中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．

（1）求证：AD=BD．

（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．

（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）【解析】

分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；

（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；

（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.

详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心 ∴CI平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD ∴弧AD=弧BD ∴AD=BD （2）AB=DI

23 9

理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD ∴∠BCD=×120°=60° ∵弧BD=弧BD ∴∠DAB=∠BCD=60° ∵AD=BD

∴△ABD是等边三角形， ∴AB=BD，∠ABD=∠C ∵I是△ABC的内心 ∴BI平分∠ABC ∴∠CBI=∠ABI

∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD ∴∠BID=∠IBD ∴ID=BD ∵AB=BD ∴AB=DI

（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧

∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD ∴∠AED=∠ACB=×120°=60° ∵圆的半径为2，DE是直径 ∴DE=4，∠EAD=90°

∴AD=sin∠AED×DE=×4=2

∵点E，F是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°

∴弧AB的度数为120°， ∴弧AM、弧BF的度数都为为40° ∴∠ADM=20°=∠FAB ∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°

∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80° ∴∠DAI1=∠AI1D ∴AD=I1D=2

∴弧I1I2的长为：

点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.

2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA， 交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=

1，求AE的长． 3

【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】

分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线； （2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°． ∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB． ∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B． ∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B． ∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE． ∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD； （3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD= ∵AD=OD2OA2=22．

1OA=3，∴CD=OD﹣OC=2． ，∴OD=

3sinDADCDCD2 又∵△CED∽△ACD，∴=2， ，∴DE=CDDEAD∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．

点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】

试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线； （2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值． 试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DCDB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．

8=2，∵BF是⊙O的切4

点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证：BF=EF：

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22 【解析】

分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；

（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；

（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度．

详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线， ∴EB⊥BC. 又∵AD⊥BC， ∴AD∥BE.

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，

BFCFEFCF==，， DGCGAGCGBFEF∴=， DGAG∵G是AD的中点，

∴

∴DG=AG， ∴BF=EF； (2)连接AO，AB.

∵BC是圆O的直径， ∴∠BAC=90°，

由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点， ∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， ∵BE是圆O的切线， ∴∠EBO=90°， ∴∠FBA+∠ABO=90°， ∴∠FAB+∠BAO=90°， 即∠FAO=90°， ∴PA⊥OA， ∴PA是圆O的切线；

（3）过点F作FH⊥AD于点H，

∵BD⊥AD，FH⊥AD， ∴FH∥BC，

由(2)，知∠FBA=∠BAF， ∴BF=AF. ∵BF=FG， ∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形. ∵FH⊥AD， ∴AH=GH，

∵DG=AG， ∴DG=2HG. 即

HG1， DG2∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°， ∴四边形BDHF是矩形， ∴BD=FH， ∵FH∥BC ∴△HFG∽△DCG， ∴即∴

FHHG1， CDDG2BD1， CD2232.15， 3∵O的半径长为32， ∴BC=62， ∴BD=

1BC＝22. 3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.

5．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=13，PA=4． （1）求证：△ABP≌△ACF； （2）求证：AC2=PA•AE； （3）求PB和PC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．

【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；

（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得

∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；

（3）先利用AC2=PA•AE计算出AE=

133 ，则PE=AP-AE= ，再证△APF为等边三角形，得44到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长． 试题解析：

（1）∵∠ACP+∠ABP=180°， 又∠ACP+∠ACF=180°， ∴∠ABP=∠ACF 在ABP和ACF中，

∵AB=AC，∠ABP=∠ACF， CFPB ∴ABP≌ACF． (2)在AEC和ACP中， ∵∠APC=∠ABC，

而ABC是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º， ∴∠ACE =∠APC . 又∠CAE =∠PAC ， ∴AEC∽ACP ∴

ACAE,即AC2PAAE. APAC由（1）知ABP≌ACF， ∴∠BAP=∠CAF， CFPB ∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC

∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC＝∠ABC＝60°. ∴APF是等边三角形 ∴AP=PF

∴PBPCPCCFPFPA4 在PAB与CEP中， ∵∠BAP=∠ECP ， 又∠APB=∠EPC=60°， ∴PAB∽CEP ∴

PBPA,即PBPCPAPE PEPC22222由（2）ACPAAE，

∴ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA ∴ACPBPCPAAEPAPEPAAEPEPA ∴PBPCPAACPAAB4222221323

因此PB和PC的长是方程x24x30的解． 解这个方程，得x11， x23． ∵PB【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方程。

6．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G． （1）求∠DGE的度数； （2）若

CF1BF＝，求的值； OF2GFS1CF（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表

S2OF示）

S1k2k17=. 【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)；(3)S2k12【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；

（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得

BF的值； GF（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表

S1示出的值．

S2【详解】

解：(1)∵BC＝OB＝OC， ∴∠COB＝60°， ∴∠CDB＝

1∠COB＝30°， 2∵OC＝OD，点E为CD中点， ∴OE⊥CD， ∴∠GED＝90°， ∴∠DGE＝60°；

(2)过点F作FH⊥AB于点H 设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3 ∵∠COB＝60° ∴OH＝

1OF＝1， 2∴HF＝3OH＝3，HB＝OB﹣OH＝2， 在Rt△BHF中，BFHB2HF27， 由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°， 又∵∠OGB＝∠DGE＝60°， ∴∠OGB＝∠OCB， ∵∠OFG＝∠CFB， ∴△FGO∽△FCB，

∴

OFGF， BFCF∴GF=∴

2， 7BF7=. GF2(3)过点F作FH⊥AB于点H， 设OF＝1，则CF＝k，OB＝OC＝k+1， ∵∠COB＝60°， ∴OH＝

11OF=， 22∴HF＝30H在Rt△BHF中，

13，HB＝OB﹣OH＝k+，

22k2k1，

BF＝HB2HF2由(2)得：△FGO∽△FCB， ∴

GOGOOF，即

k1CBBFk1kk121k2k1，

∴GO，

过点C作CP⊥BD于点P ∵∠CDB＝30° ∴PC＝

1CD， 2∵点E是CD中点，

1CD， 2∴PC＝DE， ∵DE⊥OE，

∴DE＝

2kk1S1BFk2k1∴=== k1S2GOk1k2k1

【点睛】

圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．

7．如图，在Rt△ABC中，C90，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）

【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】 【分析】

23 3（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；

（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OE，OE交AD于K． ∵AEDE，∴OE⊥AD．

∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE

60223223． 是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE233604【点睛】

本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求

的长.

图1 图2

【答案】（1）BE=\"FH\" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）

=2π

【解析】

试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到

所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=\"90°\" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=\"CH\"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =∴∠EAC=30° ∴AE=

又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）

= EF，∴AF=8

Rt△AFE中，AE=

AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

9．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F； （1）求证：∠ADC+∠CBD＝

1∠AOD； 2（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】

1根据垂径定理得到BDCD，根据等腰三角形的性质得到

ODA11180AOD90AOD，即可得到结论； 222根据垂径定理得到BECE，BDCD，根据等腰三角形的性质得到

ADOOAD，根据切线的性质得到PAO90，求得OADDAP90，推

出PAFPFA，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】

1证明：

ODBC，

BDCD，

CBDDCB，

DFEEDF90，

EDF90DFE，

ODOA， 11ODA180AOD90AOD，

22190DFE90AOD，

21DEFAOD，

2DFEADCDCBADCCBD，

1ADCCBDAOD；

22解：

ODBC，

BECE，BDCD， BDCD， OAOD，

ADOOAD， PA切O于点A，

PAO90， OADDAP90，

PFADFE， PFAADO90，

PAFPFA， PAPF． 【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．

10．如图，已知BAC,ABAC,O为ABC外心，D为点为E，且BC2AC·CE． ①求证：CDCB； ②若A300，且

O上一点，BD与AC的交

O的半径为33，I为BCD内心，求OI的长．

【答案】①证明见解析； ②23 【解析】 【分析】 ①先求出

BCCE，然后求出△BCE和△ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得ACBC∠A=∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；

②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解． 【详解】 ①∵BC2=AC•CE，∴

BCCE． ACBC∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A． ∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB； ②连接OB、OC．

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°． ∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．

∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC×sin30°133BC，BF=BC•cos30°BC，所以，BD=2BF=2BC3BC，设△BCD22211111BD•CF（BD+CD+BC）•r，即•3BC•BC22222内切圆的半径为r，则S△BCD（3BC+BC+BC）•r，解得：rCI=CF﹣IFBC．

3233233BCBC，即IFBC，所以，

22（223）1233BCBC=（23）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23）BC=（31）22∵⊙O的半径为33，∴BC=33，∴OI=（31）（33）=333﹣3323．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．