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
3. log23+log26 等于 ( )
4. 如图，假定两点 𝑃，𝑄 以相同的初速度运动．点 𝑄 沿直线 𝐶𝐷 作匀速运动，𝐶𝑄=𝑥；点 𝑃 沿线段 𝐴𝐵（长度为 107 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（𝑃𝐵=𝑦）．令 𝑃 与 𝑄 同时分别从 𝐴，𝐶 出发，那么，定义 𝑥 为 𝑦 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示 𝑥 与 𝑦 的对应关系就是 𝑦=
1107107(e)，其中
𝑥
A． 1 B． 2 C． 5 D． 6
e 为自然对数的底．当点 𝑃 从线段 𝐴𝐵 的
三等分点移动到中点时，经过的时间为 ( )
5. 若 3𝑎=2，则 log38−2log36 等于 ( )
6. 已知 0<𝑎<1，且 𝑎𝑏>1，记 𝑀=log𝑎𝑏，𝑁=log𝑎𝑏，𝑃=log𝑏𝑏，则 𝑀，𝑁，𝑃 的大小关系为 ( )
1
1
A． ln2 B． ln3
C． ln2
3
D． ln3
4
A． 𝑎−2 C． 3𝑎−(1+𝑎)2
B． 5𝑎−2 D． 3𝑎−𝑎2
A． 𝑃<𝑁<𝑀 B． 𝑁<𝑃<𝑀
1
C． 𝑁<𝑀<𝑃 D． 𝑃<𝑀<𝑁
7. 已知 𝑎=()，𝑏=()，𝑐=π2，则 ( )
33
8. 函数 𝑦=log2𝑥，𝑥∈(0,16] 的值域是 ( ) A． (−∞,−4]
C． [−4,+∞)
B． (−∞,4] D． [4,+∞)
A． 𝑎>𝑏>𝑐
B． 𝑏>𝑎>𝑐
C． 𝑐>𝑎>𝑏
D． 𝑐>𝑏>𝑎
1
34
1
12
1
9. 已知函数 𝑓(𝑥)=2𝑥，则 𝑓(1−𝑥) 的图象为 ( A．
B．
2
)
C．
D．
10. 下列各函数中是指数函数的是 ( )
A． 𝑦=(−3)𝑥 B． 𝑦=−3𝑥 C． 𝑦=3𝑥−1
D． 𝑦=()
2
1𝑥
二、填空题（共6题）
11. 为了响应推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地，第
一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元，每年销售蔬菜的收入为 26 万元．设 𝑓(𝑛) 表示前 𝑛 年的纯利润，则从第 年开始盈利．[ 𝑓(𝑛)= 前 𝑛 年的总收入 − 前 𝑛 年的总费用支出 − 投资额]
12. 化简 (2𝑎𝑏)⋅(−3𝑎𝑏)÷(4𝑎𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)= ．
13. 设 𝑎>0，且 𝑎≠1，𝑏>0 且 𝑏≠1，则 log√𝑎𝑏⋅log√𝑏𝑎= ．
14. 函数 𝑓(𝑥)=2∣𝑥+1∣−∣𝑥−1∣ 的值域为 ；若函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎 的两个不同零点 𝑥1，
3
−3−32
5
−1
−4−3
𝑥2，满足 2≤∣𝑥1−𝑥2∣≤10，则实数 𝑎 的取值范围是 ．
15. lg2+lg5 的值为 ．
16. 设实数 𝑎>0 且 𝑎≠1，则函数 𝑦=𝑎𝑥 的图象恒过定点 ．
三、解答题（共6题）
17. 已知 log=𝑎，log35=𝑏，试用 𝑎，𝑏 表示 lg5．
18. 关于 𝑥 的方程 𝑥2−𝑘𝑥+6=0 的两根均大于 1，求实数 𝑘 的取值范围．
19. 一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后
两坡屋面 𝐴𝐵𝐹𝐸 和 𝐶𝐷𝐸𝐹 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 𝐸𝐴𝐷 和 𝐹𝐵𝐶 是全等的三角形．点 𝐹 在平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 和 𝐵𝐶 上的射影分别为 𝐻，𝑀．已知 𝐻𝑀=5 m，𝐵𝐶=10 m，梯形 𝐴𝐵𝐹𝐸 的面积是 △𝐹𝐵𝐶 面积的 2.2 倍．设 ∠𝐹𝑀𝐻=𝜃(0<𝜃<4)．
π
(1) 求屋顶面积 𝑆 关于 𝜃 的函数关系式；
(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为 𝑘（𝑘 为正的常数），下部主体造价与其高
度成正比，比例系数为 16𝑘．现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 𝜃 为何值时，总造价最低？
20. 若 𝑎，𝑏 是方程 2lg2𝑥−lg𝑥4+1=0 的两个实根，求 lg(𝑎𝑏)⋅(
21. 图（1）（2）（3）分别为函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出
函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
lg𝑏lg𝑎
lg𝑎lg𝑏
+) 的值．
4
22. 函数 𝑦=𝑎𝑥（𝑎>0，且 𝑎≠1）在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，求 𝑎 的值．
𝑎
5
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】C
【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得 𝑎=2
15
−
15
∈(0,1)，
15
14
根据对数函数的图形与性质，可得 𝑏=log2<0，𝑐=log1>log1=2，
2
2
所以 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系为 𝑐>𝑎>𝑏． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质
2. 【答案】C
【解析】由条件可知 𝑓(1)𝑓(2)<0，即 (2−2−𝑎)(4−1−𝑎)<0，即 𝑎(𝑎−3)<0，解之得 0<𝑎<3．
【知识点】零点的存在性定理
3. 【答案】B
【解析】 log2+log26=log2(×6)=log24=2．
3
3
2
2
【知识点】对数的概念与运算
4. 【答案】D
【知识点】指数函数及其性质
5. 【答案】A
【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算
6. 【答案】B
【解析】因为 0<𝑎<1，𝑎𝑏>1， 所以 𝑎>>0，𝑏>
𝑏
1
1
1𝑎
>0，
1
所以 𝑀=log𝑎>log𝑎𝑎=1，𝑁=log𝑎𝑏𝑏𝑎
又 𝑃=log𝑏𝑏=−1， 所以 𝑁<𝑃<𝑀， 故选B．
【知识点】对数函数及其性质
7. 【答案】D
6
1
【解析】因为 𝑦=() 在 𝐑 上单调递减，且 0<<，所以 1>𝑏>𝑎，又因为 𝑦=πx 在 𝐑
324上单调递增，且 >0，所以 𝑐>1，所以 𝑐>𝑏>𝑎．
21
1𝑥
13
【知识点】指数函数及其性质
8. 【答案】B
【解析】因为 𝑦=log2𝑥 在定义域上是增函数，𝑥∈(0,16]，所以其值域为 (−∞,4]，故选B． 【知识点】对数的概念与运算
9. 【答案】C
【知识点】函数的图象变换、指数函数及其性质
10. 【答案】D
【解析】根据指数函数的定义，𝑦=𝑎𝑥（𝑎>0 且 𝑎≠1），可知只有D选项正确． 【知识点】指数函数及其性质
二、填空题（共6题） 11. 【答案】 5
【解析】由题意知 𝑓(𝑛)=26𝑛−[8𝑛+
𝑛(𝑛−1)2
×2]−60=−𝑛2+19𝑛−60．
令 𝑓(𝑛)>0，即 −𝑛2+19𝑛−60>0，解得 4<𝑛<15， 所以从第 5 年开始盈利． 【知识点】函数模型的综合应用
12. 【答案】 −2𝑏2
(2𝑎𝑏)⋅(−3𝑎−1𝑏)÷(4𝑎−4𝑏−3)
【解析】
=−𝑎
43326
−3−1+4−3+1+3−3−32
5
3
𝑏
25
=−2𝑎𝑏=−𝑏2.
02
【知识点】幂的概念与运算
13. 【答案】 4
【知识点】对数的概念与运算
14. 【答案】 [−2,+∞) ； [−2,5]
7
1
𝑥+3,𝑥≥1
【解析】 𝑓(𝑥)=2∣𝑥+1∣−∣𝑥−1∣={3𝑥+1,−1<𝑥<1，
−𝑥−3,𝑥≤−1作出函数图象可知值域为 [−2,+∞)，
由图可得，当 𝑎=− 时，∣𝑥1−𝑥2∣=2，当 𝑎=5 时，∣𝑥1−𝑥2∣=10，
21
所以 −≤𝑎≤5．
2
1
【知识点】函数的零点分布、函数的值域的概念与求法
15. 【答案】 1
【解析】 lg2+lg5=lg10=1． 【知识点】对数的概念与运算
16. 【答案】 (0,1)
【知识点】指数函数及其性质
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
3𝑎𝑏2+3𝑎𝑏
．
【知识点】对数的概念与运算
𝑓(1)>0,7−𝑘>0,
2𝛥≥0,18. 【答案】令 𝑓(𝑥)=𝑥−𝑘𝑥+6，由已知条件得 {⇒{𝑘2−24≥0,⇒2√6≤𝑘<7．
−𝑘
−>1,𝑘>2,2
【知识点】函数的零点分布
19. 【答案】
(1) 由题意 𝐹𝐻⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝑀⊥𝐵𝐶，又因为 𝐻𝑀⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，得 𝐹𝐻⊥𝐻𝑀． 在 Rt△FHM 中，𝐻𝑀=5，∠𝐹𝑀𝐻=𝜃，所以 𝐹𝑀=cos𝜃． 因此 △𝐹𝐵𝐶 的面积为 2×10×cos𝜃=cos𝜃．
8
1
5
25
5
从而屋顶面积 𝑆=2𝑆△𝐹𝐵𝐶+2𝑆梯形𝐴𝐵𝐹𝐸=2×
160
25cos𝜃
+2×
π
25cos𝜃
×2.2=
160cos𝜃
．
所以 𝑆 关于 𝜃 的函数关系式为 𝑆=cos𝜃(0<𝜃<4)．
(2) 在 Rt△FHM 中，𝐹𝐻=5tan𝜃，所以主体高度为 ℎ=6−5tan𝜃． 所以别墅总造价为 𝑦
=𝑆⋅𝑘+ℎ⋅16𝑘=cos𝜃𝑘−=80𝑘⋅(记 𝑓(𝜃)=
160
80sin𝜃cos𝜃2−sin𝜃cos𝜃
𝑘+96𝑘
)+96𝑘.
π4
2sin𝜃−1cos2𝜃
2−sin𝜃cos𝜃
，0<𝜃<，所以 𝑓ʹ(𝜃)=
12
π4
，
π6
令 𝑓ʹ(𝜃)=0，得 sin𝜃=，又 0<𝜃<，所以 𝜃=．
𝜃
列表：𝑓ʹ(𝜃)
𝑓(𝜃)
(0,6)−
π
π6
0√3(6,4)π
+所以当 𝜃= 时，𝑓(𝜃) 有最小值．
6
ππ
答：当 𝜃 为 6 时，该别墅总造价最低．
【知识点】利用导数处理生活中的优化问题、建立函数表达式模型
20. 【答案】原方程可化为 2lg2𝑥−4lg𝑥+1=0，设 𝑡=lg𝑥，
则原方程化为 2𝑡2−4𝑡+1=0， 所以 𝑡1+𝑡2=2，𝑡1𝑡2=．
21
π
由已知 𝑎，𝑏 是原方程的两个实根，
则 𝑡1=lg𝑎，𝑡2=lg𝑏，即 lg𝑎+lg𝑏=2，lg𝑎⋅lg𝑏=2， 所以
lg(𝑎𝑏)⋅(lg𝑎+lg𝑏)=
lg𝑏
lg𝑎
(lg𝑎+lg𝑏)[(lg𝑏)2+(lg𝑎)2]
lg𝑎lg𝑏
(lg𝑎+lg𝑏)2−2lg𝑎lg𝑏
lg𝑎lg𝑏
1
=(lg𝑎+lg𝑏)⋅=2×=12.
22−2×
12
12
故 lg(𝑎𝑏)⋅(lg𝑎+lg𝑏)=12． 【知识点】对数的概念与运算
21. 【答案】不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到
它与 𝑥 轴有 1 个交点，从图（2）观察到它与 𝑥 轴有 2 个交点，从图（3）观察到它与 𝑥 轴
9
lg𝑏lg𝑎
有 3 个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．
【知识点】零点的存在性定理
22. 【答案】当 𝑎>1 时，函数 𝑦=𝑎𝑥 在 [1,2] 上的最大值是 𝑎2，最小值是 𝑎，依题意得 𝑎2−
𝑎=，即 𝑎2=
2𝑎
3𝑎2
32
，所以 𝑎=；
𝑎
当 0<𝑎<1 时，函数 𝑦=𝑎𝑥 在 [1,2] 上的最大值是 𝑎，最小值是 𝑎2，依题意得 𝑎−𝑎2=2，即 𝑎2=2，所以 𝑎=2． 综上可知，𝑎= 或 𝑎=．
2
2
3
1
𝑎
1
【知识点】指数函数及其性质
10
