考研数学一（高等数学）模拟试卷207 (题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3一1在点(1，一1)处切线相同，则( )．
A．a=1，b=1
B．a=一1，b=一1
C．a=2，b=1
D．a=一2，b=一1．
正确答案：B
解析：由y=x2+ax+b得y’=2x＋a，2y=xy3一1两边对x求导得2y’－y3＋3xy2y’，解得y’=，因为两曲线在点(1，一1)处切线相同，所以，应选(B)． 知识模块：高等数学
2． 设L为由y2=x＋3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于( )．
A．一2π
B．2π
C．π
D．0
正确答案：B
解析：取C：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，P(x，y)=设由L及Cr所围成的区域为Dr，由Cr围成的区域为D0，由格林公式得 知识模块：高等数学
3． 设级数发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则( )．
A．发散
B．收敛于
C．收敛于0
D．敛散性不确定
正确答案：B
解析：因为正项级数=+∞． 知识模块：高等数学
填空题
4． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 设f(x)连续，且F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)=________．
正确答案：a2f(a)
解析： 知识模块：高等数学
6． 曲线ex＋y一sin(xy)=e在点(0，1)处的切线方程为_________．
正确答案：y=(－1)x＋1
解析：exy—sin(xy)=e两边对x求导得ex＋y．(1+y’)一cos(xy)．(y+xy’)=0，将x=0，y=1代入得y’(0)=—1，所求的切线为y一1=(一1)x，即y=(一1)x+1． 知识模块：高等数学
7． 曲线y=(3x+2)的斜渐近线为_________．
正确答案：y=3x＋5
解析：由=5得曲线的斜渐近线为y=3x+5． 知识模块：高等数学
8． 曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为________．
正确答案：
解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法线方程为． 知识模块：高等数学
9． 设y=2e－x+exsinx为y’’’+py’’+qy’+ry=0的特解，则该方程为________．
正确答案：y’’’一2y’’+2y=0
解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为λ1=一1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程为y’’’一2y’’+2y=0． 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 求．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
11． 求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))
正确答案：所以原式=a1a2…an． 涉及知识点：高等数学
12． 设f(x)=讨论f(x)在x=0处的可导性．
正确答案：f(0)=f(0—0)=0，f(0+0)==0．由f(0一0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0处连续：由=0得f－’(0)=0．=0得f＋’(0)=0，因为f－’(0)=f＋’(0)=0，所以f(x)在x=0处可导． 涉及知识点：高等数学
13． 设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．
正确答案：令f(x)=arctanx—ax，由f’(x)=，由f’’(x)=为f(x)的最大点，由=一∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有唯一实根，位于内． 涉及知识点：高等数学
14． 求．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
15． 求．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
16． 设f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．
正确答案：令A=∫01f(x)dx，f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx两边积分得A=∫01xe2xdx＋2A，解得A=∫01f(x)dx=一∫01xe2xdx=一∫01xd(e2x)=一． 涉及知识点：高等数学
17． 求∫－22(3x+1)max｛2，x2｝dx．
正确答案：∫－222(3x+1)max{2，x2}dx=∫－22max｛2，x2｝dx=2∫02max｛2，x2｝dx，由max｛2，x2｝=得∫－22(3x+1)max{2，x2}dx=． 涉及知识点：高等数学
18． 求曲线y=cosx与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．
正确答案：Vx=．取[x，x+dx]，则dVy=2πxcosxdx， 涉及知识点：高等数学
19． 设y=y(x)，z=z(x)由．
正确答案：两边对x求导得 涉及知识点：高等数学
20． 求函数μ=x2+yz的梯度方向的方向导数．
正确答案：x2＋yz的梯度为l=｛x，z，y｝，梯度的方向余弦为故所求的方向导数为． 涉及知识点：高等数学
21． 设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤}，求｜x—y｜dxdy．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
22． 求(x+y)2dy．
正确答案：令，则 涉及知识点：高等数学
23． 计算I=被z=1和z=2截得部分的下侧．
正确答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，=∫12ezdz∫02πdθ∫0zdr=2π∫12zezdz=2π(z－1)ez｜12=2πe2 涉及知识点：高等数学
24． 判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．
正确答案：，又当n充分大时，单调减少，且=0．所以级数条件收敛． 涉及知识点：高等数学
25． 求微分方程(y+)dx一xdy=0(x＞0)的满足初始条件y(1)=0的解．
正确答案：由(y＋)dx一xdy=0，得．令μ==lnx+lnC，即μ+=Cx，将初始条件y(1)=0代入得C=1．由，即满足初始条件的特解为y=． 涉及知识点：高等数学
26． 设f(x)在[0，1]上连续且满足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
正确答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a∫(x一1)e∫－1dxdx+C]e－∫－dx=Cex－ax由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex一ax．V(a)=π∫01f2(x)dx=，由V’(a)=π(一2+)=0得a=3，因为V’’(a)=＞0，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex一3x． 涉及知识点：高等数学
