2021年中考数学真题分类汇编：专题6一次方程(组)及应用(解析版)

2021年中考数学真题分类汇编：专题6一次方程（组）及应用

一、单选题

1．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程22x1x，以下去括号正确的是（ ） A．4x1x 【答案】D 【分析】

去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号． 【详解】

解：22x1x

B．4x2x

C．4x1x

D．4x2x

4x2x，

故选：D． 【点睛】

此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．

2．（2021·安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且bA．abc 【答案】D 【分析】

举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D． 【详解】

B．cba

41ac，则下列结论正确的是（ ） 55C．ab4(bc) D．ac5(ab)

41ac6时，cba，故A错误； 5541B．当a10，c5，bac9时，abc，故B错误；

55解：A．当a5，c10，b14C．ab4(bc)整理可得bac，故C错误；

55D．ac5(ab)整理可得b41ac，故D正确； 55第 1 页 共 30 页

故选：D． 【点睛】

本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 3．（2021·天津中考真题）方程组xy2的解是（ ）

3xy4C．A．x0 y2B．x1 y1x2

y2D．x3

y3【答案】B 【分析】

直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可． 【详解】

xy23xy4①， ②②-①得：3xyxy2，即2x2， ∴x1．

将x1代入①得：1y2， ∴y1．

故原二元一次方程组的解为故选B． 【点睛】

x1． y1本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键．

4．（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x0），则（ ） A．60.51x25 C．60.51x25 【答案】D

B．251x60.5 D．251x60.5

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【分析】

根据题意可直接列出方程进行排除选项即可． 【详解】 解：由题意得：

251x60.5；

故选D． 【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

5．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米a1.2元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ） A．20a元 【答案】D 【分析】

分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】

解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元， ∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元）， 故选：D． 【点睛】

本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．

6．（2021·四川南充市·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ） A．10x5(x1)70 C．10(x1)5x70 【答案】A 【分析】

B．10x5(x1)70 D．10(x1)5x70

B．20a24元

C．17a3.6元

D．20a3.6元

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根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可． 【详解】

设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元， 由题意：10x5(x1)70， 故选：A． 【点睛】

本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键．

7．（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架．根据题意可列出的方程组是（ ）

1xxy11,3A．

1yxy221xxy11,2C．

1yxy23【答案】D 【分析】

1xxy11.3 B．1yxy221xxy11,2 D．1yxy23分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】

设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴x1xy11 21xy2 3∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ∴y 第 4 页 共 30 页

1xxy112 联立可得：1yxy23故选：D． 【点睛】

本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．

8．（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的

2，那么乙也共有钱50，问：甲、乙3两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）

1xy502A．

2yx503【答案】A 【分析】

1xy502B．

2yx5032xy50C． 2xx5032xy50 D．2xy503根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】

1xy502解：依题意，得：，

2yx503故选：A． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）

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xy30xy5xy5A． B． C．x y510x3y303x10y30103【答案】A 【分析】

xy30 D．xy5310根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】

解：依题意，得：故选：A． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

10．（2021·甘肃武威市·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）

xy5．

10x3y303(y2)xA．

2y9x【答案】C 【分析】

3(y2)xB．

2y9x3(y2)xC．

2y9x3(y2)x D．2yx9设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得3y2x, 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得：2y9x, 从而可得答案． 【详解】

解：设共有x人，y辆车，则

3(y2)x 2y9x故选：C. 【点睛】

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本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．

二、填空题

11．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知【答案】-1 【分析】

根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程axy2，即可求得a的值． 【详解】

解：根据题意，将x=1，y=3代入方程axy2， 得：a32， 解得：a=-1， 故答案为：-1． 【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．

12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程x3y14，请写出该方程的一组整数解__________________． 【答案】【分析】

根据题意确定出方程的整数解即可． 【详解】

解：方程x3y14的一组整数解为x1 是方程axy2的解，则a的值为______________．

y3x2（答案不唯一）

y4x2 y4x2故答案为：（答案不唯一）

y4【点睛】

此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

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13．（2021·浙江金华市·中考真题）已知【答案】2 【分析】

x2是方程3x2y10的一个解，则m的值是____________．

ym把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】 ∵x2是方程3x2y10的一个解， ym∴6+2m=10， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．

14．（2021·四川广安市·中考真题）若x、y满足【答案】-6 【分析】

根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 【详解】

解：∵x-2y=-2，x+2y=3，

∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点睛】

本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键． 15．（2021·重庆中考真题）若关于x的方程【答案】3 【分析】

将x=2代入已知方程列出关于a的方程，通过解该方程来求a的值即可．

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x2y2，则代数式x24y2的值为______．

x2y34xa4的解是x2，则a的值为__________． 2

【详解】 解：根据题意，知

42a4， 2解得a=3． 故答案是：3． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．16．（2021·重庆中考真题）方程2(x3)6的解是__________． 【答案】x6 【分析】

按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可． 【详解】

解：2(x3)6， 去括号得，2x66， 移项得，2x12， 系数化为1得，x6， 故答案为：x6． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用一元一次方程的解法解方程．

17．（2021·浙江绍兴市·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两） 【答案】46 【分析】

题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解． 【详解】

解：设有x人一起分银子，根据题意建立等式得，

7x49x8，

解得：x6，

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银子共有：67446（两）

故答案是：46． 【点睛】

本题考查了一元一次方程在生活中的实际应用，解题的关键是：读懂题目意思，根据题目中的条件，建立等量关系．

18．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马． 【答案】20 【分析】

设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】

解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日， 依题意，得：240x=150（x+12）， 解得：x=20，

∴快马20天追上慢马， 故答案为：20． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

19．（2021·湖南邵阳市·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱． 【答案】53 【分析】

设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】

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解：设一共有x人 由题意得：8x37x4 解得：x7

所以价值为：78353（钱） 故答案是：53． 【点睛】

本题考察一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 20．（2021·重庆中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元． 【答案】155 【分析】

设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出x3y2z的值即可． 【详解】

解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则

2313a2a5a13222，解得，a=1；

y、z元，设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、根据题意列方程组得，②-①得，x2yz100③， ③×3-①得，x3y2z155， 故答案为：155． 【点睛】

本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．

2x3yz145①

3x5y2z245②第 11 页 共 30 页

21．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组的取值范围是____． 【答案】a1． 【分析】

2x3y5a满足xy0，则a

x4y2a3根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出xy，再根据xy0，即可求得a的取值范围，本题得以解决． 【详解】

2x3y5a① 解：x4y2a3②①-②，得xy3a3 ∵xy0 ∴3a30， 解得a1， 故答案为：a1． 【点睛】

本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．

22．（2021·山东泰安市·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己

2的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多3少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．

yx502 【答案】2xy503【详解】

【分析】甲持钱数为x，乙持钱数为y，根据题意可得：甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的据此列方程组即可.

2=50，3 第 12 页 共 30 页

【详解】由题意可得，

yx502， 2xy503yx502故答案为．

2xy503【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出合适的等量关系是解题的关键.

三、解答题

2xy723．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程axy4的一个解，

xy1求a的值． 【答案】a【分析】

求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值． 【详解】 解：方程组1 22xy7①，

xy1②把②代入①得：2y1y7， 解得：y3，代入①中， 解得：x2，

把x2，y3代入方程axy4得，2a34， 解得：a【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

24．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液

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1． 2

和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元． （1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的省钱的购买方案，并求出最少费用．

【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶，最少费用为676元 【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案． 【详解】

解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元．

1，请设计出最32x3y41x7由题意得：，解之得，，

5x2y53y9答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元．

（2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种90a瓶，购买费用为W元． 则W7a990a2a810，

∴W随着a的增大而减小，a最大时，W有最小值．

1a，∴a67.5． 3由于a是整数，a最大值为67，

又90a即当a67时，最省钱，最少费用为810267676元． 此时，906723．

最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶． 【点睛】

本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．

x2y25．（2021·浙江丽水市·中考真题）解方程组：．

xy6

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【答案】【分析】

x12,

y6.利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】 解：x2y①，

xy6②把①代入②，得2yy6， 解得y6．

把y6代入①，得x12．

x12∴原方程组的解是．

y6【点睛】

本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．

3x2y200 26．（2021·四川眉山市·中考真题）解方程组2x15y30x6 【答案】y1【分析】

方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①式，即可解出y． 【详解】 解：由3x2y2003x2y20① 可得2x15y302x15y3②②×3-①×2得3(2x15y)2(3x2y)332(20)， 即49y49， 解得y=1，

将y=1代入①式得3x2120，解得x6．

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故该方程组的解为【点睛】

x6．

y1本题考查解二元一次方程组．解二元一次方程主要用到“消元思想”，将二元一次方程组化为一元一次方程求解．主要方法有加减消元法和代入消元法，熟练掌握这两种方法并能灵活利用是解题关键． 27．（2021·浙江台州市·中考真题）解方程组：2xy4

xy1【答案】【分析】

x1. y2x的系数存在倍数关系，观察方程组中同一未知数的系数特点：而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解. 【详解】

解：①+②得：3x=3， 即x=1，

把x=1代入①得：y=2， 则方程组的解为 【点睛】

此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.

x1.

y228．（2021·江苏苏州市·中考真题）解方程组：3xy4.

x2y3【答案】【详解】

x1 . y1分析: （1）根据代入消元法，可得答案. 详解: 3xy4①

x2y3②由②得：x=-3+2y ③，

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把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4， 解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1， 则原方程组的解为：x1.

y1点睛: 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法. 29．（2021·陕西中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是110元 【分析】

设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】

解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得

100.8x11x30，

解得x110；

答：这种服装每件的标价是110元． 【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

30．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．

（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加

29a%．求a的值． 25【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20 【分析】

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（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可； （2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程

293001a%t20013a%t1a%500t1a%解出即可；

25【详解】

解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元． 根据题意，得

xx100500．

解这个方程，得x200． 则x100300．

答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元． （2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得

293001a%t20013a%t1a%500t1a%

25 设a%=m，则原方程可化简为5m2m0． 解这个方程，得m1∴a=20． 答：a的值是20． 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．

31．（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

1,m20（舍去）． 5第 18 页 共 30 页

【答案】（1）30人；（2）39天 【分析】

（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可； （2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面y天完成的工作量＝760列出关于y的方程，求解即可． 【详解】

解：（1）设当前参加生产的工人有x人， 依题意得：

1615，

8(x10)10x解得：x30，

经检验，x30是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人．

（2）每人每小时的数量为168400.05（万剂）． 设还需要生产y天才能完成任务，

依题意得：41540100.05y760， 解得：y35，35439（天） 答：该厂共需要39天才能完成任务． 【点睛】

本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 32．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考]

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，

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[规律总结]

（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；

（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决]

（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

【答案】（1）2 ；（2） 2n4；（3）1008块 【分析】

（1）由图观察即可；

（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；

（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】

解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 故答案为：2 ；

（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（2n4）块； 故答案为：2n4；

（3）令2n42021 则n1008.5 当n1008时，2n42020 此时，剩下一块等腰直角三角形地砖

需要正方形地砖1008块．

【点睛】

本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．

33．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B

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型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． （1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；

（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民B型点位共5个，环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】（1）38吨；（2）3个 【分析】

（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可；

（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可． 【详解】

解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7， 由题意得：10x+12（x+7）=920， 解得：x=38，

答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；

（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y． 由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10 解得：y≥

16 ， 7∵y为整数

∴至少需要增设3个A型点位，

答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 【点睛】

本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．

34．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．

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（1）足球和篮球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？

【答案】（1）每个足球60元，每个篮球90元；（2）最多购进篮球116个 【分析】

（1）设一个足球的单价x元，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，则一个篮球的单价为（2x-30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程求解即可；

（2）设买篮球m个，则买足球（200-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过15500元建立不等式求出解即可． 【详解】

解：（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元， 根据题意得：解得x=60，

经检验x=60是方程的根且符合题意， 2x-30=90，

答：每个足球60元，每个篮球90元．

（2）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个， 由题意得：90m60(200m)15500， 解得m11612009002， x2x302． 3∵ m为正整数，∴ 最多购进篮球116个． 【点睛】

本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．

35．（2021·湖南邵阳市·中考真题）为庆祝中国党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

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请根据图所示的中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．

【答案】购置钢笔15支，金额为175元，购置笔记本34本，金额为225元 【分析】

根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可 【详解】

解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本 根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个 钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元 则有xy50

15x5y400x15

y35解得：则购置钢笔金额为：35×5=175元 购置笔记本金额为：15×15=225元

答：购置钢笔15支，金额为175元，购置笔记本34本，金额为225元 【点睛】

本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键

36．（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

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营养品信息表 营养成份 原料 配料表 甲食材 乙食材 规格 A包装 B包装 每包食材含量 1千克 0.25千克 每千克含铁42毫克 每千克含铁 50毫克 10毫克 每包单价 45元 12元 （1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元 【分析】

（1）设乙食材每千克进价为a元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；

（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；

②设A为m包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值． 【详解】

解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元， 由题意得

80201，解得a20． 2aa经检验，a20是所列方程的根，且符合题意．

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2a40（元）．

答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元． （2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．

40x20y18000x400 由题意得，解得50x10y42xyy100答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克． ②设A为m包，则B为记总利润为W元，则

500m20004m包．

0.25W45m1220004m1800020003m4000．

A的数量不低于B的数量，

m20004m，m400．

k30，W随m的增大而减小。

当m400时，W的最大值为2800元．

答：当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元． 【点睛】

本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验． 37．（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【分析】

（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案； （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的

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1，应21可得m的取2

值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】

（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，

∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元， ∴x2y40，

2x3y70x20， y10解得：答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元． （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件， ∵需甲、乙两种奖品共60件， ∴购买乙种奖品为（60-m）件，

∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元， ∴w=20m+10（60-m）=10m+600， ∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的∴m≥

1， 21（60-m）， 2∴20≤m≤60， ∵10>0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），

∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．

38．（2021·四川泸州市·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

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（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．

【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少． 【分析】

（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；

（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】

解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，

3x2y90根据题意可得：，

5x4y160x20解得：，

y15答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A型车m辆，B型车n辆， 依题意得：20m+15n=190，即m又∵m，n均为正整数， ∴

383n， 4m8m5m2或或， n2n6n10∴共有3种运输方案，

方案1：安排A型车8辆，B型车2辆； 方案2：安排A型车5辆，B型车6辆； 方案3：安排A型车2辆，B型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；

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方案3所需费用：5002+40010=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000，

∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．

39．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m3507，因为372(50)，所以3507是“共生数”：m4135，因为452(13)，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，37是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)n．求满足Fn各数位上的数字之和是偶数的所有n． 3【答案】（1）5313是“共生数”， 37不是“共生数”． （2）n2148或n3069. 【分析】

（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；

（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c, 可得：1a＜5, 0b9,0c9, 且a,b,c为整数，再由“共生数”的定义可得：c3a2b,而由题意可得：bc9或bc18, 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案． 【详解】 解：（1）

5+3=21+3=8,

5313是“共生数”，

6+7=1324+3=14,

37不是“共生数”．

（2）设“共生数”n的千位上的数字为a, 则十位上的数字为2a, 设百位上的数字为b, 个位上的数字为c,

1a＜5, 0b9,0c9, 且a,b,c为整数，

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所以：n1000a100b20ac1020a100bc, 由“共生数”的定义可得：ac22ab,

c3a2b, n1023a102b,

Fnn341a34b, 3 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，

bc0或bc9或bc18,

当bc0, 则bc0, 则a0, 不合题意，舍去， 当bc9时，则3a3b9,

ab3,

当a1时，b2,c7, 此时：n1227, Fn当a2时，b1,c8, 此时：n2148, Fn当a3时，b0,c9, 此时：n3069, Fn1227409，而4+0+9=13不为偶数，舍去， 32148716,，而7+1+6=14为偶数， 330691023,，而1+0+2+3=6为偶数， 3当bc18时，则bc9, 而3a3b18,则a3不合题意，舍去，

综上：满足Fn各数位上的数字之和是偶数的n2148或n3069, 【点睛】

本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．

40．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食

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客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日

3a%．“堂统计5月的销量和销售额发现：45食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月

25的基础上增加a%．求a的值．

11起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低

【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8． 【分析】

y元，（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】

3x2y31解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，

4xy33x7解得，，

y5答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元． （2）根据题意得，450072500(1解得，a10（舍去），a28， 答：a的值为8． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．

535a%)5(1a%)(4500725005)(1a%)， 2411 第 30 页 共 30 页