群论初步习题

§12.1 群的定义和例子

１．设Ｇ为一切不等于零的有理数所成的集合，证明Ｇ对于数的乘法作成一个群． 【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故Ｇ对数的乘法封闭；

２）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立； ３）10是非零有理数，且对任何一个非零有理数a，

1aa1a0， 说明１是Ｇ的单位元素； ４）对任意的非零有理数a，则

1是非零有理数，且 a11a1， aa1说明a的逆元是，

aa 根据群的定义，即知集合Ｇ对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a，b，c三个元素所作成的集合，它的乘法表是

a b c a b c a b c b c a c a b 判别Ｇ是否成群？

【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，a是Ｇ的单位元素，

a、b、c的逆元分别是a、c、b． 以下只要证明结合律成立即可．

因为(ab)c＝bc＝a，a(bc)＝aa＝a，故(ab)c＝a(bc)；

同法可知a(cb)＝(ac)b＝a，(ba)c＝b(ac)＝a，(bc)a＝b(ca)＝a，

(ca)b＝c(ab)＝a，(cb)a＝c(ba)＝a，

以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的， 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．

３．证明下列四个方阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ对于矩阵乘法作成一个群Ｖ，写出的Ｖ乘法表．Ｖ是

否循环群？Ｖ是否交换群？

10101010 A01，B01，C01，D01．

【证明】先写出乘法表．

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 由乘法表看出，集合Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵

的乘法满足，自然对Ｖ中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元，元素Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的逆

元素分别是它们自身，故Ｖ对矩阵的乘法作成群． 但（Ａ）＝｛Ａ｝，（Ｂ）＝｛Ａ，Ｂ｝，（Ｃ）＝｛Ａ，Ｃ｝，（Ｄ）＝｛Ａ，Ｄ｝， 它们都不等于Ｖ，从而Ｖ不是循环群．

由乘法表的对称性，可知群Ｖ是一个交换群．

§12.2 置换群

１．求置换的乘积：45123311234554223451 【解】12345123452345131542123451154232 1234515423． ２．把置换表为轮换的乘积： （１）23456713456721， 【解】12345673456721(1357)(246)； （２）1234567878654321． 【解】1234567878654321(1728)(36)(45)．３．证明：（１）(i1i2ik)1(ikik1i1)；

（２）设Ｐ，Ｑ为两个不相交的轮换，则ＰＱ＝ＱＰ．

【证明】（１）(iii1ikik1in12ik)i2i2ii,

3i1k1in(iiiikik1i1ik1inkk11)ik1ik2ikik1in, (ikik1i1)(i1i2ik)

ikik1iii1k1in2ikik1ik1ik2iii1kk1ini2i3i1ik1234345ini n51

i2i1i1i1i3i1i2iki2iki2ikik1ini1ik1ini2i2iki3i1ik1in ik1inik1in(i1),（恒等变换）

ik1in同理可证 (i1i2ik)(ikik1i1)(i1)，

1所以 (i1i2ik)(ikik1i1)．

（２）设P(i1i2ik)i2i1i2iki3i1ik1irik1irir1in，

ir1ini1Q(ik1ik2ir)i1其中没有相同的数字．

i2ikik1irir1in， i2ikik2ik1ir1in 则 PQ(i1i2ik)(ik1ik2ir)

i1i2i2ikik1irir1in

i3i1ik2ik1ir1in(ik1ik2ir)(i1i2ik)QP.

４．写出四次对称群的所有置换．

【解】四次对称群的全体置换（共２４个）用轮换的形式表示就是： （１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）．

§12.3 子群及其陪集

１．求出三次对称群的所有子群．

【解】S3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，

它的平凡子群为单位元群{(1)}及S3本身；

其２阶子群有３个，即H1{(1),(12)}，H2{(1),(13)}，H3{(1),(23)}； 三阶子群只有１个，即H4{(1),(123),(132)}，

由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是S3的所有子群．

２．证明：阶为质数的群一定是循环群．

【证明】设Ｇ群的阶为质数p，则Ｇ必含有周期大于１的元素，

不妨设为a，其周期为m＞１，

故由a生成的循环群（a）是群Ｇ的子群，其阶数为m， 由拉格朗日定理知，m整除p， 但p是质数，故m＝p， 从而 Ｇ＝（a），即Ｇ是循环群． ３．证明：阶为质数幂p的群中包含一个阶为p的子群．

【证明】设群Ｇ的阶为p，因p为质数，故群Ｇ含有非单位元素a． 设a的周期为n，由拉格朗日定理的推论，知n整除p，

即np，1rm． 若r＝１，则循环群（a）＝{a,a,若r1，那么循环群（apr12rm

m

m

,ape}是Ｇ的p阶子群；

r1r1）＝{ap,a2p,,appr1ape}

r是Ｇ的p阶子群．证完．

４．证明：循环群的子群也是循环群． 【证明】设Ｇ是循环群，Ｈ是其子群．

若Ｇ是单位元群，则显然Ｈ＝Ｇ，故结论成立． 下面讨论Ｇ不是单位元群的情况． 若Ｇ＝（ａ），其中ａ不是单位元，Ｈ是Ｇ的子群，但不是单位元群，

那么Ｈ中必含有m＞０的幂a．

不妨就设a是Ｈ中a的最小正幂，显然Ｈ包含a的任何乘幂． 若a是Ｈ中的任意元素，由s＝tm＋r，0rm，可知 aarstmmmmsas(am)t 也是Ｈ中的元素，

但m是最小正整数，而且0rm，故r＝０， 于是 a(a)，

这就是说，Ｈ中的任意元素a都是a的幂，即Ｈ只含有a的任意乘幂， 所以Ｈ是由a生成的循环群，即Ｈ＝（a）． 这样就证明了命题．

５．证明：群Ｇ的一个元素a是恒等元的充分必要条件为a适合关系aa． 【证明】必要性是显然的．

2smtsmmmm下面只证充分性．

设群Ｇ的恒等元为e，由于aa21a1ae，

121在关系式aa两端同时乘a的逆元a，有aa 而 aa21aa1e

a(aa1)aea，

所以 ae，即a是群Ｇ的单位元．

§12.4 共轭类与子群

12345123451１．设P35412，Q23415，求QPQ．

【解】使用教材８４—８５页的方法，对置换Ｐ的上下两行分别施行置换Ｑ，得 QPQ123415123454512324513． ２．设四阶群Ｖ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝的乘法表为 ｅ ａ ｂ ｃ ｅ ｅ ａ ｂ ｃ ａ ａ ｅ ｃ ｂ ｂ ｂ ｃ ｅ ａ ｃ ｃ ｂ ａ ｅ 求出Ｖ的所有共轭类．

【解】由Ｖ的乘法表看出，群Ｖ是可换群，故群Ｖ的每一个元素就是一个共轭类．即群Ｖ有四个共轭类：｛ｅ｝，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝． ３．证明：指数为２的子群一定是正规子群．

【证明】设Ｈ为群Ｇ的子群，由于［Ｇ：Ｈ］＝２，则群Ｇ按子群Ｈ的左分解为

Ｇ＝Ｈ＋ａＨ

按Ｈ的右分解为 Ｇ＝Ｈ＋Ｈａ， 其中aH． 因此 ａＨ＝Ｈａ，即对任意的aH，都有 aHa 若aH，则ａＨ＝Ｈａ，即aHa11H．

H显然成立．

依正规子群的定义，Ｈ是正规子群． ４．证明：交换群的每一个子群都是正规子群．

【证明】设Ｇ为交换群，Ｈ为Ｇ的子群，则对任意的aG，都有ａＨ＝Ｈａ，

即aHa1H，所以Ｈ是正规子群．

５．求四次对称群的所有共轭类．

【解】由§１２．２的习题４，知S4的所有置换（共２４个）为

（１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）． 再由教材８５页的定理２，具有相同的轮换结构的置换必共轭，知S4共有５个共轭类， 即上面的每一行的置换组成一个共轭类．

§12.5 点群

１．证明：点群D3含有三个共轭类．

【证明】点群D3有一个三重轴（取为z轴）及三条二重轴（与z轴垂直），其元素为

2(1)(2)(3)(1)(yz)(2)(yz)(3)(yz)2 E,C3,C3,C2,C2,C2，其中C2v,C2vC3,C2vC3,

这个群的乘法表为 (1)(2)(3)2E　　C2　　C2　　C2　　C3　　C3 (1)(2)(3)2E　　C2　　C2　　C2　　C3　　C3 (1)2(2)(3)C2　　E　　C3　　C3　　C2　　C2 (2)2(3)(1)C2　　C3　　E　　C3　　C2　　C2 (3)2(1)(2)C2　　C3　　C3　　E　　C2　　C2 2(3)(1)(2)C3　　C2　　C2　　C2　　C3　　E (2)(3)(1)2C3　　C2　　C2　　C2　　E　　C3 E (1)C2 (2)C2 (3)C2 2C3 C3 由教材８６页例３给出的方法，可知： 22C3,C3属于一个共轭类．这是因为C3,C3有共同的旋转轴，而变换Ｅ即保持它不变． (1)(2)(3)(1)(2)(3)2C2,C2,C2属于另一个共轭类．因为只要作变换C3或C3，反映C2,C2,C2的

对称平面即可互相转化．

而Ｅ是恒等变换，它单独成一类． 所以两面体群D3共有三个共轭类． ２．求出点群ℭ3h的元素和它的乘法表．

【解】把反映h加到旋转群(C3){E,C3,C3}上去，并用h分别乘C3,C3，即得点群

22ℭ3h{E,C3,C3,h,C3h,C3h}．

22它的乘法表为

22E　　C3　　C3　　h　　C3h　　C3h E C3 2C3 22E　　C3　　C3　　h　C3h　C3h 22C3　　C3　　E　　C3h　C3h　h 22C3　　E　　C3　　C3h　h　C3h 22h　C3h　C3h　　E　　C3　　C3 22C3h　C3h　h　　C3　　C3　　E 22C3h　h　　C3h　C3　　E　　C3 h C3h 2C3h 注意上述乘法表使用了可换性．

３．设I为以原点为对称中心的反演，证明G2＝{E,I}是一个群． 【证明】写出G2的乘法表 则显然G2是一个群．

Ｅ Ｉ Ｅ Ｉ Ｅ Ｉ Ｉ Ｅ §12．6 同构对应和同态对应

１．证明：三次对称群S3与点群两面体群D3同构． 【证明】三次对称群S3元素为

Ｅ＝（１），Ａ＝（１２），Ｂ＝（１３），Ｃ＝（２３），Ｄ＝（１２３），Ｆ＝（１３２）． 其乘法表为

Ｅ Ａ Ｂ Ｃ Ｆ Ｄ

Ｅ Ｅ Ａ Ｂ Ｃ Ｆ Ｄ

Ａ Ａ Ｅ Ｆ Ｄ Ｂ Ｃ

Ｂ Ｂ Ｄ Ｅ Ｆ Ｃ Ａ

Ｃ Ｃ Ｆ Ｄ Ｅ Ａ Ｂ

Ｆ Ｆ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｅ

Ｄ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｅ Ｆ 而D3的乘法表为（上节习题１）：

(1)(2)(3)2E　　C2　　C2　　C2　　C3　　C3 (1)(2)(3)2E　　C2　　C2　　C2　　C3　　C3 (1)2(2)(3)C2　　E　　C3　　C3　　C2　　C2 (2)2(3)(1)C2　　C3　　E　　C3　　C2　　C2 (3)2(1)(2)C2　　C3　　C3　　E　　C2　　C2 2(3)(1)(2)C3　　C2　　C2　　C2　　C3　　E (2)(3)(1)2C3　　C2　　C2　　C2　　E　　C3 E (1)C2 (2)C2 (3)C2 2C3 C3 作从对应S3到D3的对应：

(1)(2)(3)2EE,AC2,BC2,CC2,DC3,FC3，

比较两个群，发现它们有共同的乘法表，故S3与D3同构． ２．证明：点群G2v与点群G2h同构．

(z)(xz)(yz)【证明】点群G2v＝{E,C2,v,v}与点群G2h＝{E,C2,h,C2h}，

它们的乘法表分别为

(z)(xz)(yz) E　C2　v　v (z)E　C2　v(xz)　v(yz) (yz)C(z)　v(xz) 2　E　v(yz)(z)(xz)　　E　Cvv2 (xz)(yz)　C(2z)　E v　vE　 C2　 h　 C2h

E (z)C2 E E　 C2　 h　 C2h

C2 C2　 E　 C2h　 h

v(xz) v(yz) h h　 C2h　 E　 C2

C2h C2h　 h　 C2　 E

作两个群之间的对应：

(z)EE，C2C2,v(xz)h,v(yz)C2h

则由两个群的乘法表可知，是一个同构对应， 从而点群G2v与点群G2h同构．

３．证明：点群G3v与下面的矩阵乘群M同构．

1102A，A1201321102A401，A532132，A23312232， 1232． 12132，A263122【证明】G3v的乘法表参见教材９２页．

作矩阵乘群的乘法表，

A1　A2　A3　A4　A5　A6 A1　A2　A3　A4　A5　A6 A2　A3　A1　A5　A6　A4 A3　A1　A2　A6　A4　A5 A4　A6　A5　A1　A3　A2 A5　A4　A6　A2　A1　A3 A6　A5　A4　A3　A2　A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 作G3v与矩阵乘群M之间的一一对应：

2(2)(3)EA1,C3A2,C3A3,v(1)A4,vA5,vA6

比较它们的乘法表，知G3v与矩阵乘群M同构．

４．证明：群Ｇ的子群Ｈ与每一个左陪集ａＨ之间存在１—１对应． 【证明】假如H{h}，则aH{ah|aG,hH}．

下面分两种情况讨论． １）aH的情形，

此时有aHH，则Ｈ的元素与自身的对应（即恒等对应）就是一个一一对应； ２）aH的情形，

作Ｈ到ａＨ的对应:hah，则可证是一一对应．

事实上，对Ｈ中不同的元素h1,h2，则它们的象ah1ah2，否则将会有h1h2， 这说明不同元素的象也不同，即是一个单射；

另一方面，如果ah是aH的一个元素，则按aH的定义，即知ｈ是ａｈ的一个原象，这说明是从Ｈ到ａＨ上的对应，即是一个满射， 从而是一一对应．

综上所述，Ｈ与ａＨ之间存在１—１对应． ５．证明：存在一个从点群G2v到点群G2上的同态对应． 【证明】点群G2v和点群G2的乘法表分别是

E (z)C2 (z)E　C2　v(xz)　v(yz) (z)E　C2　v(xz)　v(yz) (yz)(xz)C(z)　E　　 2vv E*　　C2 E*　　C2 C2　　E* E* C2 v(xz) v(yz)

(xz)　v(yz)　E　C(2z) v(xz)(yz)　C(2z)　E v　v(z)(xz)(yz)作对应:EE*,C2E,vC2,vC2，则

(E#)(#)E*(#)(E)(#)，

(z)(xz)(yz)＃表示C2,v,v中的任意一个变换．

(z)(z)(C2v(xz))(v(yz))C2E*C2(C2)(v(xz))， (z)(z)(C2v(yz))(v(xz))C2E*C2(C2)(v(yz))，

(v(xz)v(yz))(E)E*C2C2(v(xz))(v(yz))，

注意到两个群都是交换群，

故是从点群G2v到点群G2的一个同态对应．

６．证明：除同构对应外，只有两个四阶群． 【证明】设四阶群Ｇ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝，

则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是１或２或４， 但a，b，c的周期不能是１，故它们的周期必为２或４．

１） 若a，b，c之中有一个元素（比如说a）的周期为４，则Ｇ＝（ａ），此时Ｇ

为四阶循环群．

２） 若a，b，c的周期都是２，则Ｇ的乘法表一定是

ｅ ａ ｂ ｃ ｅ ａ ｂ ｃ ｅ ａ ｂ ｃ ａ ｅ ｃ ｂ ｂ ｃ ｅ ａ ｃ ｂ ａ ｅ 222这是因为a，b，c的周期为２，则abce，

而abe，否则，将有eababa，这与群的阶数为４不符；

2aba，否则b＝e，同样abb，这样只有abc．

表中其它乘积的结果类似．

因此，从同构的意义上说，只有两个四阶群， 前一个是四阶循环群，后一个是Klein四元群， 它们都是交换群．