微积分复习资料

基本知识复习

一、 不定积分

1． 不定积分概念，第一换元积分法

（1） 原函数与不定积分概念

Fxfxa,bxa,b设函数与在区间内有定义，对任意的，有

F'xfx或

dFxfxdx，

Fxfxa,b 就称是在内的一个原函数。

Fxfxfxfx 如果是函数的一个原函数,称的原函数全体为的不定积分,记

作

fxdxFxC,

（2） 不定积分得基本性质

d'fxdxfxFxdxFxC dx2。1．

3。AfxBgxdxAfxdxBgxdx.

1

（3）基本不定积分公式表一

(1)kdxkxCk是常数，x1（2)xdxC1,11（3）xdxlnxC,dx(4)arctanxC,1x2dx(5)arcsinxC,21x(6)cosxdxsinxC,(7)sinxdxcosxC,dxsec2xdxtanxC,2cosxdx(9)2csc2xdxcotxC,sinx(8)(10)secxtanxdxsecxC,(11)cscxcotxdxcscxC,ax(12)adxC,lnax(13)shxdxchxC,(14)chxdxshxC,1dxthxC,ch2x1(16)2dxcthxC.shx

(15)

（3） 第一换元积分法（凑微分法）

fuux设具有原函数, 可导,则有换元公式

xxdxffudu'ux.

2

2． 第二换元积分法，分部积分法

（1） 第二换元积分法

'ft't0t具有原函数,则有换元是单调的、可导的函数,并且.又设设公式

xtttdtfxdxf't1x,

1xxt其中是的反函数.

（2） 分部积分法

uuxvvx设函数及具有连续导数,那么,

uv'u'vuv',

移项,得

uv'uvu'v.'对这个等式两边求不定积分,得

''uvdxuvuvdx.

这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:

3

udvuvvdu.

（3） 基本积分公式表二

(17)tanxdxlncosxC，（18)cotxdxlnsinxC,（19）secxdxlnsectanxC,(20)cscxdxlncscxcotxC,dx1xarctanC,22axaadx1xa(22)2dxlnC,xa22axadxx(23)arcsinC,aa2x2dx(24)lnxx2a2C,x2a2dx(25)lnxx2a2C.x2a2 (21)（3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分

一、 有理函数的积分

PxQx两个多项式的商

Px称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式与

QxPxQx分母多项式之间是没有公因式的.当分子多项式的次数小于分母多项式的次

数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.

利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.

4

对于真分式

kPnxQmx,首先将

Qmx在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类

l2pk,l,其中是正整数且4q0;其次,根据因式分解

xa型:一种是,另外一种是

x2pxq的结果,将真分式拆成若干个分式之和.

具体的做法是:

若

Qmxxa分解后含有因式,则和式中对应地含有以下k个分式之和:

kA1A22xaxaAkkxa

,其中:A1,,Ak为待定常数.

分解后含有因式xpxq2l若

Qmx,则和式中对应地含有以下l个分式之和:

MlxNlM1xN1M2xN2222xpxqxpxqx2pxql,

其中:

Mi,Nii1,2,,l为待定常数.

以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.

二、 可化为有理函数的积分举例

5

例4 求

1sinxsinx1cosxdx.

x2的有理式表示,即

解 由三角函数知道,sinx与cosx都可以用

tanxx2tanxx22,sinx2sincos22sec2x1tan2x22x1tan21tan2xx2cosxcos2sin2x22sec21tan222tanx2.x2

如果作变换

utanxx2,那么

2u1u2sinx,cosx,221u1u

而x2arctanu,从而

2du.1u2

于是

dx 6

1sinxsinx1cosxdx2u2du11u21u22u1u211u21u211u2du2u1u22ulnuC221xx1xtan2tanlntanC.2222 4

例5 求

x1dx.x

2xu1,dx2udu,从而所求积分为 x1u解 设,于是

x1uu2xdxu212udu2u21du121du2uarctanuC21u2x1arctanx1C.

dx13x2.例6 求

32xu2,dx3udu,从而所求积分为 x2u解 设,于是

3 7

dx3u213x21udu13u1du1uu23uln1u2332x233x23ln13x2C.C2

例7 求

dx1x3x.

56dx6tdt,从而所求积分为 xt解 设,于是

dx1x36t5t2dt6dt2231tx1tt161dt6tarctantC21t66xarctan6xC.

11xxxdx.例8 求

1x212tdtt,x2,dx,1x22txt1t1x解 设,于是从而所求积分为

11x2tt22xxdxt1tt212dt2t21dt1t1212dt2tlnCt1t12t2lnt1lnt21C21x1x2ln1lnxC.xx8

二、 定积分

（1）

定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质

（1） 定积分的概念

1。定积分的定义

fxa,b定义(定积分) 设函数在区间上有定义.用分点

ax0x1x2xn1xnb,

将区间a,b任意分成n个小区间,小区间的长度为

xixixi1i1,2,,n,

记

maxxi.1in在每个小区间xi1,xixx上任取一点ii1ii,作乘积

fixii1,2,,n.

将这些乘积相加,得到和式

nfixi,i1n

fxa,b这个和称为函数在区间上的积分和.令0,若积分和n有极限I(这个值I不

9

依赖于a,b的分法以及中间点i的取法i1,2,,n),则称此极限值为fx在a,b上的定积分,记作

Ilimfixifxdx,0i1anb

其中a和b分别称为定积分的下限与上限，a,b称为积分区间.

函数的可积性

fxa,bfxa,b定理1 若在上连续,则在上可积.

fxa,bfxa,b定理2 若在上只有有限个间断点,并且有界,则在上可积.

定积分的几何定义

在a,bfxdxfx0yfx上时,我们已经知道,定积分a在几何上表示由曲线、两条

b直线xa,xb与x轴所围成的曲边梯形的面积;在a,bfx0yfx上时, 由曲线、两条

bfxdxxa,xbxxa直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方,定积分在几何上表示上述

曲边梯形面积的负值;在a,bfxfx上既取得正值又取得负值时,函数的图形某些部分在

bx轴的上方,而其它部分在x轴下方.此时定积分afxdx表示x轴上方图形面积减去x轴下

方图形面积所得之差(图4-2).

10

定积分的基本性质

为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定:

(1)

当ab时,abfxdx0;

(2)

当ab时,abfxdxfxdx.ba

性质1

1dxba.

abbbbk1fxk2gxdxk1fxdxk2gxdx.aaa性质2 (线性性质)

fxgxdxfxdxgxdx.aaa推论1

bbb推论2

bakfxdxkfxdx.ab

性质3

bafxdxfxdxfxdx.accb

11

bb性质4 若ab,fxgx,则afxdxgxdx.a

推论3 若

ab,fx0fxdx0.,则

ab推论4 若ab,mfxM,则

mbafxdxMba.ab

推论5

bafxdxfxdxab.ab

fxa,ba,b性质5(定积分中值定理)（图4-6） 若在上连续,则至少有一点,使得

fxdxfba.

ab积分上限的函数及其导数

fxa,b定理1 如果函数在区间上连续,则积分上限的函数

xftdtax

在a,b上可导,并且它的导数

dxxftdtfxaxb.dxa

'fxa,b定理2 如果函数在区间上连续,则函数

12

xxftdta

fxa,b就是在上的一个原函数.

一、 牛顿---莱布尼茨公式

Fxfxa,b定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则

fxdxFbFa.

ab通常也把牛顿----莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.

（2） 定积分的换元积分法与分部积分法

fx在a,b上连续,作变换

xtt,其中满足

(1)a,b,且当

t,ta,b时,;

t,(2)在上具有连续导数,则

b'ba'fxdxfttdt. 定积分的分部积分法：

uxvxdxuxvxvxuxdx'aaabb

13

例28 证明:

若fx在a,a上是连续的偶函数,则

1.

2.

aafxdx2fxdx.0a

fxa,a若在上是连续的奇函数,则

fx0,1例29 若在上连续,证明:

aafxdx0.

(1)

fsinxdxfcosxdx;

2020(2)

0xfsinxdxfsinxdx.2

0fx例31 设是连续的周期函数，周期为T，证明:

(1)

aTafxdxfxdx;0T

anT(2)

afxdxnfxdxnN.0T

例9 证明:

14

n00In2sinxdx2cosnxdxn1n331,n为正偶数；nn2422n-1n342,n为正奇数.nn253

证:令

x2t,则

n0当n2时,

20sinxdxcostdt2cosnxdx.2n0

20n0Insinxdx2sinn1xdcosxcosxsin0n1x2n1sinn2xcos2xdx200n2n12sinxdxn12sinnxdx0n1In2n1In.

这样,我们得递推公式:

n1In2.n

In当n为正偶数时,

Inn1n3nn231I0;42

当n为正奇数时,

Inn1n3nn232I1.43

15

又

I12sinxdx1,0I02dx02.

故

n1n331,n为正偶数；nn2422Inn-1n342,n为正奇数.nn253

在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它

反常积分

无穷限的反常积分

fxa,定义1 设函数在区间上连续,取ta,如果极限

talimfxdxt

fxdx,fxa,存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作a即

afxdxlimfxdx,tat

16

这时也称反常积分a上的反常积分afxdx收敛;如果上述极限不存在,则函数fx在无穷区间a,fxdx就没有意义,习惯上称为反常积分afxdx发散,这时记号

afxdx不再表示数值了.

fx,b类似地, 设函数在区间上连续,取tb,如果极限

ttlimfxdxb

b存在,则称此极限为函数

fxfxdx,,b在无穷区间上的反常积分,记作即

这时也称反常积分bbfxdxlimfxdx,ttb

bfxdx收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分fxdx发散.

fx,设函数在区间上连续,如果反常积分

0fxdx和0fxdx

fx,都收敛,则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分,记作

fxdx,即



fxdx0fxdx0fxdx,

17

这时也称反常积分fxdx收敛;否则就称反常积分fxdx发散.

上述反常积分统称为无穷限的反常积分.

由上述定义及牛顿---莱布尼茨公式,可得如下结果.

limFxa,x在上的一个原函数,若存在,则反常积分

设

Fx为

fx若

limFxafxdxlimFxFa;x

x不存在,则反常积分afxdx发散.

如果记

FlimFx,FxaFFa,xF则当存在时,

afxdxFxa;

fxdxF当不存在时, 反常积分a发散.

,bF'xfxF类似地,若在上,则当存在时,

当

FbfxdxFx;b

不存在时, 反常积分bfxdx发散.

18

,F'xfx若在内,则当F与F都存在时,

当

FfxdxFx;

与

F有一个不存在时, 反常积分fxdx发散.

例2证明反常积分

adxa0p1xp当时收敛,当p1时发散.

证 当p1时,

dxdxlnx.axpax

当p1时,

aadxxxp1pa1p,p1,a1pp1,p1.

a1p因此,当p1时,这反常积分收敛,其值为p1;当p1时,这反常积分发散.

一、 无界函数的反常积分

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形.

fxfx如果函数在点a的任一邻域内都无界,那么点a称为函数的瑕点.无界函数的

19

反常积分又称为瑕积分.

定义2 设函数fx在a,b上连续,点a为fx的瑕点.取ta,如果极限

talimfxdxtb

bfxdx,fxa,b存在,则称此极限为函数在上的反常积分,仍然记作a即

这时也称反常积分bbafxdxlimfxdx,tatb

bafxdxfxdx收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分发散.

afxa,bfx类似地, 设函数在上连续,点b为的瑕点.取tb,如果极限

tblimfxdxat

存在,则定义

fxdxlimfxdx;

atbabtfxdx否则,就称反常积分发散.

abfxa,bcacbfx设函数在上除点外连续,点c为的瑕点.如果两个反常积分

20

cbfxdx和fxdx

ac都收敛,则定义

否则就称反常积分abbafxdxfxdxfxdx,accb

fxdx发散.

计算无界函数的反常积分,也可借助于牛顿---莱布尼茨公式.

limFxfxa,bF'xfxxa设为的瑕点,在上,如果极限xa存在,则反常积分

如果

limFxbafxdxFblimFxFbFa;xa

xafxdx不存在,则反常积分发散.

abFxFbFa,从而形式上仍有 a来表示我们仍用记号bbafxdxFxa;b

fxa,b对于在上连续,b为瑕点的反常积分,也有类似的计算公式,这里不再详述.

xa例5 证明反常积分

abdxq当0q1时收敛,当q1时发散.

21

微分方程

微分方程的基本概念

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程.微分方程有时也简称方程.

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶. 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，

Fx,(x),(x),,(n)(x)0，

那么函数y(x)就叫做微分方程（10）在区间I上的解.

如果微分方程的解中含有相互的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.

设微分方程中的未知函数为yy(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

xx0时，yy0，

或写成

yxxy00，

22

其中x0、y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

时，yy0,yy0.

xx0或写成

yxxy0,yxxy000，

其中x0、y0和y0都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件.

确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.一阶微分方程的初值问题，记作

yf(x,y),yy0.xx0 （12）

微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（12）的几何意义，就是求微分方程的通过点(x0,y0)的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题

yf(x,y,y)yy0,yxxy00xx0

的几何意义，是求微分方程的通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y0的那条积分曲线.

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

23

g(y)dyf(x)dx （5）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.

g(y)dyf(x)dx.

设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有

G(y)F(x)C. （6）

齐次方程

一、齐次方程

如果一阶微分方程

dyfx,ydx

yyf(x,y)()x，则称这方程为齐次方程，引进新的中的函数f(x,y)可写成x的函数，即

未知函数

yx, （2）

u 24

就可化为可分离变量的方程.因为由（2）有

dyduuxdxdx，

yux,代入方程（1），便得方程

du(u)dx，

ux即

xdu(u)udx.

分离变量，得

dudx(u)ux.

两端积分，得

dudx(u)ux.

y求出积分后，再以x代替u，便得所给齐次方程的通解.

可化为齐次的方程

方程

25

dyaxbycdxa1xb1yc1 (3)

当cc10时是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令

xXh,yYk，

其中h及k是待定的常数.于是

dxdX,dydY，

从而方程(3)成为

dYaXbYahbkcdXa1XbY1a1hb1kc1.

如果方程组

ahbkc0a1hb1kc10

ab0a1b1的系数行列式

a1b1ab，那么可以定出h及k使它们满足上述方程组.这样，，即

方程(3)便化为齐次方程

dYaXbYdXa1Xb1Y

26

.

求出这齐次方程的通解后，在通解中以xh代X，yk代Y，便得方程(3)的通解.

a1b1a1b1当ab时，h及k无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令ab，从而方程(3)

可写成

dyaxbycdx(axby)c1.

引入新变量vaxby，则

dy1dvdvdyaab. dxdx，或dxbdx于是方程(3)成为

1dvvcabdxvc1，

这是可分离变量的方程.

以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程

axbycdyfdxaxbyc111.

一阶线性微分方程

27

一、 线性方程

方程

dyP(x)yQ(x)dx (1)

叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程.如果Q(x)0,则方

程(1)称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的.

设(1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把Q(x)换成零而写出

dyP(x)y0dx （2）

方程（2）叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程（2）是可分离变量的，分离变量后得

dyP(x)dxy，

两端积分，得

lnyP(x)dxC1，

28

P(x)dxyCe,CeC1或 ，

这是对应的齐次线性方程（2）的通解.这里记号P(x)dx表示P(x)的某个确定的原函数.

现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解.这方法是把（2）的通解中的C换成x的未知函数u(x)，即作变换

yueP(x)dx， dyP(x)dx于是 dxueuP(x)eP(x)dx. 将（3）和（4）代入方程（1）得

ueP(x)dxuP(x)eP(x)dxP(x)ueP(x)dxQ(x)，

即 ueP(x)dxQ(x),uQ(x)eP(x)dx.

两端积分，得

uQ(x)eP(x)dxdxC.

把上式代入（3），便得非齐次线性方程（1）的通解

yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC). 将（5）式改写成两项之和

29

（3）

（4）

（5）

P(x)dxP(x)dxP(x)dxdxyCeeQ(x)e，

上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）

的一个特解（在（1）的通解（5）中取C0便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.

二、 伯努利方程

方程

dyP(x)yQ(x)yndx(n0,1) （13）

叫做伯努利（Bernoulli）方程.当n0或n1时，这是线性微分方程.当n0,n1时，

ny这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以除方程（13）

的两端，得

dyP(x)y1nQ(x)dx （14）

ynd1nydx容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因子1n，因此我们引入新的未知

函数

zy1n，

30

dzdy(1n)yndx. 那么 dx用(1n)乘方程（14）的两端，再通过上述代换便得线性方程

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)dx.

1ny求出这方程的通解后，以代z便得到伯努利方程的通解.

利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子.

dy1例5 解方程dxxy.

解 若把所给方程变形为

dxxydy，

即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解.

也可用变量代换来解所给方程：

dydu1xyuyux令，则，dxdx.代入原方程，得

31

du1duu11,dxudxu.

分离变量得

ududxu1，

两端积分得 以uxy代入上式，即得

ulnu1xC.

ylnxy1C，

或

xC1eyy1,(C1eC).

可降阶的高阶微分方程

(n)yf(x)型的微分方程 一、

(n)yf(x) (2) 微分方程

的右端仅含有自变量x.容易看出，只要把y(n1)作为新的未知函数，那么(2)式就是新未

知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个n1阶的微分方程

y(n1)f(x)dxC1.

32

y(n2)f(x)dxC1dxC2同理可得 .

依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(2)的含有n个任意常数的通解. 二、 yf(x,y)型的微分方程

方程

yf(x,y) (7)

的右端不显含未知函数y.如果我们设yp，那么

dppdx，

y而方程 (7)就成为

pf(x,p).

这是一个关于变量x、p的一阶微分方程.设其通解为

p(x,C1).

但是

pdydx，因此又得到一个一阶微分方程

33

dy(x,C1)dx.

对它进行积分，便得方程(7)的通解为

y(x,C1)dxC2.

三、 yf(y,y)型的微分方程

方程

yf(y,y) (11)

中不明显地含自变量x.为了求出它的解，我们令yp，并利用复合函数的求导法则把

y化为对y的导数，即

ydpdpdydppdxdydxdy.

这样，方程(11)就成为

dpf(y,p)dy.

p这是一个关于变数y、p的一阶微分方程.设它的通解为

yp(y,C1)，

34

分离变量并积分，便得方程 (11)的通解为

dy(y,CxC21).

题型分析

1． 简单积分法

求　1x21x2例：

1x4dx.

1x21x21x4dx.

dx1x2dx1x2 arcsinxlnx1x2c. 2．

例：

设f(x)的一个原函数为sinxx,则xf(x)dx______________。35

抽象函数结合分部积分

xf(x)dxxf(x)f(x)dx　　　　xf(x)sinxxc　　　　xcosxsinxxsinxxc　　　　cosx2sinxxc故应填:cosx2sinxxc. 3．

dx例。

求3cosx.

x2dt1t2解:令tan2t　　dx1t2　　cosx1t2

dx13cosx31t221t2dt1t2

22t24dtdtt22 22arctan2t2c

2tanx2arctan222c

4．

36

三角函数有理式积分

三角代换去根号

例：

求x2(1x)232dx.

x2223dx.　　　令xtant　　dxsectdt(1x)2原式tan2tsec2tdtsec3tsin2tcos2tcostdtsin2t1cos2 costdttcostdt

lnsecttantsintc

lnx1x2x1x2c. 5．

dx例：

求x13x1

令(x1)16u　　x1u6　dx6u5du6u5duu3原式u3u26u1du 61(u2u1)u1du

37

简单无理式积分

6u33u22ulnu1c

6x13x163x1ln6x112c

6．

1sin2x，0x1设f(x)2 , 求1例：6(x12 0f(x)dx2)2，2x12原式2sinxcosxdx126(x)2022dx

14(cosxsinx)dxx)3202(sinxcosx)dx

42(22 sinxcosx4xsinx2

0cos24 2(21)222 7.变限函数求导法.

例:

38

分段函数的定积分

若xx(t)是由方程t　xt 1edu0所确定的，则u2dxdtt011.e

x1设xx(t)是由方程sinteu2d2xdu0所确定的隐函数，试求t0．1coste(x1)2x(t)0

　x(t)coste(x1)2

再关于t求导，得

　　　x(t)e(x1)2(sint2(x1)x(t))由已知方程得　t0，x2

　　　x(0)e

　　　　x(0)2e2

7.函数光滑性的关系.

可导比连续强,连续比可积强.

8.参数方程结合变上限函数求导.

dt2

39

tx 0cosudu　则dy_1___________________设dxtcostylnt，(t0)例:

tsinudu，dyd2yx1设参数方程(0t)所确定的函数是yy(x)，求，2．udxdxysinttcost，

dxsintdy，tsintdttdt

　dytsintt2sintdxt

d2yddydx()/2dtdxdt dx2t2　　，t(0，)sint

9.积分的对称性的应用.

122sinxln例.

121xdx____0_______________1x

10.广义积分的计算

例.

求x3exdx．02

40

令　x2t1t原式tedt20

b1limtetdt 2b0

1lim(tetet)b02b 12



11.可降阶方程的解法

12的特解。

22yyy例: 求微分方程满足条件

y(0)0,y(0)令yp(y),ypp

ppp2y2

22pzz2z2y令，得

zy2y1C1e2y2，由条件得C10

pyy2y12

41

2111lnyyxC2224

11C2lny(0)022 由，得

211111lnyyxln22224特解为：

yy2y1221xe2

2(xa)yxyy的通解。 例: 求微分方程

2yp,yp,(xa)pxpp 令

即

p1xpp2xaxa

11xuuuxaxa 令p，得

C1x2C111uxdxpxa22(xa) 2(xa)x2C1

py 42

ylnx2C12axarctanC2C1C1

12.x,y在方程中对称地位的应用.

例. 求微分方程dxxsiny(1xcosy)dy的通解。

dxxsinyx2sinycosydy

dx1sinyx1sinycosydy

解得

x1Cecosycosy1

cosyx(cosy1)Ce1 或

13.积分方程求解

例. 已知

2y()dxy(x)0x，求y(x)。

两边关于x求导得

dydx

xy(x)2x 43

即

dyxy2xdx

dyxdxy2

x22yCe2

由yx00，求得 C2

故原方程的解为：y2e2

x22

14.微分方程的简单几何应用

例. 求过点(2,1)的一条曲线，使其上任一点处的切线在x轴上的截距等于该点的横坐标的一半。

yxy2

由题意思得方程

y2即 yx

x

2yCx积分得：

44

由y(2)1，得

C14

曲线为：

y12x4

15.定积分与周期函数的相关证明.

例.

设f(x)是以T为周期的连续函数，证明：

xF(x)f(t)dtkxGx0GxTGxk，其中，为某常数。

G(xT)xTG(x)x0f(t)kdt

0f(t)kdtxT

x0f(t)kdtf(t)kdtx

G(x)f(t)dtkT0T

1Tf(t)dt0T

一般情况下，f(t)dt0，若取k0T

则得　G(xT)G(x)

45