经济类联考数学真题2015年
(总分：70.00，做题时间：90分钟)
一、数学单项选择题(总题数：10，分数：20.00)
1.函数f(x)可导，f\"(2)=3，则（分数：2.00） A.-1 √ B.0 C.1 D.2
解析：[解析] 本题实际上是考察利用导数的极限化定义来求函数的极限． 又因为f\"(2)=3，则 综上所述，答案选A．
2.已知d(xlnx)=f(x)dx，求∫f(x)dx=______．
=______．
A.xlnx B.1+lnx
C.xlnx+C(C为任意常数) D.x+C(C为任意常数)
2
（分数：2.00） A. B. C. √ D.
解析：[解析] 本题考查的是先利用微分的四则运算法则求微分，从而得出f(x)的表达式，进而再求f(x)的不定积分． 因为
比较等式两边可知 f(x)=1+lnx 于是
综上所述，答案选C． 3. =______．
A.sinx B.sinx
2
C.2xsinx D.2xcosx
2
2
（分数：2.00） A. B. C. √ D.
解析：[解析] 变上限积分函数求导数，是经常考的一个考点． 综上所述，答案选C． 4.已知 A.-1 √ B.0 C.1 D.2
解析：[解析] 本题考查的是定积分的可加性，即 根据定积分的可加性，有 又由题设可知， 于是
综上所述，答案选A．
5.y=f(x)是由方程x y +y=1(y＞0)确定的，则y=f(x)的驻点为______． （分数：2.00） A.x=0 √ B.x=1 C.x=0，1 D.不存在
解析：[解析] 本题实际上考查两个知识点：一是驻点的概念及其求法；二是一元隐函数导数的计算． 在方程x y +y=1两边分别对x求导数，有 令y\"=0可得驻点 x=0
综上所述，答案选A．
6.已知f(x+y，x-y)=x -y 对于任意的x和y都成立，求 （分数：2.00） A.2x-2y
2
2
2
2
2
2
则=______．
（分数：2.00）
=______．
B.2x+2y C.x+y √ D.x-y
解析：[解析] 本题考查的是二元复合函数求偏导数． 设u=x+y，v=x-y，则
22
进而f(x+y，x-y)=x -y 可以恒等变形为 也即 f(x，y)=xy 于是
则
综上所述，答案选C． 7.则F(x)______．
（分数：2.00）
A.是离散型随机变量的分布函数 B.是连续型随机变量的分布函数
C.是分布函数，但既不是离散型随机变量的分布函数也不是连续型随机变量的分布函数 D.不是分布函数 √
解析：[解析] 本题考查的是分布函数的性质． 因为 显然 F(1+0)≠F(1)
于是题设函数F(x)不是分布函数． 综上所述，答案选D．
8.随机变量X服从正态分布N(μ，σ )，则概率P{|X-μ|≤σ}______． （分数：2.00）
A.随着σ的增加而增加 B.随着σ的减少而增加
C.随着σ的增加不能确定它的变化趋势 D.随着σ的增加保持不变 √
解析：[解析] 本题考查的是一维正态分布的标准化方法． 因为
X～N(μ，σ ) 则对其标准化，得 于是
2
2
与σ无关． 综上所述，答案选D．
9.已知A，B，C是同阶方阵，下列说法错误的是______．
A.A+B=B+A B.(AB)C=A(BC) C.(A+B)C=AC+BC D.(AB)=AB
2
22
（分数：2.00） A. B. C. D. √
解析：[解析] 本题考查的是矩阵的运算法则．A，B，C三项均正确． 对于D项
(AB) =(AB)(AB)=ABAB=A(BA)B
只有当AB可交换(即AB=BA)的时候，才有 (AB) =A B 否则不成立．
因为题设没有交代AB是否可交换，所以D项错误． 综上所述，答案选D．
10.已知齐次方程组AX=0有非零解，且（分数：2.00） A.2 √ B.1 C.0 D.-1
解析：[解析] 本题考查齐次线性方程组解的性质． 对矩阵A作初等行变换，有
因为齐次方程组AX=0有非零解，所以必有矩阵A的秩小于矩阵A的阶数，即 r(A)＜3 则必有 a=2
综上所述，答案选A．
则a=______．
2
2
2
2
二、数学计算题(总题数：10，分数：50.00)
11.已知函数
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：本题考查的是分段点处的连续性与可导性． (1)因为
在x=0处可导，求a，b的值．
又f(x)在x=0处可导，所以其在x=0处也连续，即 f(0 )=f(0 )=f(0) 则 b=1 也即 (2)因为
又f(x)在x=0处可导，即 f\" - (0)=f\" + (0) 则 a=1
12.已知y=f(x)是由方程e +xy=e确定的，求f\"(0)．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：本题考查的是一元隐函数求导数的方法． 在方程e +xy=e两边同时对x求导，有 e ·y\"+y+xy\"=0 ①
将x=0代入方程e +xy=e，得y=1 将x=0，y=1代入①式，得 13.求不定积分
（分数：5.00）
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解析：本题考查的是利用换元法计算不定积分，在计算过程中还涉及分部积分法． 设 14.已知函数f(x)的原函数为
（分数：5.00）
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解析：本题考查两方面的内容，一是原函数的概念；二是分部积分法的使用． 因为f(x)的原函数为 ，则
，求 则x=t ，dx=2tdt，于是
2y
y
y
y
-+
于是
15.已知z=u cosv，u=xy，v=2x+y，求
（分数：5.00）
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解析：本题考查的是二元函数求偏导数． 因为
又
u=xy，v=2x+y 则 于是
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16.已知f(x)=2x -6x -18x+5，求其单调区间和极值．
（分数：5.00）
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解析：本题考查的是利用导数研究函数性态的问题，简言之，就是三点二线一性(即极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线)． 因为
f\"(x)=6x -12x-18 =6(x -2x-3) =6(x+1)(x-3) 令f\"(x)=0，解得 x 1 =-1，x 2 =3
用驻点x 1 =-1，x 2 =3将函数f(x)的定义域(-∞，+∞)划分为三个区间，列出表格
2
2
2
x f\"(x) f(x)
(-∞，-1)
+ ↗
-1
极大值
(-1，3)
- ↘
3 极小值
(3，+∞)
+ ↗
由上表可知：
f(x)的单调增加区间：(-∞，-1]，[3，+∞) f(x)的单调减少区间：[-1，3] f(x)的极大值为：f(-1)=15 f(x)的极小值为：f(3)=-49
17.随机变量X服从均匀分布μ(0，a)，且期望E(X)=3，求 (1)a的值； (2)D(2X+3)．
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：本题考查的是一维连续型随机变量的均匀分布的性质． (1)因为随机变量X服从均匀分布U(0，a)，即
且
又E(X)=3，即 a=6 于是 (2)又 进而
D(2X+3)=4D(X)=4{E(X )-[E(X)] }=4×(12-9)=12 18.随机变量X的概率密度为 (1)a的值； (2)期望E(X)．
（分数：5.00）
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解析：本题考的是一维连续型随机变量的问题． 因为对于一维连续型随机变量而言，有
即 解得
则 进而
19.求非齐次线性方程组
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
的通解．
2
2
解析：本题考查的是求非齐次线性方程组的通解，关于解得判定，可以用秩来处理． 方程组的增广矩阵 因为
所以该非齐次线性方程组有无穷多解，且等价于方程组 解得 特解 基础解系 于是非齐次线性方程组的通解为ξ 0 +kη．(k为任意常数) 20.已知 (1)当k为何值时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关? (2)当k为何值时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关?
（分数：5.00）
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解析：对向量组(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ) 作初等行变换 (1)当k=0时，有 因为
r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )＜4
所以，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关． (2)当k≠0时，有
①当10+k=0，即k=-10时，有
同样，因为r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )＜4，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关． ②当10+k≠0，即k≠-10时，有
此时r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=4，所以α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关． 综上所述，
(1)当k=0或k=-10时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性相关； (2)当k≠0且k≠-10时，向量组α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关．
