微积分复习

一、极限的计算 1、代入法

【适用形式】x0在初等函数f(x)的定义区间内。

【方法】计算极限limf(x)时，可以把x0代入f(x)以得到极限的结果：limf(x)f(x0)。

xx0xx0x211x3x1【例】计算极限：①lim2；②lim()。

x3x1x012x2、初等方法

⑴消零法

【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式且都是无穷小量。 【方法】将分子、分母分解因式，再消去公因式，直至可直接代入。

x3x2x25x6lim【例】计算极限：①lim；②。 x4x2x4x24⑵消极大公因子法

【适用形式】函数为分式，分子、分母都是多项式或含有根式、指数、正(余)弦，且分子、分母都为无穷大量。

【方法】分子、分母都是多项式或含有根式时把分子、分母同除以变量最高次数，然后利1用lim0、极限的四则运算计算极限；分子、分母含有指数时除以底数较大(指数为无穷大xx量)或较小(指数为无穷小量)的指数形式然后利用limax0(0a1)(或

xnlimqn0(q1))、极限的四则运算计算极限。

2x13x25x(x1)4(2x21)32n1【例】计算极限：①lim；②lim；③lim。

x52x4x5x1x(3x31)2(4x41)nn1⑶有理化法

【适用形式】函数为分式，分子或分母含有根号且根式阻碍了极限的计算(特别是有根式相减)。

【方法】将根式有理化。 【例】计算极限：lim(n21n)(n2)。

n⑷通分法

【适用形式】函数为两个分式相减或分式与其他形式相减，且都不能直接代入(即两个无穷大量相减)。 【方法】通分。

14x13)。 【例】计算极限：lim(x0x1x1⑸其他公式或技巧

【适用形式】一般极限的计算过程中。

【方法】等差、等比数列的求和，三角公式，中学的其他技巧。

111【例】计算极限：lim(2n)。

n2223、夹逼定理

【适用形式】较为复杂而通过放缩可以简化的形式。

【方法】利用不等式放缩使已知函数夹在两函数之间，且两函数的极限相等。

2n1【例】计算极限：①lim；②lim[x]。

nn!xx4、两个重要极限

【适用形式】幂值函数(1∞型)；正弦、正切的内部为无穷小量。 【方法】凑成两个重要极限之一。

(n1)n11sin【例】计算极限：lim。

nnnn5、无穷小量的性质

【适用形式】无穷小量乘以有界变量(尤其是正弦、余弦的内部不是无穷小量时)。 【方法】无穷小量乘以有界变量的极限为零。

nsinn【例】计算极限：lim2(1`cosn)。

nnn16、等价无穷小量代换

【适用形式】乘除因子中有常见的无穷小量形式。 【方法】把无穷小量用换成与其等价的幂的形式。

3(1x)101cosx1xx1【例】计算极限：①lim；②lim；③lim。

x0(1x)111x0tan23xx0x17、左、右极限

【适用形式】分段函数；出现指数、根式、反正(余)切的极限。

【方法】分别极限左、右极限或时的极限，只有二者相等时极限才存在。

11x2x1【例】计算极限：①lim(arctanarccot3)；②lim。

2x0xxx(x1)x2二、极限的运用

1、无穷小量的比较

【方法】利用无穷小量比较的定义，通过计算极限进行比较。

1【例】若x→0时xksino(x)，求k的变化范围。

x2、连续性的判断

【方法】分别计算limf(x)、limf(x)和f(x0)，判断三者是否都相等。

xx0xx01x2【例】若函数f(x)axb43x55连续，求a、b。 其他3、间断点的分类

【方法】利用各类间断点的定义，通过计算极限进行判断。

ln(1x2)【例】求函数f(x)的间断点及其及其类型。

x(12x)4、闭区间上连续函数的性质

【方法】根据方程构造函数，验证此函数满足零值定理的条件，根据零值定理证明根的存

在性。

【例】证明方程sin x+x+1=0至少有一个实根。

第三章经济变量的变化率

一元函数的导数与微分

一、基本概念 1、定义

【适用对象】分段函数在分段区间端点处的导数。 【公式】f(x0)limx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim xx0xxx01cosxx【例】已知①f(x)0x211xx0x0，求f(0)。 x0②f(x)x(2x1)(3x2)(100x99)，求f(0)。

f2(3x)f2(2x)③f(0)f(0)1，求lim。

x0x2、几何意义

【公式】切线方程：yf(x0)f(x0)(xx0)，法线方程：yf(x0)【例】求曲线yexlny1在(0,1)处的切线方程。 3、与连续的关系

【结论】可导必定连续，但连续不一定可导。

2x1【例】判断在f(x)x0x01(xx0) f(x0)处的连续性与可导性。

x0二、计算

1、初等函数求导

【基本知识】基本公式、四则运算、链式法则 【例】求下列函数的导数：

1①y(3x2)(x21)3；②yx21arccos；③yln(secxtanx)；

x52x4e2xxx④yarctan(tan)；⑤ye(sin2x2cos2x)；⑥yarctaneln2x。

323e12、高阶导数

【例】①y2xarctanxln(1x2)，求y；②yxex，求y(n)。

3、隐函数求导

Fx(x,y)dy【方法】①两边求导(视y为x的函数)；②两边微分；③利用公式：。 dxFy(x,y)【例】xyeyx，求

2dy。 dx4、对数求导法

【对象】①幂值函数，②多个函数相乘除的形式。 【例】求下列函数的导数：①yx(sinx)三、微分 1、定义

【例】已知ysin(xx)sinx，在x处x1时yx。

cosx(1x)(2x2)；②y。 234x2、计算

【基本知识】基本公式、四则运算、链式法则

【例】计算微分：①y(1x)ln(1x2xx2)2xx2；②exysin(x2y)y2。 3、应用——近似计算

【公式】f(x1)≈f(x0)+f '(x0)Δx 【例】近似计算0.980.98的值。 多元函数的偏导数与全微分 一、多元函数的基本概念

1、空间解析几何基础知识 2、多元函数的概念

11xyx2【例】已知f(,)，求f(x,y)。

yxx2y二、多元函数的偏导数

1、概念

函数在一点的导数：fx(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)f(x,y0)f(x0,y0)lim，xx0xxx0fy(x0,y0)limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)f(x0,y)f(x0,y0)lim。一般用于证明或特殊情况yy0yyy0下(如分段函数)的导数计算。

x3y3【例】求f(x,y)x2y20x2y20x2y20在(x, y)=(0,0)处的偏导数。 2、初等函数的偏导数计算

注意对谁的偏导数，谁是变量，谁又应该当成常数。

x2y2xx2y2【例】求偏导数：①zarccot2；②zln。 222xyxyx3、复合函数的链式法则

【例】已知uf(xy,yz,zx)，求4、高阶导数 【例】求zarctanxy的二阶导数。 1xyuuu。 xyz5、隐函数求导

方法：①直接对方程两边求导；②对方程两边微分；③公式法。

【例】①设zf(x,y)函数由方程yzarctan(xz)确定，求zx、zy。

(1,1)。 ②设zf(x,y)函数由方程2x22y2z28xz2z150确定，求fxx三、多元函数的全微分

1、概念

2、与偏导数存在、连续的关系 注意每个推理的逆都不成立。 3、计算 【例】求zarctan(xy)的全微分。 4、应用

f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y。

【例】求ln边际与弹性

1tan(0.01)的近似值。

1sin0.02一、边际

经济函数的导数称为其边际函数 【例】设某厂每月生产产品的固定成本为1000元，生产x单位产品的可变成本为+10x元，每单位产品的售价为30元，求边际成本、边际利润、边际利润为零时的产量。 二、弹性

经济函数y=f(x)的弹性函数为

Eyxdy。 Exydx【例】设某商品的需求函数为Q100(2p)，求此商品的需求弹性及边际收入。

第四章 简单优化问题

一、中值定理

1、Rolle定理

函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)(a,b)，使f '(ξ)=0。

【例】函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)= f(1)=0，证明(0,1)使

f()f()。

2、Lagrange定理

函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(a,b)，使f()3、Cauchy定理

函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(a,b)，使二、L’Hospital法则

0f(x)f(x)1、对或型极限，lim。 limxxxx00g(x)g(x)0exextanxxtanx6【例】计算极限：①lim；②lim；③lim；④limx。 xxx0eexsinxxxsecx5)22(x22f(b)f(a)。

baf()f(b)f(a)。 g()g(b)g(a)lnsinx2、对0、、00、0、1型极限，先化为分式的形式再用L’Hospital法则计算。

ln(1x)1x11tanx)【例】计算极限①limlnxln(1x)；②lim(；③lim()。 2x0xx1xxx三、函数的性质

1、单调性、极值

【求单调区间和极值的步骤】①确定定义域、求导；②求出使驻点和不可导点；③利用这些点将定义域分成几个区间，列表讨论每个区间内导数的符号；④写出单调区间和极值点。

x2【例】求函数y的单调区间和极值。

1x【利用单调性证明不等式的步骤】①构造函数；②对函数求导并分析其单调性；③由单调性的定义得到不等式。

ln(1x)x【例】试证x1时。 lnx1x0xx0是极小值点【一元函数的极值】f(x0)0，f(x0)。

0xx是极大值点0【例】求由方程x22xyy220确定的函数的极值。

(x0,y0)。则(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，Bfxy【多元函数的极值】，Afxx0B2AC00(x0,y0)是极小值点A0(x0,y0)是极大值点。 (x0,y0)不是极值点【例】求函数f(x,y)x33x23y3的极值。

2、凹凸性、拐点

【求凹凸区间和拐点的步骤】①确定定义域；②求出二阶导数，进一步求出二阶导数等于零和不存在的点；③利用这些点把定义域分成几个区间。在每个区间内讨论二阶导数的符号，列表确定函数的凹凸性，找出拐点。

【例】求函数y(2x235)3x4的凹凸区间和拐点。

3、最值

【闭区间上连续函数的最值求解步骤】①求出f(x)的所有驻点和不可导点：x1、x2、…、xn；②计算f(x1)、f(x2)、…、f(xn)、f(a)、f(b)，取其中的最大者和最小者。

【例】求函数yx33x22在[2,2]上的最值。

【例】有一半径为1的圆心角为直角的扇形，做内接矩形使其一边与扇形的圆心角的平分线平行，求此矩形的最大面积。

【多元函数的条件极(最)值求法】①构造Lagrange函数；②求其驻点；③判断是否极值(对应用题，若驻点唯一，则不需判断)。

【例】求函数yx23xy2y2在条件x2y21下的极值。 4、渐近线

xx0limf(x)或limf(x)xx0为y=f(x)的垂直渐近线；limxx0xf(x)a，xxlim[f(x)ax]byaxb为y=f(x)的斜渐近线(水平渐近线看作斜渐近线的特殊情

况)。

【例】求函数的渐近线：①ylnx；②yxxx12

5、经济优化问题

写出经济函数，利用一元函数或多元函数求极值的方法计算。

【例】某电视机厂生产电视机的成本函数为C(x)=C0+klnx，其中C0为固定成本，k为规模系数；需求函数为x=Me-ap，其中M为市场最大需求量，a为价格系数；试确定销售价格使利润最大。

第五章 “积零为整”的数学方法

一、不定积分

1、概念、性质、基本积分表

【概念】不定积分∫f(x)dx：函数f(x)的所有原函数。

【性质】①不定积分是求导的逆运算：[∫f(x)dx]'=f(x);∫F'(x)dx=F(x)+C； ②线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。 【基本积分表】略。

(1x)2dxdx；②【例】计算不定积分：①3。

sin2xcos2xx2x15x1dx；②tan2xdx。 【练习】计算不定积分：①x102、换元积分法

【第一换元法】f((x))(x)dxf((x))d(x)。 【例】计算不定积分：①⑤sin2xcos2xdx。

【练习】计算不定积分：①⑤dx。

sinxcosxsin2xtanxdxxdx；dx；④；③dx；②3cosx1cosxcosx1xxdx94x2；②dxdx；③；④sin2xcos3dx；

(2x)1xx12lnx【第二换元法】f(x)dx【例】计算不定积分：①⑤dx。

x4(x21)x(t)f((t))(t)dt。

dx243(x1)(x1)；②x2dx1x2；③x3④4xdx；

2x29dx；x【练习】计算不定积分：①3、分部积分法

dxdxxdx；②；③. 2232(4x)x(xx)x1x3【公式】u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx或udvuvvdu。 【例】计算不定积分：①arctan(1x)dx；②xlnxdx；③coslnxdx；④xexdx⑤。

(1x)2x1xedx；2x1xxexdx【练习】计算不定积分：①(arcsinx)dx；②xln。 dx；③x1xe124、有理函数的积分

【步骤】①假分式化为多项式与真分式之和；②真分式化为几个部分分式之和；③对多项式和每个部分分式进行积分。

6x211x4dx2x2dx；②dx。 【例】计算不定积分：①；③222x(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)x32x216x211x43x31dx；③22dx。 dx；②【练习】计算不定积分：①2x(x1)2x(x1)x1二、定积分

1、概念、性质 【概念】f(x)dxlimabx0f()x表示由y=f(x)、x=a、x=b和y=0围成图形的面积。

iii1n【例】204x2dx。

bbbaaa【性质】①线性性质：[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx； ②区间可加性：f(x)dxf(x)dxf(x)dx；

aacbcb③比较定理：x[a,b]，f(x)g(x)f(x)dxg(x)dx；

aabb④积分中值定理：f(x)在[a,b]连续(a,b)，使f(x)dxf()(ba)。

ab2、变上限积分与Newton-Leibniz公式 【变上限积分求导的推广】[(x)(x)f(t)dt]f((x))(x)f((x))(x)；

ba【Newton-Leibniz公式】F(x)f(x)f(x)dxF(x)baF(a)F(b)。

xsint【例】求导：①2dt；②(x2t)ln2tdt。

1xtx3【练习】求etdt的导数。

xx2【例】计算极限：limx02xxsintdtx2。

【练习】计算极限：lim00xx20sint2dt2x0。

2t[ln(1t)]dt3x1【例】计算积分：①21sin2xdx；②e2dx。

【练习】计算积分：2x1dx。

113、换元积分法 【换元积分公式】baf(x)dxf((t))(t)dt。注意：换元必须同时换限。

421x21dx1x2dx。 ；②3dx；③21xx1x2【例】计算积分：①1【练习】计算积分：①函数奇偶性的应用：a4021x2322dx；②x4xdx；③(1x)2dx。

002x13a0f(x)dxa2f(x)dx0f(x)为奇函数。

f(x)为偶函数【例】计算积分：2cosxcos3xdx。

24x3x22x1dx。 【练习】计算积分：21x114、分部积分法 【分部积分公式】bau(x)v(x)dx[u(x)v(x)]bau(x)v(x)dx。

a1b1x【例】计算积分：①ln(1x)dx；②dx；③exdx。 200sinx422【练习】计算积分：①(arcsinx)2dx；②xcos2xdx；③012021xarcsinx1x20dx。

5、广义积分 【无穷限积分】abf(x)dxlimbbabf(x)dx或af(x)dxF(x)alimF(x)F(a)；

xbf(x)dxlimaaf(x)dx或f(x)dxF(x)bF(b)limF(x)；

xf(x)dxaf(x)dxxaf(x)dx或f(x)dxF(x)limF(x)limF(x)，这个积

xx分当且仅当两个极限limF(x)、limF(x)都存在时才收敛。

x【例】判断下列广义积分的敛散性：①20dxdxx2xedx；②；③。 22x2x2xx2【练习】判断下列广义积分的敛散性：①【瑕积分】

xa10dxdx(x1)dx；②2；③。 xx(1x)x2x21elimf(x)f(x)dxlimabb0af(x)dx或f(x)dxF(x)bF(b)limF(x)； aaxabxblimf(x)f(x)dxlimabb0af(x)dx或f(x)dxF(x)balimF(x)F(a)；

axbbxalimf(x)limf(x)或limf(x)xbxc21baf(x)dxf(x)dxf(x)dx。

accb【例】判断下列广义积分的敛散性：①6、应用

xdxx12；②edxx1lnx1；③1dxxx20。

【面积】Sf(x)g(x)dx或S(y)(y)dx。

acbd【例】求由下列曲线围成的图形的面积：①y=2x-x2、x+y=0；②y2=2x+6、y2=3-x。 【练习】求由下列曲线围成的图形的面积：①yx、x+y=2、y轴；②y2=2x、y= x-4。 【旋转体的体积】V[f(x)]2dx或V[(y)]2dy。

aabb【例】求由y=x2、x=1、x轴围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。

【练习】求由y=tan x、y=1、y轴围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。 【边际分析】F(x)F(a)xaF(t)dt；F(a)F(b)F(a)F(x)dx。

ab1x，R(x)8x(单位：万元/4百台)。①求产量从100台增加到500台时总成本和总收益各增加多少？②固定成本为1万元，分别求总成本、总收益与总利润；③总利润的最大值。

【练习】某产品的边际收益为R'(q)=，其中q为需求量。求总收益函数、需求函数。 三、二重积分

1、概念、性质

【例】某产品的边际成本与边际收益分别为C(x)4【概念】f(x,y)dlimf(i,i)i表示曲顶柱体的体积。

Dd0i1n【性质】①线性性质： [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d；

DDD②区域可加性：

DD1D2，D1D2D1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d；

DD1D2③比较定理：(x,y)D，f(x,y)g(x,y)f(x,y)dg(x,y)d；

DDD④积分中值定理：f(x,y)在D连续(,)D，使f(x,y)df(,)SD。 2、直角坐标系下二重积分的计算 【x-型区域】f(x,y)ddxDadb2(x)1(x)f(x,y)dy；

【y-型区域】f(x,y)ddxDc2(y)1(y)f(x,y)dy。

积分限的确定：投影穿线法。 【例】计算下列二重积分：①Dd，其中D由y=x、x=5、y=1围成；②xy2d，其ylnxD中D由y2=4x、x=1围成。

【练习】计算下列二重积分：①Dsinyd，其中D由y=x、y=2x、y=2围成； y②(x2y2x)d，其中D由y=2、y=x、y=2x围成。

D3、极坐标系下二重积分的计算 【公式】f(x,y)ddD2r2()1r1()f(rcos,rsin)rdr。

yd，其中D由x2+y2=4、x2+y2=1、y=0、y=x围成x【例】计算下列二重积分：①arctanD的第一象限部分。②D22yd，其中D由x2+y2=x围成；③xye(xy)d，其中D由x2+y2=1xD围成。

【练习】Dd36x2y2，其中D由y9x23、y=-x围成。

第六章 离散经济变量的无限求和

一、常数项级数

1、概念、性质

【概念】unlimSn，其中部分和Snu1u2un。

n0n【例】若(1)n0n1un2，u2n15，求un。

n0n0【性质】①线性性质：un、vn收敛(unvn)收敛，且(unvn)un

n0n0n0n0n0vn；

n0②增加或减少有限项不改变级数的敛散性； ③收敛级数加括号后仍收敛； ④必要条件：un收敛limun0。

n0n314【例】判断下列级数的敛散性：①(n)；②n。

4nnn12n12n15n13n22n1()【练习】判断下列级数的敛散性：①；②。 n3n13n1n12、正项级数

【充要条件】正项级数un收敛{Sn}有界。

n0【比较判别法】若nN，0≤un≤vn，则①vn收敛un收敛；②un发散vnn1n1n1n1发散。

【比较判别法的极限形式】若un、vn都是正项级数，limn1n1unl，则①0l时nvnvn1n收敛un收敛；②l0时vn收敛un收敛；③l时vn发散un发

n1n1n1n1n1散。

收敛0q11收敛【常用结果】q，pn1n1n发散发散q1np1p1。

【例】判断下列级数的敛散性： ①n21nlnnn2n12n23()ntan；②2；③；④。 n123n12(n2)n2n1n1【练习】判断下列级数的敛散性：

ln(n21)n23211)；③lncos；④1。 ①；②(3nnn2n1n2n1n21nnun1r，【比值判别法】若正项级数un满足lim则①r<1时un收敛；①r>1时unnun1n1n1n发散。

【根式判别法】若正项级数un满足limnunr，则①r<1时un收敛；①r>1时unn1nn1n1发散。

2nn!3n32【例】判断下列级数的敛散性：①n；②()。

n2n2n2n1nn13【练习】判断下列级数的敛散性：①；②n。 n(n1)!2(arctann)n2n2n【积分判别法】设f(x)是[1,+∞)上的连续、递减、正值函数，记un= f(n)，则有：收敛un收敛。

n11f(x)dx3、任意项级数

【绝对收敛与条件收敛】若级数un收敛，则称un为绝对收敛，若级数un发散

n1n1n1而un收敛，则称un为条件收敛。

n1n1【Leibniz判别法】若

(1)n1n1un或

(1)unn1n满足：①unun10，n1,2,3,，

②limun0，则此交错级数收敛，且余项满足rnun1。

n【例】判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：

(1)n(2n1)(1)n(1)n①；②；③n。 n2ln(2n1)nn1n1n2【练习】判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：

①(1)n1n1(2)n(1)n。 (n1n)；②n；③1nn1n1ln(1)n二、幂级数

1、概念、收敛域

【收敛半径的求法】若幂级数anxn满足limn0an1l或limnanl，则①0l时

nnan1R；②l0时R；③l时R0。

l(2n)!2n1x【例】求下列幂级数的收敛域：①；②2(n!)n0(1)n3n3n(x2)。 n12n0x4n(x2)nn!xn【练习】求下列幂级数的收敛域：①；②n；③n。

(4n)!332n0n0n02n(x1)n；③2n0n12、和函数

【运算性质】设anx与bnxn的收敛半径分别为R1与R2，记R=min{R1,R2}。则：

nn0n0①线性运算：对α、β≠0有anxanx(anbn)xnnnn0xR；

n0n0②乘法运算：anxbnxcnxnnnn0n0n0xR，其中cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0。

【解析性质】设anxn的收敛半径为R，和函数为S(x)。则：①S(x)在(-R,R)上连续。

n0且anx在x=-R(x=-R)处收敛时S(R)anRS(R)an(R)n；②S(x)在(-R,R)上可n0n0n0nn导。且

S(x)nanxn1n1x(R,R)；③S(x)在(-R,R)可积，且

x0S(x)dxann1xn0n1x(R,R)。

xn1n2n12nn(x1)；③nx；④x。【例】求下列幂级数的和函数：①n；②

n1n2n1n!n0n02n1x4n12n【练习】求下列幂级数的和函数：①；②n1(x1)n。

n14n3n033、幂级数展开

【直接展开法】①Taylor级数：f(x)1fn0n!(n)(x0)(xx0)n；②Lagrange型余项

Rn(x)1f(n1)()(xx0)n1。

(n1)!【间接展开法】利用已知结果，把目标函数进行求导或积分(有时需要级数的加减、数乘等运算)化为已知的某个函数然后计算可得到幂级数展开式。

x2ln(1x2)1x【例】把下列函数展开成x的幂级数：①f(x)；②f(x)；③f(x)。

1x13xx【练习】把下列函数展开成x的幂级数：①f(x)xex1x2；②f(x)x。 第七章 方程类经济数学模型

一、微分方程的概念

微分方程、阶、解(通解、特解、初始条件)、线性与非线性 二、一阶微分方程

1、可分离变量方程

【形式】y'=f(x)g(y)或M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0。 【解法】分离变量，两边积分。

【例】求解下列微分方程：①xyyy2；②xdy+ydx=2xydy。 【练习】求解下列微分方程：①xdx1yydy1x；②ysinxylny 2、齐次方程 【形式】

dydxf(yx)。 【解法】做变量代换uydux，方程化为xdxuf(u)。分离变量、积分、代回x、y。【例】求解下列微分方程：①xyy(lnylnx)；②dyy3dx3xy22x3。 y【练习】求解下列微分方程：①yyxex；②(xy)dx(xy)dy0。

3、可化为齐次方程的方程 【形式】

dya1xb1yc1dxa。 2xb2yc2【解法】①当c1=c2=0时即为齐次方程

20时，若②当c12c2xXx0axb1yc10xx0a1b1，由1得，做变量代换a2b2a2xb2yc20yy0yYy0化为齐次方程。若

a1b1做变量代换u=k(a1x+b1y)(其中k为a1、b1的最大公约数的倒数)化a2b2为可分离变量方程。

【例】求解下列微分方程：①

dyx2y3；②(2x6y1)dx(3x9y2)dy0。 dx2xy1dy2xy。 dx6x3y4【练习】求解下列微分方程：①(2xy)dx(3xy1)dy；②

4、一阶线性方程

【形式】y'+P(x)y=Q(x)

【解法】常数变易法：求出对应齐次方程的通解，把通解里的常数C换成未知函数C(x)，对应的y代入原方程，解出C(x)后得到原方程的通解。

公式法：直接代入y[Q(x)eP(x)dxP(x)dxdxC]e求解。

【例】求解下列微分方程：①x(x21)y(x21)y1；②f(x)e2xf(t)dt。

0x【练习】求解下列微分方程：①(ysinx)dxxdy0；②(1x2)yxy1。 5、Bernoulli方程

【形式】y'+P(x)y=Q(x)yn 【解法】作变量代换z=y1-n，则Bernoulli方程化为一阶非齐次线性方程。

dyx4y3【例】求解下列微分方程：①(yx)dx2xydy0；②。 2dxxy2【练习】求微分方程y1x2sin2y2xsin2ye21x2的解。

三、高阶方程

1、二阶常系数线性方程 【形式】y''+ay'+by=f(x)

【解法】由特征方程r2+ar+b=0的根得到对应齐次方程的通解y=C1y1+C2y2；根据f(x)的形式求得方程的特解y*，则原方程的通解为y=C1y1+C2y2+y*。

【例】求解下列微分方程：①y''-7y'+12y=x+1；②y''+3y'+2y=xe-x；③y''+4y'+4y=e-2x。

23x【练习】求解下列微分方程：①y''-y'-2y=2x+1；②y''-6y'+9y=(x+1)e。 2、可降阶的高阶方程 【形式】y(n)=f(x) 【解法】逐次积分 【形式】y(n)=f(x,y(n-1))

【解法】作变量代换z=y(n-1)把它变为一阶微分方程。 【形式】y(n)=f(y,y(n-1))

【解法】利用变量代换z=y'把它变为以y为自变量、以z为因变量的未知函数的n-1阶微分方程。

【例】求解下列微分方程：①y''(1+ex)+y'=0；②y''+( y') 2=2e-y。 【练习】求微分方程y''=xsin x的解。

四、差分方程

1、差分、差分方程的概念 2、一阶常系数线性差分方程 【形式】yt+1+ayt=f(t)

【解法】写出对应齐次方程的通解yt=C(-a)t；根据f(x)的形式求得方程的特解yt，则原方程的通解为yt=C(-a)t +yt

【例】求解下列差分方程：①2yt+1+4yt=4t +2；②4yt+1-yt=3t。 【练习】求解下列差分方程：①yt+1+yt=1；②3yt+1-3yt=cost。

3