2019-2020学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题及答案

B．cos10

）D．cos20）D．1,C．sin20

2．集合Axx2x30，Bxx1.则AB（A．1,3B．1,3C．1,23．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列an的前4项，则an的通项公式可以为（）A．an2n1B．an21

n

C．an3

n

D．an3n1y0

4．已知实数x，y满足条件yx，则zx3y的最大值为（2xy60

A．0B．3C．8D．9）D．）5．在等比数列an中，a22，a3a5，则A．4B．8a5a6（a1a2C．166．设a，b，c是三条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题正确的是（）rr

A．若ab，bc，则ac

C．若ab，a，则b//7．已知数列an满足a11，an1an

B．若，，则//D．若//，a，则arr

1

，则a10（n(n1)C．）A．910B．10111910D．21118．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过BE的平面与直线A1F平行，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A．5二、多选题B．25C．4D．59．已知数列an满足a1A．2B．11

，an1，则下列各数是an的项的有（1an2C．）2

332）D．310．已知abc，则下列不等式一定成立的是（A．ab2c11．已知函数fx

B．abbc

C．acbc

D．）11



acbc

3sinxcosx，下列说法正确的是（A．fx的最小正周期为2C．fx在区间

B．fx的最大值为31D．5为fx的一个零点62

,上为减函数33

12．如图，在正四棱锥PABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A．ACPB

B．AB与PD所成角等于BC与PD所成角C．若平面PAD平面PBCl.则l//AD

D．平面PAD与平面PBC所成二面角与APB相等或互补三、填空题2

13．已知二次函数yaxbxca0的图象如图所示，则不等式ax2bxc0的解集是______.如图.网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为______.14．15．等腰三角形顶角的余弦值为5

，则一个底角的正切值为______.13四、双空题16．已知数列an满足a13a25a32n1an2

n1

，则a3______，若对任意的nN*，an1恒成立，则的取值范围为______.五、解答题17．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足acosCccosA2bcosB.（1）求B；（2）若D是BC边上的中点，AD

n

7，AB1，求ABC的面积.18．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1（底面ABC是正三角形，侧棱与底面垂直），ABAA12，D，E分别是AA1，CB1的中点.（1）证明：DE//平面ABC；（2）求三棱锥EABC的体积.19．在①S3a6，②S420，③a1a4a724这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a36（1）求an的通项公式；（2）设bn2nan，求bn的前n项和Tn.a

.20．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB//CD，ABC90，AB2，PAPDCDBC1.（1）证明：BD平面PAD；（2）求直线AB与平面PBD所成角的大小.21．已知f(x)2x2(a2)xa，aR.（1）解关于x的不等式f(x)0；（2）若方程f(x)x1有两个正实数根x1，x2，求x2x1的最小值.x1x2

22．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，ABCA为某市的一条健康步是以BC为直径的半圆，AB23km，AC4km，BAC道，AB，AC为线段，BC

.6的长度；（1）求BC

（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道ADC（B，D在AC两侧），AD，CD为线段.若ADC到直线AB距离的取值范围.，A到健康步道BCD的最短距离为23km，求D3数学试题参

1-8ABDCCDCB9．BD

10．AD

11．ACD

15．

3212．ABC

13．1,216．

14．45848󰀭53517．(1)根据正弦定理，由acosCccosA2bcosB得:

sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，sinB2sinBcosB，即sinA+C2sinBcosB，所以cosB(2

）

21B0B，又，所以；

32在中，由△ABD

2222余弦定理得

ABBDAD1BD7cosB2ABBD21BD21，

2解得BD3，所以BC6，由三角形的面积公式得

11333.SABCABBCsinB16

222218．（1）如图，取CC1的中点E，连接DE，EE，

AD//CE，ADCE，四边形ACED为平行四边形，

平面ABC，DE//平面ABC；则DE//AC，AC平面ABC，DE

E，E分别为CB1，CC1的中点，EE//B1C1//BC，BC平面ABC，EE平面ABC，EE//平面ABC，

又DEEEE，平面DEE//平面ABC，

DE平面DEE则DE//平面ABC；

（2）E为CB1的中点，E到底面ABC的距离等于BB11．

13又底面ABC是边长为2的等边三角形，SABC223．22VEABC1313．

331219．（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．

a12d6若选择条件①S3a6，则由a36，得，

3a3da5d11a12

解得，∴an22(n1)2n；

d2

a12d6

若选择条件②S420，则由a36，得，43

4ad2012a12

解得，∴an22(n1)2n；

d2

a12d6若选择条件③a1a4a724，则由a36，得，

3(a3d)241a12

解得，∴an22(n1)2n；

d2

（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有an2n．则bn2aan22n2n，

n

{bn}的前n项和Tn(4142434n)2(123n)

4(14n)(1n)n1n12(44)n2n．

142320．（1）证明：在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，

AB//CD，ABC90，AB2，PAPDCDBC1．

BCDC，ADBD12122，AD2BD2AB2，ADBD，

取AD中点O，连结PO，则POAD，

平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，

PO平面ABCD，QBD平面ABCD，POBD，

POADO，BD平面PAD．

（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

PAPDCDBC1，AD

2，AP2DP2AD2，APDP，

22，0，)，

22A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，0)，P(220)AB(2，2，，DP(，0，)，DB(0，2，0)，

22设平面PBD的法向量n(x，y，z)，

22n·DPxz0

n22则，取x1，得(1，0，1)，

n·DB2y0

设直线AB与平面PBD所成角为，

|ABn|21sin，30．则|AB||n|222直线AB与平面PBD所成角的大小为30°．

21．（1）由f(x)0得(2xa)(x1)0，

当a2时，原不等式的解集为(，1)(，)，当a2时，原不等式的解集为{x|x1}，

当a2时，原不等式的解集为(，)(1，)；（2）方程f(x)x1有两个正实数根x1，x2，等价于2x2(a3)xa10有两个正实数根x1，x2，

2a38a10

a3

x1x20a1，

2

a1xx0122

a2a2x2x1x1x2则x1x2x1x222a32)(x1x2)2x1x211622[(a1)]2a1x1x22a122(12·22a1·166a1当且仅当a5时取等号，

x2x1故的最小值为6．x1x2

22．（1）在ABC中，由余弦定理可得，

BC16122423121．BC232，2（2）D的轨迹为ADC外接圆的一部分，设ADC外接圆的半径为R，由正弦定理

2R432R43，且满足AD󰀮23，

由（1）得：AB2BC2AC2，所以ABC为直角，过D作DEAB于E，设所求距离为d，

①当DE通过圆心O时，d达到最大，由几何关系得，四边形OCBE为矩形，所以dmaxROERBC2

4432，此时满足AD󰀮23，

33②当D无限接近C时，此时d2，

综上：所求D到直线AB距离d的取值范围为(2,243]．3